是否曾对指数的含义感到困惑？我确实有过。
就像单词"run"一样，含义取决于上下文：
- 爬行/行走/跑步（运动）
- 经营一家公司（一般运营）
- 一连串好运（序列）
- 以及一个 另外十几种定义
坚持对"run"的单一解释会导致混淆，数学中也是如此。让我们澄清指数的用法。
含义1：重复乘法
我们首先学到像$3^2$或$a^n$这样的指数是重复乘法：将$a$乘以$n$次。
就像用手指计数一样，这只在正整数范围内有效。分数指数是什么意思？负数呢？零呢？（既然 $a^0 = 1$，我们乘以零次得到1？）
$a^n$的常见用法: 计数问题. 如果你抛一枚硬币 $n$ 次，有 $2^n$ 种可能的结果。
含义2：增长微波
假设我有一个指数如 $3^{4.5}$。我在心里把它转换成 $1.0 * 3^{4.5}$，然后变成 $1.0 * g^{t}$。
通过这个 "生长微波" 类比，指数将我们的初始数量（1.0）以 $g$ 的速度增长 $t$ 个单位时间。（在这个例子中，3倍增长持续4.5秒。）
$t$ 可以取哪些值？
- 如果t为正，我们向前行进，数值变大（假设$g > 1$）。分数时间也是可行的——我可以让微波炉运行3.5分钟，效果介于3分钟和4分钟之间。
- 如果t为负，我们向后回溯，数值变小。如果普通微波炉允许负时间，它会冷却你的食物，对吧？
- 如果t为零，我们根本没有使用机器！我们剩下1.0，即初始量。
增长微波的解释有助于理解分数次幂（并解决了t=0的问题），但它并不 灵活的。速率加倍、时间减半并没有得到我们期望的结果：
3倍增长持续2秒并不等于6倍增长持续1秒。唉，我不是原始人，我们需要混合速率和时间！（记住这个想法。）
$g^t$的常见用法：人造系统。如果我同意在某个离散间隔（每年）支付你15%，我们可以将结果建模为 $(1.15)^t$。如果我决定提前结束支付（2.5年），我们可以在两个间隔之间进行指数插值（$r^{0.5}$ 是平方根）。我们通常设 $g = (1 + r)$，因此可以写成 $(1 + .15)^t$。
附带说明：让我们证明 $g^t$ 并不灵活。
![\begin{aligned}
g^t &\stackrel{?}{=} (gn)^{t/n} \ [\text{claim to test}] \\
g^{tn} &\stackrel{?}{=} (gn)^{t} \ [\text{raise both sides to nth power}] \\
g^{n} &\stackrel{?}{=} (gn) \ [\text{raise both sides to (1/t) power}] \\
g^{n} &\neq (gn) \ [\text{not true in general}]
\end{aligned}](../../wp-content/plugins/wp-latexrender/pictures/54d9c7aa0ac83ecd41d35a74c2a0d2fa.png)
然而，这表明特例 $2^2 = 4^1$ 是成立的。
含义3：连续增长引擎
常规读者知道我将 $e$ 视为一个连续增长引擎：
我们不再等待离散间隔的增长，而是立即应用利息并尽可能快地复利。 e的定义 的一个令人愉快的后果是，我们将速率和时间合并成一个单一的、可互换的量：
方便地，50%增长持续2年与100%增长持续1年相同。我们加倍了速率，减半了时间，得到了相同的结果。（实际上，我们可能更喜欢较短的时间段，但最终数量是相同的。）
输入 $x$ 是“增长燃料”，可以分解成“速率 * 时间”。底数 $e$ 是一个只关心你给它多少燃料的机器。将燃料在50个时间段内滴入，或者一次性用消防水带灌入。无论哪种方式，相同的总输入 $x$ 得到相同的最终结果。
$e^{rt}$的常见用法：自然系统。大多数物理定律具有连续增长模式（赚取利息和使用利息之间没有延迟）。我们可能偶尔为了方便而使用人造版本，例如，描述20年的放射性半衰期，即使原子是在即时基础上衰变的。
（附带说明：使用 自然对数 将一种指数格式转换为另一种。$g^t = e^{\ln(g)t}$）
含义4：幂级数计算
我们可以将 $e^x$ 视为一个奇特的数学函数：
你可能会看到 $e^x$ 写作 $\exp(x)$，像其他函数 $f(x)$ 一样对待。这里的 $x$ 只是一个输入到复杂幂级数的数值。重复计数、增长率、时间等概念退居幕后（尽管我们可以 如果我们仔细看就能看到它们).
奇怪的是，我们得到了整数幂（$x^0, x^1, x^2, x^3$），而我们的“重复乘法”解释再次出现！指数 $x$ 的幂次从乘法的次数切换为被乘的底数。（ 圆圈 生活的。）
$\exp(x)$的常见用法: 当我们将 $e^x$ 视为另一个函数时，会浮现出一些性质：
- 使用 指数的微积分 变得简单多了，因为我们可以对每一项求导数/积分（并认识到$\frac{d}{dx} e^x = e^x$）。
- 指数近似变得容易：当$x$很小时，$e^x \sim 1 + x$，因为高阶幂次变得可忽略。
- 其他数学模式豁然开朗。正弦和余弦有类似于$e^x$的展开，暗示三角函数和指数函数是相连的（欧拉公式(Euler's Formula)).
- $e^x$看起来像一个无限次的多项式，并且最终会超越任何有限次多项式。（虽然一开始$x^2 + 100 > e^x$，但$e^x$最终会超过它。）
那么指数函数的哪个版本最好？
你大概猜到了：这取决于情况，不过对于一般读者，这些解释按从最常见到最不常见的顺序列出。
如果某个公式说不通，尝试切换版本。人生苦短，对指数只有单一的解释可不行。
数学愉快。