数学使用虚构的规则来创建模型和关系。在学习时，我会问：
- 什么 关系 这个模型代表什么？
- 哪些现实世界的事物 分享这种关系?
- 那个关系是否 对我有意义?
它们是一些简单的问题，但能帮助我理解新主题。如果你喜欢我的 数学文章，这篇文章涵盖了我对这个常被误解的主题的处理方法。许多人留下了富有洞察力的评论，讲述了他们在数学上的挣扎以及帮助他们的资源。
数学教育(Math Education)
教科书 很少 侧重于理解；实际上大多是使用"代入即算"的公式解题。美丽的想法却得到如此机械化的对待，这让我感到难过：
- 这个 勾股定理 不仅仅是关于三角形. 它关乎相似形状之间的关系、任意一组数字之间的距离，以及更多。
- e是 不仅仅是一个数字. 它关乎所有增长率之间的基本关系。
- 这个 自然对数 不仅仅是反函数. 它关乎事物成长所需的时间量。
优雅的、"啊哈！"式的洞见本应成为我们的焦点，但我们却让学生自己去随意摸索。我在大学一次地狱般的突击学习后体验到了"啊哈"时刻；从那时起，我就一直想找到并分享那些顿悟，以减轻他人的痛苦。
但这是双向的——我也希望你与我分享见解。这样会有更多理解，更少痛苦，人人皆赢。
数学随时代演进(Math Evolves Over Time)
我认为数学是一种思维方式，重要的是看到 如何 这种思维的发展过程，而不仅仅是展示结果。让我们看一个例子。
想象你是一个正在做数学的穴居人。最先遇到的问题之一将是 如何计数随着时间的推移，发展出了几种体系：
没有哪一个体系是绝对正确的，每种都有其优势：
- 一元系统： 在沙子上画线——简单到极致。非常适合在游戏中记分；你可以添加数字而无需擦除和重写。
- 罗马数字： 更高级的一元表示法，有大数的快捷方式。
- 十进制：巨大发现，数字可以使用位置和零的“位值”系统。
- 二进制： 最简单的位值系统（两个数字，开与关），因此非常适合机械装置。
- 科学计数法： 极其紧凑，可以轻松判断数字的大小和精度（例如 1E3 与 1.000E3）。
觉得我们讲完了？没门。一千年后，我们将有一种体系，让十进制数看起来就像罗马数字一样古老（"天哪，他们是如何用这么笨拙的工具完成工作的？").
负数并非那么真实(Negative Numbers Aren't That Real)
让我们再多思考一下数字。上面的例子展示了 我们的数字系统是解决'计数'问题的众多方法之一。
罗马人会觉得零和分数很奇怪，但这并不意味着“虚无”和“部分与整体”是无用的概念。但请注意每个体系是如何吸收新想法的。
分数（1/3）、小数（.234）和复数（3+4i）是表达新关系的方式。它们现在可能没有意义，就像零对罗马人来说“没有意义”一样。我们需要新的现实世界关系（比如债务）才能让它们变得清晰。
即便如此，负数可能并不以我们所想的方式存在，正如你在这里说服我的：
你：负数是个好主意，但并非固有存在。它是我们应用于一个概念的标签。
我：它们确实存在。
你：好吧，给我看-3头牛。
我：嗯，呃……假设你是个农民，你丢了3头牛。
你：好吧，那你有零头牛。
我：不，我是说你给了3头牛给一个朋友。
你：好吧，他有3头牛，你有零头。
我：不，我是说他将来会还给你。他欠你的。
你：啊。所以我实际拥有的数量（-3或0）取决于我是否认为他会还我。我没意识到我的观点改变了计数方式。在我的世界里，我一直是零头牛。
我：唉。不是那样的。当他把牛还给你时，你从-3变到3。
你：好，所以他归还3头牛，我们跳了6，从-3到3？还有其他我应该知道的新算术吗？ sqrt(-17) 负数长什么样？
我：出去。
负数可以 表达关系：
- 正数代表牛的数量盈余
- 零代表没有牛
- 负数代表牛的赤字，假设将来会偿还
但负数"并不真实存在"——存在的只是它们所代表的关系（牛的盈余/赤字）。我们创建了"负数"模型来帮助记账，尽管你手上不能拿着-3头牛。（我特意使用了"负数"的不同解释：它是一种不同的计数系统，就像罗马数字和小数是不同的计数系统一样。）
顺便一提，负数 未被接受 直到18世纪才被许多人（包括西方数学家）接受。负数的概念曾被认为是"荒谬的"。 做 除非你能看到它们如何代表复杂的现实世界关系（如债务），否则它们看起来很奇怪。
为何要谈这些哲学？(Why All the Philosophy?)
我意识到我的**心态是学习的关键。**它帮助我获得了深刻的见解，具体来说：
- 事实知识不等于理解。 知道“锤子钉钉子”与认识到任何硬物（如石头、扳手）都能钉钉子是不同的见解。
- 保持开放的心态。 通过允许自己重新成为初学者来培养直觉。
一位大学教授去拜访一位著名的禅宗大师。当大师静静地斟茶时，教授大谈禅道。大师将客人的杯子倒满，然后继续倒。教授看着溢出的杯子，直到再也忍不住了。"满了！装不下了！"教授脱口而出。"你就像这个杯子，"大师回答，"如果你不先把杯子倒空，我怎么向你展示禅呢？"
- 要有创造性。 寻找奇怪的关系。使用图表。使用幽默。使用类比。使用助记符。使用任何使想法更生动的方法。类比并不完美，但在理解大致概念时有所帮助。
- 认识到你可以学习。 我们希望孩子们学习代数、三角学和微积分，这些足以让古希腊人震惊。我们应该这样：我们能够学到很多东西，只要讲解正确。在弄懂之前不要停止，否则数学上的差距会困扰你。心理韧性至关重要——我们常常太容易放弃。
那么重点是什么？(So What's the Point?)
我想分享我的发现，希望它能帮助你学习数学：
- 数学创造 模型 具有一定的 关系
- 我们试图寻找 现实世界现象 具有相同关系的
- 我们的模型是 不断完善。可能会出现一个新模型，更好地解释这种关系（例如从罗马数字到十进制）。
当然，有些模型 出现 是没有用的： "虚数有什么用？"，许多学生问。这是一个合理的问题，有一个 直观答案.
虚数的使用受限于我们的想象力和理解——就像负数在没有债务概念时是"无用"的一样，虚数之所以令人困惑，是因为我们没有真正理解它们所代表的关系。
数学提供模型；理解它们的关系并将其应用于现实世界对象。
培养直觉能让学习变得有趣——即使 会计 当你理解它解决的问题时，它并不糟糕。我想涵盖 复数微积分和其他难以捉摸的主题，通过专注于关系，而不是证明和技巧。
但这是我的经验——你如何学得最好？几个朋友分享了他们的经验：