从不同角度观察同一个数学概念有助于理解 建立直觉。鉴于 e 是我最喜爱的常数（抱歉，π），不久前我将这些定义 e 的定义 放在一起以可视化它们的联系：
关键直觉： e 表示 100% 的连续增长.
今天，让我们用着色观点重新审视每个定义，从几个不同角度描述连续增长。
定义 1：复利(Compound Interest)的完美情形
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这个 e 的定义是我最初 起点 理解概念时所用的。我们从 1 增长到 2（100% 的利率）开始，然后越来越频繁地复利这个增长。
最终，我们看到 1 增长到 2.71828...，达到了极限速度 e。
关键在于区分定义中每个“1”的角色。一个是基础量，一个是利息，另一个是我们计划增长所隐含的单个时间单位。数学是如此抽象，以至于我们没有单独标记这些分离的部分，它们只是相互作用的量。
定义 2：追踪每一份利息的贡献
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这个定义将复利过程分解成我们可以单独观察的块。我喜欢把每个组成部分看作一个“工厂”，它正在赚钱。我们从初始金额开始，它产生利息。该利息又产生自己的利息，以此类推（了解更多).
从微积分的角度来看，这就是发生的事情：
- 我们的初始数量是 1（始终如此）
- 本金以 100% 的连续复利增长，经过时间 $x$ 后，获得的利息为 $\int 1\, dx = x$。（经过 1 个单位时间后，利息为 1）
- 经过时间 x 后，该利息（$x$）又产生了利息 $\int x \,dx = \frac{1}{2} x^2$。（经过 1 个单位时间后，利息为 $\frac{1}{2}$）
- 经过时间 x 后，这笔利息（$\frac{1}{2}x^2$）又赚取了 $\int \frac{1}{2} x^2 \,dx = \frac{1}{2}\frac{1}{3}x^3 = \frac{1}{3!}x^3$（经过 1 个单位时间后，值为 $\frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$）
以此类推。每一瞬间，整个利息链都在增长。学习微积分时，你可能曾反复尝试积分 $x$ 只是为了好玩（whatever gets you going）。这个游戏正是我们得到 $e$ 的方式。
我们不必代入 $x=1$ 来计算 $e^1$，而是可以保留 $x$ 未指定，以处理任意时间长度：
我喜欢看到每一部分利息如何贡献给整体。后面的项有更大的幂，但需要除以更大的阶乘。对于非常小的 $x$（比如 1%），我们可以将 $e^x$ 近似为：
例如，连续复利 1% 持续一年仍然大约为 1.01，因为复利带来的增长很小。（是的，$e^{0.01} = 1.01005$。）
定义 3：维持 100% 的连续增长
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这是最短的定义，但依赖于微积分机制。简而言之，我们是在说 $e^x$ 的变化量总是恰好等于当前已有的量。
这个 导数 ($\frac{d}{dx}$) 衡量瞬时变化：
我们说 $e^x$ 是使这个机器返回原始值的输入。（类似地，“0”是使加法返回原始值的输入；1.0是使乘法返回原始值的输入。）
我们可以验证这一点。之前我们看到 $e^x$ 实际上是这个等式：
如果你对右侧的每一项求导数，我们得到：
简化为
换句话说，每一项都被“拉”到了左边，常数1.0消失了（它不变化）。我们得到了原始形式，因此 $e^x$ 是自己的导数。（这里没有+C的猫腻，因为 $\frac{d}{dx} (e^x + C) \neq e^x + C$。）
尽管其他函数如 $f(x) = x^2$ 或 $f(x) = \sin(x)$ 可能 瞬间地 在某些瞬间等于其导数，但它们无法对所有 $x$ 值保持这一点。$e^x$ 就像迪士尼乐园的游乐设施，永远保持魔力。
定义 4：利用自然对数(Natural Log)定义 e
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这个定义是最棘手的：不是直接讨论e，而是反向推导。
定义 自然对数 为从1增长到 $a$（我们想要的数字）所需的时间，假设100%连续利率。这看起来像什么？
假设我们已经增长到4.0。要增长到5.0需要多长时间？假设100%利率，每个时间段增长4个单位，因此需要1/4个单位时间才能增长到5。
当我们在5时，需要1/5个单位时间才能达到6。
依此类推。从1增长到a所需的时间是从1到2（1个单位），加上2到3（1/2个单位），加上3到4（1/3个单位），直到达到 $a$。
（实际上，我们需要微观地分解时间，从1增长到1.1，再到1.2，等等。这正是积分 $\int\frac{1}{x}\,dx$ 所做的。）
呼！一旦我们定义了“从1增长到a所需的时间”这一概念，我们就说e是需要1个单位时间达到的数。换句话说：
这里，e是“自然对数的底数”。
追溯其中的相似之处
当我能轻松切换不同定义并注意到相似之处时，我对一个概念感到自在。例如，看看每个着色中出现的条目：你是否看到“利率”在每个定义中出现？单位量呢？完美或无限精确变化的概念呢？
当e成为你蝙蝠腰带上灵活的工具，而不是需要背诵的咒语时，感觉棒极了。
数学愉快。