指数函数的直观指南与 e

e一直让我困扰——不是这个字母，而是这个数学常数。它到底是什么意思？

数学书，甚至我心爱的Wikipedia，都用晦涩的行话来描述 e：

数学常数 e 是自然对数(Natural Logarithm)的底。

而当你查阅自然对数时，会得到：

自然对数，旧称双曲对数，是以 e 为底的对数，其中 e 是一个约等于 2.718281828459 的无理常数。

好一个循环定义。这就像用“拜占庭式的”来字典式地解释“迷宫般的”：说法没错，但毫无帮助。用“复杂”这种日常词汇有什么不好？

我不是在针对 Wikipedia——许多数学解释在追求严谨时都枯燥而正式。但这对试图入门某个主题的初学者并无帮助（而我们每个人都曾有过初学的时候）。

不再如此！今天我要分享自己关于 e 是什么以及它为何厉害的直观的、高层次的见解。把你的严谨数学书留到别的时刻吧。这里有一个快速视频概述这些见解：

e 不仅仅是一个数字

把 e 描述为“一个约等于 2.71828… 的常数”，就像把pi描述为“一个无理数，约等于 3.1415…”。确实，这是事实，但你完全没抓住重点。

Pi 是所有圆共有的周长(Circumference)与直径(Diameter)之比。它是所有圆都固有的基本比率，因此影响任何关于圆、球体(Sphere)、圆柱体(Cylinder)等的周长(Circumference)、面积(Area)、体积(Volume)和表面积(Surface Area)的计算。Pi 很重要，它表明所有圆都是相关的，更不用说从圆衍生出的三角函数（sin、cos、tan）了。

e 是所有持续增长过程的共同增长率基数e 让你能够从一个简单的增长率（所有变化都发生在年末）出发，求出复利、连续增长的影响，即每纳秒（或更短）你都在增长一点点。

e 在任何系统呈指数且连续增长时出现：人口、放射性衰变、利息计算等等。即使是那些不平滑增长的锯齿状系统，也可以用 e 来近似。

就像每个数都可以看作 1（基本单位）的缩放版本，每个圆都可以看作单位圆（半径为 1）的缩放版本，每个增长率都可以看作 e（单位增长，完美复利）的缩放版本。

所以 e 并不是一个晦涩、看似随机的数。e 表达了这样一种理念：所有持续增长系统都是某个共同增长率的缩放版本

理解指数增长

让我们先来看一个基本的系统，它在经过一段时间后翻倍。例如，

• 细菌可以分裂并每 24 小时“翻倍”
• 当我们把它们对折时得到两倍的面条。
• 如果你获得 100% 回报（幸运！），你的钱每年翻倍

它看起来像这样：

一分为二或翻倍是非常常见的递进过程。当然，我们可以三倍或四倍，但翻倍很方便，所以请容我以此为例。

从数学上说，如果我们有 x 次分裂，那么我们得到的物质是开始时的 $2^x$ 倍。分裂 1 次我们有 $2^1$ 即 2 倍。分裂 4 次我们有 $2^4 = 16$ 倍。作为通用公式：

换句话说，翻倍就是 100% 增长。我们可以像这样重写公式：

公式一样，但我们把 2 拆成了它的本质：原始值（1）加上 100%。聪明吧？

当然，我们可以把 100% 替换成任何数（50%、25%、200%）从而得到该新速率的增长公式。所以 x 期回报的通用公式是：

这仅仅意味着我们使用我们的回报率 (1 + return)，“x”次。

仔细看看

我们的公式假设增长以离散步骤发生。我们的细菌在等待、等待，然后爆发，它们在最后一刻翻倍。我们的利息收益在 1 年标记时神奇出现。基于上面的公式，增长是突变的且瞬间发生。绿点突然出现。

世界不总是这样。如果我们放大，会看到我们的细菌朋友是随着时间分裂的：

Green 先生并不是凭空出现：他是从 Blue 先生慢慢生长出来的。经过 1 个单位时间（在我们的例子中是 24 小时）后，Green 先生就完整了。然后他变成了一个成熟的蓝色细胞，能够自己创造新的绿色细胞。

这些信息会改变我们的方程吗？

不会。在细菌的例子中，半成型的绿色细胞在完全长成并从蓝色母体分离之前仍然什么都做不了。方程依然成立。

金钱改变一切

但钱不一样。我们一赚到一便士的利息，那一便士就可以开始赚它自己的微便士了。我们不需要等到赚到一整美元的利息——新钱不需要成熟。

根据我们的旧公式，利息增长看起来像这样：

但同样，这不太对：所有的利息都出现在最后一天。让我们放大看看，把一年分成两段。我们每年赚 100% 的利息，也就是每 6 个月 50%。所以，前 6 个月我们赚 50 美分，后半年再赚 50 美分：

但这个仍然不对！当然，我们原来的美元（Blue 先生）在一年里赚了一美元。但在 6 个月后我们有一个 50 美分的零钱，已经准备好了，却被我们忽略了！那 50 美分本可以自己赚钱：

因为我们的利率是每半年的 50%，那 50 美分会赚到 25 美分（50% 乘以 50 美分）。在 1 年结束时我们会有

• 我们的原始美元（蓝先生）
• 蓝先生赚的美元（绿先生）
• 绿先生赚的 25 美分（红先生）

总共给我们 2.25 美元。我们从最初的 1 美元赚了 1.25 美元，甚至比翻倍还好！

让我们把收益变成一个公式。两个 50% 增长半周期的增长是：

深入复合增长

是时候更上一层楼了。与其把增长分成两段 50% 的增幅，不如把它分成 3 段 33% 的增长。谁说我们必须等 6 个月才能开始拿利息？让我们在计数上更精细一些。

为我们 3 个复利周期的增长画个图，会得到一幅有趣的画面：

把每种颜色想象成在向上朝其他颜色（它的孩子）铲钱，每个周期 33%：

• 第0个月：我们从蓝先生开始，他有 1 美元。
• 第4个月：蓝先生在自己身上赚了 1/3 美元，并创造了绿先生，拨出 33 美分给他。
• 第8个月：蓝先生又赚了 33 美分并给了绿先生，使绿先生达到 66 美分。绿先生实际上在他之前的价值上赚了 33%，创造了 11 美分（33% * 33 美分）。这 11 美分变成了红先生。
• 第12个月：事情变得有点疯狂。蓝先生又赚了 33 美分并铲给绿先生，使绿先生达到整整 1 美元。绿先生在他第 8 个月的价值（66 美分）上赚了 33% 的回报，赚了 22 美分。这 22 美分加到了红先生身上，红先生现在总计 33 美分。而红先生，从 11 美分起家，在自己身上赚了 4 美分（33% * .11），创造了紫先生。

呼！12 个月后的最终值是：1 + 1 + .33 + .04，大约 2.37。

花点时间真正理解这个增长发生了什么：

• 每种颜色都在自己身上赚利息，并把它交给另一种颜色。新创造出来的钱可以自己生钱，如此循环往复。
• 我倾向于认为原始金额（蓝先生）永远不变。蓝先生铲钱来创造绿先生，自蓝先生不变以来，每 4 个月稳定地给 33。在图中，蓝先生有一条蓝色箭头显示他如何喂养绿先生。
• 绿先生碰巧创造并喂养了红先生（绿色箭头），但蓝先生并没有意识到这一点。
• 随着绿先生随时间增长（被蓝先生持续喂养），他对红先生的贡献越来越多。在第 4-8 个月之间，绿先生给了红先生 11 美分。在第 8-12 个月之间，绿先生给了红先生 22 美分，因为绿先生在第 8 个月时是 66 美分。如果我们扩展图表，绿先生会给红先生 33 美分，因为绿先生到第 12 个月时达到了整整 1 美元。

说得通吗？一开始很难——我甚至在整理图表时把自己都搞糊涂了。但可以看到，每个美元都创造了小帮手，小帮手又创造帮手，以此类推。

我们在增长公式中使用 3 个周期，得到一个公式：

我们赚了 1.37 美元，甚至比上次赚的 1.25 美元还要好！

我们能获得无穷多的钱吗？

为什么不取更短的时间周期呢？每个月、每天、每小时、甚至纳秒怎么样？我们的收益会飙升吗？

我们的收益变好了，但只到某个点为止。试着在我们的神奇公式里使用不同的 n 值，看看总收益：

n          (1 + 1/n)^n
-----------------------
1          2
2          2.25
3          2.37
5          2.488
10         2.5937
100        2.7048
1,000      2.7169
10,000     2.71814
100,000    2.718268
1,000,000  2.7182804
...

数字变大并收敛在 2.718 附近。嘿……等一下……那看起来像 e！

哇哦。用极客数学术语说，e 是定义如果我们以越来越小的时间周期持续复利 100% 回报，那个增长率就是：

这个极限似乎收敛，并且是 证明有相关表述。但如你所见，随着我们取更细的时间周期，总收益停留在 2.718 附近。

但这到底意味着什么？

数字 e（2.718…）是最大可能结果当在一个时间周期内复利 100% 增长时的结果。当然，你一开始预期从 1 增长到 2（那是 100% 的增长，对吧？）。但每向前一小步，你就创造了一点股息，它开始自己增长。当一切结束时，你在 1 个时间周期结束时得到 e（2.718…），而不是 2。e 是最大值，是当我们尽可能多地复利 100% 时所发生的结果。

所以，如果我们从 1.00 美元开始并以 100% 回报持续复利，我们得到 1e。如果我们从 2.00 美元开始，我们得到 2e。如果我们从 11.79 美元开始，我们得到 11.79e。

e 就像一个速度上限（类似于 c，光速），说明了使用连续过程时你最多能增长多快。你未必总能达到这个速度上限，但它是个参考点：你可以用这个通用常数(Constant)来表示每一种变化率(Rate of Change)。

题外话：

• 我们想澄清增长和最终结果:

  e（最终结果，约 2.718...）= 原始值（1.0）+ 增长（1.718...）

• 增长还可以进一步拆分为“直接增长”（Green 先生）和“增长的增长”（其他颜色）：

  e（最终结果，约 2.718）= 原始值（1.0）+ 直接增长（1.0）+ 复合增长（.718...）

不同的速率会怎样？

好问题。如果我们按每年 50% 增长，而不是 100% 呢？还能用 e 吗？

我们来看看。50% 的复合增长率看起来像这样：

嗯。我们这里能做什么？记住，50% 是总回报，n 是将增长拆分用于复合的期数。如果我们取 n=50，就可以把增长拆成 50 份 1% 的利息：

当然，这不是无穷(Infinity)，但已经相当细粒度了。现在想象我们也把常规的 100% 利率拆成 1% 的份数：

啊，这里浮现出某种规律了。在常规情形中，我们有 100 次累积的 1% 变化。在 50% 的情形中，我们有 50 次累积的 1% 变化。

这两个数字的区别是什么？嗯，只是变化次数的一半：

这很有意思。50 / 100 = .5，也就是我们把 e 乘方的指数(Exponent)。这普遍成立：如果我们有 300% 的增长率，可以把它拆成 300 份 1% 的增长。这会是正常数量的三倍，净增长率为 $e^3$。

尽管增长看起来像加法（+1%），但我们要记住它其实是乘法（x 1.01）。这就是为什么我们用指数(Exponent)（重复乘法）和平方根（$e^{1/2}$ 表示“一半”的变化次数，即一半的乘法次数）。

虽然我们选了 1%，但也可以选任意小的增长单位（.1%、.0001%，甚至无穷小(Infinitesimal)的量！）。关键在于，无论选什么率，它只是 e 上的一个新指数：

不同的时间会怎样？

假设我们有 300% 的增长持续 2 年。我们会把一年的增长（$e^3$）自己乘自己：

一般来说：

由于指数的神奇特性，我们可以避免用两个幂，而是把率和时间在一个指数里直接相乘。

大秘密：e 融合了速率和时间。

这太疯狂了！$e^x$ 可以表示两件事：

• x 是我们乘以增长率的次数：100% 增长持续 3 年就是 $e^3$
• x 是增长率本身：300% 增长持续一年就是 $e^3$

这种重叠不会把事情搞乱吗？我们的公式会不会崩坏、世界末日降临？

一切都会算清楚。当我们写 $e^x$ 时，变量(Variable) $x$ 是率和时间的组合。

我来解释一下。在处理连续复合增长时，10 年 3% 的增长和 1 年 30% 的增长（之后不再增长）具有相同的整体影响。

• 10 年 3% 的增长意味着 30 次 1% 的变化。这些变化发生在 10 年中，所以你以每年 3% 的速度连续增长。
• 1 个周期的 30% 增长意味着 30 次 1% 的变化，但发生在一个单一年中。所以你以每年 30% 增长然后停止。

每种情况下都发生同样的“30次1%的变化”率越快（30%），达到相同效果所需时间越少（1 年）。率越慢（3%），所需增长时间越长（10 年）。

但这两种情况最终的增长都是 $e^{.30} = 1.35$。我们没耐心，更喜欢大且快的增长而非慢且长的增长，但 e 表明它们净效果相同。

所以，我们的一般公式变为：

如果我们有r的回报，持续t个时间段，我们的净复合增长是 $e^{rt}$。顺便说一句，这对负回报和分数回报也适用。

举例时间！

例子让一切更有趣。 quick note：我们太习惯 $2^x$ 这类公式和常规的复利了，很容易搞混（包括我自己）。更多请阅读简单增长、复合增长和连续增长.

这些例子关注的是平滑、连续的增长，而不是以年度为间隔发生的跳跃式增长。有方法可以在两者之间进行转换，但我们将留到另一篇文章中介绍。

例1：晶体生长

假设我有 300 公斤魔法水晶。它们是魔法水晶，因为它们在一天中持续生长：我观察一颗水晶，在 24 小时内它脱落了自身重量的水晶。（小水晶立即以相同速率开始生长，但我无法追踪这一点——我观察的是原水晶脱落了多少）。10 天后我会有多少？

嗯，由于水晶立即开始生长，我们需要连续增长。我们的速率是每 24 小时 100%，所以 10 天后我们得到：$300 \cdot e^{1 \cdot 10} = 6.6 \text{million kg}$ 的魔法宝石。

这可能有点棘手：注意输入速率和总输出速率之间的区别。“输入”速率是单颗水晶的变化量：24 小时内 100%。净输出速率是 e（2.718 倍），因为小水晶会自行生长。

在这种情况下，我们有输入速率（单颗水晶生长多快）并想要复利后的总结果（由于小水晶，整个群体生长多快）。如果我们有总增长率并想要单颗水晶的速率，我们反向计算并使用自然对数.

例2：最高利率

假设我在一个账户里有 \$120，利率为 5%。我的银行很慷慨，给我最大可能的复利。10 年后我会有多少？

我们的利率是 5%，并且我们很幸运可以连续复利。10 年后，我们得到 $120 \cdot e^{.05 \cdot 10} = 197.85$。当然，大多数银行没好心到给你最好的可能利率。你的实际回报和连续复利回报之间的差额就是他们有多不喜欢你。

例3：放射性衰变

我有 10 公斤放射性材料，它似乎以每年 100% 的速率持续衰变。3 年后我会有多少？

零？零？什么都没有？再想想。

以每年 100% 持续衰变是我们开始的轨迹。是的，我们确实从 10 公斤开始，并预期在年底“全部失去”，因为我们以 10 公斤/年的速率衰变。

我们过了几个月，到了 5 公斤。还剩半年？不！现在我们以 5 公斤/年的速率损失，所以从这一刻起我们还有整整一年！

我们再等几个月，到了 2 公斤。当然，现在我们的衰变速率是 2 公斤/年，所以从这一刻起我们有完整的一年。我们到了 1 公斤，有完整的一年，到了 .5 公斤，有完整的一年——看到规律了吗？

随着时间推移，我们失去材料，但我们的衰变速率减慢。这种不断变化的增长就是连续增长与衰变的本质。

3 年后，我们会有 $10 \cdot e^{(-1)(3)} = 10e^{-3} = .498 \text{ kg}$。我们对衰变使用负指数——我们想要一个分数（$1/e^{rt}$）而非增长乘数（$e^{rt}$）。[衰变通常以“半衰期”表示——我们将在未来的文章中讨论转换这些速率。]

更多示例

如果你想要更复杂的例子，试试Black-Scholes 期权公式（注意 e 用于价值的指数衰变）或放射性衰变。目标是看到公式中的 $e^{rt}$ 并理解它为什么在那里：它在建模一种增长或衰变。

现在你知道为什么它是“e”，而不是 pi 或其他数字：e 的“r*t”次方给你变化率(Rate of Change) r 和时间 t 的增长影响。

还有更多可学的内容

我的目标是：

• 解释为何 e 很重要：它是一个基本常数(Constant)，就像 pi 一样，出现在增长率中。
• 给出一个直观的解释：e 让你看到任何增长率的影响。每一个新“片段”（绿先生、红先生等）都有助于增加总增长。
• 展示它的用法：$e^x$ 让你预测任何增长率和时间段的影响。
• 让你渴望了解更多：在接下来的文章中，我将深入探讨 e 的其他性质。

这篇文章只是开始——把所有内容塞进一页会让你我都疲惫。拍拍身上的灰，休息一下，了解一下 e 的邪恶双胞胎，自然对数.

本系列其他文章

1. 指数函数的直观指南与 e
2. 揭开自然对数（ln）的神秘面纱
3. 简单、复合和连续利率的可视化指南
4. e 的常见定义（上色版）
5. 理解指数（为什么 0^0 = 1？）
6. 在现实世界中使用对数
7. 如何用指数和对数思考
8. 理解离散增长与连续增长
9. 指数到底意味着什么？
10. 问：为什么 e 很特别？（2.718...，而不是 2、3.7 或其他数字？）