尽管利率无处不在，但它们令人困惑。本文深入探讨利率为何如此表现。
理解这些概念有助于理解金融（房贷与储蓄利率），以及 无所不在的 e 和 自然对数。这是我们的速查表(Cheatsheet)：
| 术语 | 公式 | 描述与用法 |
|---|---|---|
| 简单 |  |
固定、不增长的回报（债券利息） |
| 复利 （每年） |
 |
每年变化（股票市场、通货膨胀） |
| 复利 （每年 n 次） |
 |
每月/每周/每天变化（储蓄账户） |
| 连续增长 |  |
每瞬间变化（放射性衰变、温度） |
| APR | 年化利率(Annual Percentage Rate)（不含复利） | |
| APY | 年化收益率(Annual Percentage Yield)（包含所有复利效应） | |
- P = 本金(principal)，即你的初始投资（例如 \$1,000）
- r = 利率(interest rate)（例如每年 5%）
- n = 时间周期数（例如 3 年）
以及一个将 APR 转换为 APY 的快速计算器：
为何要大费周章？
利率是复杂的。就像罗马数字和象形文字一样，我们的第一个系统“能用”，但并不理想。
起初，你可能拥有 100 枚金币，每年获得 12% 的回报（percent = per cent = 每百——那些罗马数字仍会出现！）。这很简单：我们每年得到 12 枚硬币。但这真的是 12 吗？
如果我们拆开看，似乎我们每月赚 1 枚金币：1 到 6 月得 6 枚，7 到 12 月得 6 枚。但等一下——在 6 月付款后，我们 7 月会有 106 枚金币，却在下半年只赚 6 枚？你是说 100 和 106 在 6 个月内赚得一样多？按这逻辑，100 和 200 赚得也一样多？哎呀。
这个问题似乎没有困扰古埃及人，但在 17 世纪引发了疑问，并导致了 伯努利(Bernoulli)发现 e （抱歉数学爱好者，e 不是通过某个奇怪极限会有有用性质的直觉发现的）。这个谜题有很多可说——当我们剖析利率时请记住这一点：
- 利率和术语是在复利概念出现之前发明的。 见鬼，早在公元前 1500 年，贷款就已经存在了，那时还没有指数、0，甚至还没有小数点！所以难怪我们的讨论会变得如此混乱。
- 自然不会等人类的一年过去才改变。利息收入是一种“增长”，但像温度和放射性衰变这样的自然现象却在不断变化，每一秒甚至更快。这也是物理方程用“e”而不是“$(1+r)^n$”来建模变化的原因之一：大自然在进行调整时，可不会理会我们的日历。
学习术语
由于这些复杂性，我们需要几个术语来讨论利率：
- APR（年化利率）： 别人告诉你的利率（“每年 12%！”）。你在公式中会看到它表示为“r”。
- APY（年收益率）： 经过一年后，在考虑了所有复利效应后你实际获得的利率。你可以将其视为公式中的“总回报”。APY 大于或等于 APR。
APR 是银行告诉你的，APY 是你实际支付的（含税、运费和手续费后的价格，如果你懂我意思）。当然，银行会宣传看起来更好的那个利率。
办信用卡或车贷时？他们会展示你支付的“低 APR（年化利率）”，来掩盖更高的 APY（年化收益率）。但开储蓄账户呢？嗯，他们当然会吹嘘支付的“高 APY”来显得慷慨。
APY（实际收益率）是你所关心的，也是用来比较不同方案的方式.
单利(Simple Interest)
咱们从最基础的开始： 单利(Simple interest)在一段时间内支付固定金额。几个例子：
- 伊索寓言中的金鹅：它每天下一个金蛋。它没法下得更快，而且这些蛋也不会自己长成金鹅。
- 公司债券：一张面值为 \$1000、利率（票面利率）为 5% 的债券，每年向你支付 \$50，直到到期。你无法增加其面值，所以 \$50/年 就是你从这张债券中获得的收益。（实际上，该债券会每 6 个月支付 \$25）。
单利是最 基本的回报类型。将 \$100 存入一个年利率 50% 的单利账户，看起来像这样：
你以本金（即投资）\$100 起步，每年赚 \$50。我想象蓝色的本金每年把绿色的钱“铲”上去。
然而，这些新的绿钱是停滞的——它无法增长！在单利下，\$50 就停在那里。只有原始的 \$100 能“工作”来生钱。
单利有个简单公式：每个周期你赚 P * r（本金 * 利率）。经过 n 个周期后你赚到：
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只要“r”和“n”指同一时间段，这个公式就成立。可以是年、月或天——不过大多数情况下我们考虑的是年化利息。这里没有猫腻，因为没有复利——利息无法增长。
单利在以下情况有用：
- 你的利息收益创造了无法进一步增长的东西. 这就像金鹅下蛋，或者企业债券支付无法再投资的钱。
- 你想要简单的、可预测的、非指数的结果. 假设你正在鼓励孩子存钱。你可以解释说，他们存钱罐里每存 20 美元，你就会存入 1 美元/月的“娱乐资金”。大多数孩子会非常兴奋，每个月都去买漫画书。如果你的姓氏是 Greenspan，你的孩子可能会要求将股息再投资。
实际上，单利相当罕见，因为大多数收益类型都可以再投资。这里其实没有 APR 与 APY 的区分，因为你的收益不会变：每年你总是赚一样多。
真正理解增长
大多数利息讲解到此为止：这是公式，去愉快地用吧。但这里不：咱们看看真正发生了什么。
首先，利率是什么意思？ 我把它看作一种“速度”:
- 50英里/小时 意味着你在一小时内将行驶 50 英里
- r = 每年50% 意味着你将在一年内赚取本金的 50%。如果 P = \$100，你将赚取 \$50/年（你的“资金增长速度”）。
但这两种速度都有个微妙之处： 我们不必等满整个时间段！
开 50 mph 就意味着你必须跑满一小时？才不是！你可以“只”开 30 分钟走 25 英里（50 mph * .5 小时）。你可以开 15 分钟走 12.5 英里（50 mph * .25 小时）。你懂的。
利率也类似。利率给你一条要遵循的“轨迹”或“步调”。如果你有 \$100，单利利率 50%，你的步调就是 \$50/年。但你不需要按这步调跑满一年！如果增长了 6 个月，你就该拿到 \$25。看看这个：
我们从蓝色的 \$100 开始。每年那笔蓝钱给我们的总额贡献 \$50（绿色）。当然，在单利下，我们的收益基于原始金额，而非“新总额”。把点连起来得到一条趋势线：我们正沿着 \$50/年 的路径走。我们的支付像楼梯，因为只在年底付，但轨迹依然成立。
单利(Simple interest)保持相同的轨迹： 我们每年赚“P*r”，无论如何（此例中是 \$50/年）。那条直线精准预测了我们最终的位置。
“遵循一条轨迹”的想法可能奇怪，但忍一下——它在理解 e 的本质时会真有帮助。
有一点：轨迹就是银行账户在某一时刻“增长得多快”。在单利的情况下，我们就像困在一辆以相同速度行驶的汽车里：每年 \$50，或者说 50 英里/小时。在其他情况下，我们的速率可能会变化，就像跳伞者：他们起初很慢，但每一秒都落得越来越快。但在 任意瞬间，有一个单一的速度，一条单一的轨迹。
（数学大牛们会把这种轨迹称为“导数(Derivative)”或“梯度”。暂时还不必用微积分大锤去砸一只蚊子。）
基础复利(Compound Interest)
单利应该让你感到不安。 为什么我们的利息不能赚钱？ 我们应该用债券收益（每年 \$50）去买更多债券。见鬼，我们应该用金蛋去资助克隆金鹅的研究！
复利(Compound)增长意味着你的利息产生利息。Einstein 称其为“自然界最强大的力量之一”，这是真的。当你有一个会增长的东西，它创造出更多会增长的东西，而这些又创造出更多会增长的东西……你的回报会迅速累积。
最基本的类型是逐期回报，通常意味着“逐年”。每年复利我们的利息看起来像这样：
我们在第 0–1 年赚了 \$50，就像单利一样。但在第 1–2 年，既然我们的总额是 \$150，今年我们能赚 \$75（50% * 150），得到 \$225。在第 2–3 年我们有 \$225，所以我们赚其中的 50%，即 \$112.50。
一般来说，我们每年拥有 (1 + r) 倍更多的“东西”。经过 n 年，这变成：
指数增长超过了简单的线性利息，后者在第 3 年只有 \$250（100 + 3*50）。复利在以下情况很有用：
- 利息可以被再投资，这对于大多数储蓄账户来说是如此。
- 你想基于增长趋势预测未来值。大多数趋势，如通货膨胀、GDP 增长等，都被假定为“可复利”的。10 年间每年 3% 的 GDP 增长实际上是 $(1.03)^10 = 1.344$，即这十年间增长了 34.4%。
利息如同一座工厂
典型的解释把金钱看作随时间增长的“一团东西”。这个视角可行，但有时我喜欢把利息收益看作一个生成更多钱的“工厂”：
发生的事情如下：
- 第0年： 我们从 \$100 开始。
- 第1年： 我们的 \$100 创造了一个 \$50 的“债券”。
- 第2年： \$100 又产生了一个 \$50 债券。\$50 产生一个 \$25 债券。总计为 50 + 25 = 75，与预期相符。
- 第3年： 事情变得有点疯狂。\$100 创造了第三个 \$50 债券。两个已有的 \$50 债券各产生 \$25。而 \$25 产生了一个 12.50。
- 第 4 年到无穷(Infinity)年： 留给读者作为练习。（你难道不喜欢教科书这种搪塞吗？）
这是一个有趣的视角。那 \$100 只是无脑地生产出 \$50 的“工厂”，这些工厂开始独立赚钱（注意从蓝色本金指向绿色 \$50 的三条蓝色箭头）。这些 \$50 工厂创造出 \$25 工厂，依此类推。
这个模式看似复杂，但在某种方式上也更简单。那 \$100 根本不知道那些疯狂的 \$50 在搞什么：就 \$100 所知，我们每年只赚 \$50。
那么为什么这个视角有用？
- 你可以将本金（\$100）与子项（利息产生的收益）的影响分开。 例如，在第3年我们总共有 \$337.50。本金赚了 \$150（“3 * 50% * \$100 = \$150”，用的是单利公式！）。这意味着各个“子利息”贡献了 \$337.50 – \$150 – \$100 = \$87.50，约占总价值的1/3。
- 将收益拆解为各个组成部分有助于理解 e。 多了解一点 e 是好事，因为它随处可见。
而且，用新眼光看旧想法总是有趣的。至少对我们其中一个来说是。
理解增长轨迹
哦，我们还没完。还有一个洞察——看看我们的轨迹：
在单利下，我们永远保持同样的步调（每年 \$50——相当无聊）。在年度复利下， 我们每年都会得到一条新的轨迹.
我们存入钱，去睡觉，然后在年底醒来：
- 第1年： “嘿，等一下。我有 \$150 块了！我应该每年赚 \$75，不是 \$50！”你冲银行家大喊，把旋钮调到 \$75/年，然后又去睡了。
- 第2年： “嘿！我有 \$225，应该每年赚 \$112.50！”你冲银行尖叫，让他们调整利率。
这个过程永远重复——我们似乎永远学不乖。
再探复利(Compound Interest)
我们为什么要等这么久？当然，一次等一年比等“永远”（比如单利）要好，但我觉得我们可以做得更好。让我们放大来看一年：
看看发生了什么。绿线代表我们的起始速度（\$50/年），实色区域显示我们账户里的现金。6个月后，我们赚了\$25却一分钱都没看到！更重要的是，6个月后我们的轨迹和开始时一样。那个 利息缺口 显示了我们赚到的利息，但却停留在原始轨迹上（基于原始本金）。我们亏掉了本应赚到的钱。
想象一下我把你的钱拿走，6个月后才还给你。 “嗯，你看，我整整一年都没用这笔钱，所以我其实不欠你什么利息。毕竟，利息是按年计算的。按年——不是按六个月。” 你会笑着派 Bubba 去打断我的腿。
年度支付是人为的产物，用来让事情简单。但在现实中，钱应该一直都在赚。我们可以在6个月后支付利息来缩小差距：
这是发生的事：
- 我们从 \$100 和 \$50/年 的轨迹开始，和平时一样
- 6个月后我们拿到 \$25，变成 \$125
- 我们按新轨迹出发：50% * \$125 = \$62.5/年
- 6个月后我们收到 62.5/年 乘 0.5年 = 31.25。我们有 125 + 31.25 = 156.25。
关键在于我们的轨迹在半年时改善了，我们赚了156.25，而不是“预期”的150。而且，提前支付让我们的差距区域（白色部分）更小，因为我们的\$25利息在后半年也在工作（它贡献了额外的6.25，即\$25 * 50% * .5年）。
对于1年，利率 r 复利 n 次的影响是：
在我们的例子中，我们有 $(1 + 50\%/2)^2$。对 t 年重复此过程（乘 t 次）得到：
复利(Compound interest)减少了“闲置空间”，即我们的利息没有在赚取利息的地方。我们复利越频繁，赚取利息和更新轨迹之间的差距就越小。
连续增长
显然，我们希望钱尽可能快地“上线”。连续增长(Continuous growth)是复利中的类固醇：你把差距缩小到无影无踪，把一年分成越来越多的时间段：
净效果是利息一产生就立刻利用。我们等一毫秒，算出新的总额，然后按新轨迹走。只不过不是每一毫秒：是每一纳秒、皮秒、飞秒，以及我不知道名字的间隔。连续增长让轨迹和你当前的数量完美同步。
阅读关于 e 的文章 更多细节（e 是一个特殊数字，像 pi 一样，大约是 2.718）。如果我们有利率 r 和时间 t（以年计），结果是：
如果你有 50% 的 APR（年化利率），连续复利下 APY（年化收益率）就是 $e^(.50)$ = 64.9%。差别相当大！注意 e 处理了那些麻烦的部分，比如除以无穷多个周期。
这有什么用？
- 大多数自然现象都是连续增长的。如前所述，物理现象按自己的节奏增长：放射性物质不会等地球绕太阳一圈才决定衰变。任何描述变化的物理方程都会用 $e^rt$。
- $e^rt$ 是可调节的、万能的指数函数。听起来奇怪，但 e 甚至能建模我们见过的那种跳跃、阶梯式的复利增长。我们会在后面的文章里细说。
大多数利息讨论都把 e 漏掉了，因为连续利息在金融计算中不常用。（每日复利，$(1 + r/365)^365$，对你的银行账户来说已经够慷慨了，非常感谢。但说真的，每日复利已经是连续增长很好的近似了。）
指数 e 是我们跳跃的“延迟”增长与自然世界平滑变化之间的桥梁。
几个例子
我们来试几个例子确保你理解了。记住：APR 是他们给你的利率，APY 是你实际赚到的（你的真实回报）。
- 4.5% 的 APY 是否优于 4.4% 的 APR（按季度复利(Compounding)计算）？ 你需要用 APY 对比 APY。4.4% 按季度复利是 $(1 + 4.4\%/4)^4 = 4.47% $，所以 4.5% 的 APY 仍然更好。
- 我应该在月末还是月初偿还房贷？ 肯定是月初。这样你能早早干掉一大块债务，阻止那个“债务工厂”赚30天的利息。假设你的贷款 APY 是 6%，月供是 \$2000。若在月初付款，你一年能省 \$2000 * 6% = \$120，30年房贷下来就是 \$3600。几千块也不是小数目。
- 我应该采用多次小额还款，还是一次性大额还款？。你想尽早还清债务。\$500/周 连付4周，好过月底一次性付 \$2000。每笔付款都停掉几周利息。数学稍复杂，但可把它想成4笔 \$500 的投资，各自收益不同。一个月内，第一笔省了3周利息：$500 * (1 + daily rate)^21$。第二笔省2周：$500 * (1 + daily rate)^14$。第三笔省1周 $500 * (1 + daily rate)^7$，最后一笔不省利息。不管细节如何， 提前还款会帮你省钱。
一般原则： 投资时，尽早拿到利息，这样它能复利。借钱时，尽早还债以 防止 来自复利的利息。
继续向上
一次消化这么多内容不容易，但我希望你已经看到了全貌：
- 利率（APR）是资金增长的“速度”.
- 复利(Compounding)让你在赚取更多利息时调整自己的“速度”。APR 是初始速度；APY 是这一年里的实际变化。
- 人为增长使用 $(1+r)^n$，或某种变体。我们喜欢贷款和年份对齐。
- 自然增长使用 $e^{rt}$。宇宙并不怎么在乎我们的太阳历。
- 利率很微妙。 拿不准时就问 APY，并尽早还债。
以这种奇特的方式（轨迹和工厂）来看待利息，将帮助我们理解 e 的一些更酷的特性，这些特性在微积分(Calculus)中非常有用。此外，试试 72法则 来快速心算利率的影响（那个年化收益率 6% 的投资将在 12 年内翻倍）。数学愉快。