我最喜欢的类比能解释一个想法并帮助你探索更深层的真理。这里有一个比喻抓住了我对学习的立场：
- 死记硬背的细节是箭，直觉是弓。
我们的目标是追捕问题。当然，你可以单独使用箭，但直觉是让细节变得极其有用的框架。以下是我在 聊天 以及通过邮件（感谢Jay、Stan、Luke和David！）。
平衡严谨与直觉
我讨厌在严谨与直觉之间做出虚假选择。我们可以两者兼得！各有各的作用：
- 细节（箭）完成实际工作，但廉价且丰富
- 直觉（弓）是使细节有效的框架（理论上它是可选的；实际上并非如此）
- 狩猎（有效的问题解决）是最终目标：整个系统如何帮助我们？
是的，你可以有细节而没有直觉：就像追一头野牛，在头顶挥舞着箭。胜利是可能的，尽管累人，而且这个过程几乎不会鼓励你学更多。这就像背诵你不理解的数学证明（老实说，我宁愿要那头野牛）。
没有严谨的直觉也不好：拥有工具却从不在现实中发射。我们需要两者：弓和箭，而不是弓或箭。（但在这两者之间，给我一支箭，让我练习我的箭术。）
脑海中的弓
想象一个穴居人看到我从洞穴中射出一支箭。弓是隐藏的：因为他只见过长矛，他以为我是用手扔出箭的。可能借助了萨满魔法。
我们脑海中的弓同样隐藏着，有些人使用数学的方式就像黑魔法。我们看不到他们的直觉，只看到问题被消灭。
让我们解锁那些见解。我的目标是分享“我们脑海中的弓”，而不是展示一支飞行的箭，然后让你发明射出它的弓。
教育方法
教学时，很容易聚焦于你能命名、分类并射入静止目标的箭的数量。我们假装这是为现实世界做准备，是“学会如何学习”。
我不同意。“学会如何学习”意味着掌握一把弓中的一支箭。真正掌握它。新技巧随之而来。
我宁愿训练一个原住民猎人使用现代步枪，也不愿训练街上的普通人。我们外行（包括我自己！）对瞄准、跟踪、呼吸、时机、精度以及掌握工具时发现的无形之物一无所知。我一生都听说过枪支，玩过几十个电子游戏：那个猎人仍然可以在看到第一支步枪的15分钟内射得比我准。不是箭的问题，是弓的问题。这就是“学会如何学习”。
在现代：强迫学生直到他们讨厌学习有什么意义？直到他们再也不读经典书籍？直到他们对数学产生终身厌恶？
我宁愿要喜欢中学代数的“基础”高中生，也不要讨厌微积分的“高级”高中生。因为五年后，那些喜欢代数的也会喜欢微积分。
(喂……如果学生在中学时真正喜欢数学，他们很可能在高中也会喜欢，并最终以微积分毕业。但如果你一开始就期望这样，你又回到了原点！)
炸药箭
一个想法：如果有一种“炸药箭”，一个能拉平比赛场地的超级实用细节呢？难道不能因此让业余者和专家平起平坐吗？
也许吧。但即便如此，你需要一个像样的射手才能让系统有效。把炸药箭射10英尺远，或者射向反方向，是没用的。再说一次：如果一个业余者能拿到炸药箭，专家又能多快拿到呢？
我不是说“永远不要获取更多的箭”。我是说，在你能够射好现有的箭之前，收集更多箭是没有意义的。
找到本质
快：你有2分钟时间向穴居人解释射箭。开始！
你会专注于制箭技术，比如砍树、找石头等吗？还是会说“箭是木头做的，有羽毛来稳定飞行。这就够了。下面是做一个超棒的弓的方法（长弓、十字弓、复合弓……）”。
大多数系统都有一个“核心操作原理”。其余的都是关于箭的细节。例如：手机与一组“蜂窝”通信，当你移动时，这些蜂窝会在塔之间切换信号。完事。蜂窝 = 蜂窝电话。GSM、CDMA 等是每个塔理解的语言，对核心理解不重要。
在解释时，寻找弓。
学习的标志
你怎么知道某人真的享受学习？他们开始问关于射箭的问题，而不是关于箭的问题。
一旦你理解了 虚数 是另一个维度的数字，大约10分钟内你就会真正感兴趣“嘿……还能有3维或4维的数字吗？”。
祝你在教完“-1的平方根是i。不，我不会告诉你为什么，也没人告诉过我为什么——只是为了考试记住它！”之后能获得这种兴趣。
理解是通过我们提出的问题来衡量的，而不是通过我们回答的考试。
(既然你好奇：四维数被称为“四元数”，用于在视频游戏中模拟旋转物体。但除此之外，我们难道不应该使用列表之类的吗？那是什么？你想了解 线性代数?)
廉价的娱乐
我一直对“教育游戏”感到困扰，它们只是死记硬背的薄薄一层外衣。记住每一位美国总统的名字并不能让你了解多少历史。成为拼写冠军并不能让你成为好作家。记住圆周率的前1000位并不意味着你理解这个概念。
让数学变得“有趣”的廉价方法是做一个捡箭的游戏。让数学变得有趣的真正方法是体验自己射出一支箭的乐趣。
话虽如此，像《数学爆破手》这样的技能培养游戏可以很棒。关键在于捡起正确的箭，并且不止于此。数学家并不比作家更喜欢动词变位——这是一个享受艺术的必要步骤。
升级你的弓
我们从相同的细节开始，但有不同的使用方法。类似于膛线（枪管内的沟槽，使子弹旋转）可以增加射程，我们有哪些技巧？
我从升级支撑勾股定理的弓中获得了巨大的价值。那个“箭”（$a^2 + b^2 = c^2$）可以被发射出很多种方式——每年我都有新的个人发现（它是 不是关于距离; 它可以 适用于任何形状; 它 解释梯度).
你如何将自己的理解升级为长弓、十字弓、复合弓、自动机关枪弓？
不断前进
“弓与箭”这个比喻不断带来启发：我已经找到了超过半打我喜欢的解读，而且我相信还有更多（如果你有，请分享出来）。
一句话总结：学习的乐趣和价值在于射箭本身，而不是寻找箭矢。