我们对一个想法的初次接触塑造了我们的直觉。而我们的直觉影响了我们多么享受一门学科。我是什么意思？
假设我们想定义一只“猫”：
- 原始人定义：一种长毛、有爪子和牙齿、有尾巴、四条腿、开心时发出呼噜声、生气时发出嘶嘶声的动物……
- 进化定义：某物种（F. catus）的哺乳类后代，具有某些共同特征……
- 现代定义：你称那些为定义(Definitions)？猫是具有以下特征的动物DNA: ACATACATACATACAT…
现代定义确实精确。但它是最好的吗？它是你会教给一个正在学这个词的孩子的方式吗？它是否更好地揭示了这种动物的“猫性”？并不真的。现代定义有用，但在……之后获得对猫是什么的理解。它不应是我们的起点。
不幸的是，数学理解似乎遵循了DNA 模式。我们被灌输现代、严格的定义，而不是导致它的那些洞见。我们留下了神秘的公式（DNA），却对这个想法是.
让我们从一个不同的角度接近想法。我想象一个圆：中心是你正在研究的想法，沿着外圈是描述它的事实。我们从一个角落开始，带着一个事实或洞见，然后绕圈工作以发展我们的理解。猫有共同的身体特征导致了猫有共同的祖先导致了一个物种可以通过某些部分的DNA。啊哈！我能看到现代定义是如何从穴居人定义演变而来的。
但并非所有的起点都同等重要。正确的视角能让数学豁然开朗——而最先发现某个想法的数学“穴居人”往往拥有一种启发性的观点。让我们学习如何建立自己的直觉。
什么是圆？
举个数学例子：你如何定义圆？
看似有无数种定义。以下是其中几种：
- 可能的最对称的二维形状
- 在最小周长下获得最大面积的形状（见等周性质)
- 平面中所有与给定点距离相等的点（用圆规或系绳的铅笔画出）
- 方程 x 中的点 (x,y)2+ y2= r2（上述几何定义的解析版本）
- 方程 r * cos(t), r * sin(t) 中的点，对所有 t（真的解析版本）
- 其切线始终垂直于位置向量的形状（物理解释）
这样的列表还可以继续，但关键在于：这些事实描述的都是同一个想法！这就好比说 1、one、uno、eins、“方程 2x + 3 = 5 的解”或“你脸上的鼻子数量”——都只是“统一(Unity)”这个概念的不同叫法。
但这些最初的描述很重要——它们塑造了我们的直觉。因为我们在进教室之前就在现实世界中见过圆，我们理解它们的“圆润”。无论看到什么花哨的方程（x2+ y2= r2），我们内心深处都知道圆是“圆”的。如果我们画出那个方程的图像，它却显示为方形，或歪歪扭扭，我们就会知道出错了。
作为孩子，我们学习圆的“穴居人”定义（一个非常圆的事物），这给了我们一种舒服的直觉。我们能看到“圆事物”上的每个点到中心的距离都相等。x2 + y2 = r2是用勾股定理表示距离的解析方式，表达了这一事实。我们从一个角落开始，带着直觉，逐步推导出正式的定义。
其他想法就没这么幸运了。我们本能地看到增长e 的，还是说它只是一个抽象定义？我们意识到旋转i 的，还是说它是一个人为的、无用的想法？
培养洞见的策略
我仍得提醒自己 e 和 i 的更深层含义——这看起来就像“记住”圆是圆的或猫长什么样一样荒谬！这应该是我们一开始就具备的自然洞察。
缺失整体图景让我抓狂：数学关乎想法——公式只是表达它们的方式。一旦核心概念清晰，方程就会各就各位。这里有一个帮到我的策略：
- 第1步：找到一个数学概念的核心主题。这可能很困难，但试着从它的历史入手。这个想法最初是在哪里使用的？发现者当时在做什么？这种用法可能不同于我们现代的解释和应用。
- 第2步：用该主题解释一个性质/事实。利用这个主题与形式化定义做类比。如果幸运的话，你可以把数学方程（x2 + y2 = r2）翻译成大白话（“所有与中心距离相等的点”）。
- 第3步：用同一主题探索相关性质。一旦你有了管用的类比或解释，看看它是否适用于其他性质。有时适用，有时不适用（你就需要新的洞见），但你会惊讶于自己能发现什么。
我们来试一试。
一个真实例子：理解 e
理解数字e一直是一场大仗。e 出现在所有科学领域中，有无数种定义，却很少以自然的方式让人恍然大悟。让我们围绕这个想法建立一些洞察。下面这节会有几个方程，它们只是描述想法的方式。即便方程是天书，背后也有一句大白话的想法。
以下是 e 的几种常见定义：
第一步是找出一个主题。看e 的历史，它似乎和增长或利率有关。e 是在做商业计算（而非抽象数学猜想）时被发现的，所以“利息”（增长）是个可能的主题。
我们看左上角第一个定义。对我而言，关键跳跃是意识到这有多像复利公式。事实上，它是当你以 100% 利率对 1 单位时间计息、且尽可能快地复利时的利息公式。
- 定义 1：将 e 定义为在尽可能小的增量上的 100% 复合增长。
这个关于 e 的文章描述了这种解释。
我们看第二个定义：一个无穷级数，项越来越小。这能是什么？
用“利息”这个主题琢磨一番后，我们发现这个定义展示了复利(Compound Interest)的组成部分。当然，洞察不会瞬间降临——也许在头脑风暴“谈到增长时，1 + 1 + 1/2 + 1/6 + … 能代表什么？”之后，这个洞察才会闪现。
嗯，第一项（1 = 1/0!，记得 0! 等于 1）是你的本金，原始金额。第二项（1 = 1/1!）是你赚的“直接”利息——1 的 100%。第三项（0.5 = 1/2!）是你的利息所赚的钱（“第二层利息”）。下一项（.1666 = 1/3!）是你的“第三层利息”——你利息的利息又赚了多少！
钱生钱，钱又生钱，钱再生钱，依此类推——这个序列把各类贡献分开了（读关于 e 的文章看蓝先生、绿先生和红先生如何独立增长）。还有很多可说，但那就是对该想法“聚焦增长”的理解。
- 定义 2：通过每一份利息所做的贡献来定义 e
妙啊。
现在来看第3个，也是最短的定义。这是什么意思？不要去想“导数(Derivative)”（这会让大脑进入算公式模式），而是想想它的含义。方程的感觉。把它当成你的朋友。
这是微积分(Calculus)在说“你的增长速率等于你当前的数量”。嗯，以你当前的数量增长，就是100%的利率，对吧？而通过总是在增长它的意思是你正在总是在计算利息——这是描述连续复利的另一种方式！
- 定义 3：将 e 定义为总是以你当前值的 100% 增长的函数(Function)
很好——e 是这样一个数字：你总是恰好以当前数量（100%）增长，而不是1%或200%。
到了最后一个定义——这个有点棘手。这是我的理解：与其描述你很多如何增长，为什么不说说多长时间花了多长时间？
如果你在1的位置并以100%增长，从1到2需要1单位时间。但一旦你到了2，并以100%增长，意味着你每单位时间增长2个单位！所以从2到3只需要1/2单位时间。从3到4只需要1/3单位时间，依此类推。
从1增长到A所需的时间是1到2、2到3、3到4……这样一直下去，直到达到A的时间。第一个定义将自然对数（自然对数 ln）定义为这种“增长所需时间”计算的简写。
ln(a) 就是从1增长到a所需的时间。然后我们说“e”是恰好需要1单位时间增长到的数字。换句话说，e 就是恰好等待1单位时间后的增长量！
- 定义 4：将连续从 1 增长到 a 所需的时间定义为 ln(a)。e 是你在 1 个单位时间后的增长量。
哇哦！这四种不同方式描述了神秘的 e。一旦掌握了核心思想（“e 是关于100%的连续增长”），那些复杂的方程就豁然开朗——可以把微积分(Calculus)翻译成英文了。数学是关于思想的！
寓意是什么？
在数学课上，我们经常从最后一个、最复杂的概念开始。难怪我们会困惑——我们展示的是DNA 却期望学生看到猫。
从这种方法中我学到了一些经验，它们也是我理解和解释数学的基础：
- 寻找洞见并应用它们。那第一个直觉性的洞见能帮助其他一切各就各位。从一个讲得通的定义开始，然后“绕着圈走”去发现其他定义。
- 培养心理韧性。拿脑袋去硬磕一个想法可不好玩。如果它没通，就从不同角度切入。总有另一本书、另一篇文章、另一个人能用对你来说讲得通的方式解释它。
- 用视觉化没问题。我们认为数学是死板且解析的——但视觉化解释也没问题！做能发展你理解的事。虚数在最初被发现几十年后，直到其几何解释浮出水面才不再令人困惑。整天盯着方程并不能帮数学家“搞懂”它们到底是什么。
当我们强调定义而非理解时，数学就变难了。记住，现代定义是思想的most advanced步，不一定是起点。不要害怕从有趣的角度切入一个概念——找出方程背后的平实英文句子。数学愉快。