之后 理解指数函数，我们的下一个目标是自然对数。
鉴于数学书中对自然对数的描述，它几乎谈不上“自然”：它被定义为 $e^x$ 的反函数，而 $e^x$ 本身已经足够奇怪了。
但有一个新颖、直观的解释： 自然对数表示达到一定增长水平所需的时间.
假设你投资了橡皮糖（谁没有呢？），年利率为100%，连续复利。如果你想要10倍增长， 假设连续复利你只需等待 $\ln(10)$ 即2.302年。不明白为什么只需几年就能获得10倍增长？不明白为什么增长模式不是1、2、4、8？ 更多关于e的内容.
e 和自然对数是孪生兄弟：
- $e^x$ 是我们从1.0开始连续增长 $x$ 单位时间后所拥有的量
- $\ln(x)$（自然对数）是 时间 要达到数量 $x$ 所需的时间，假设我们从1.0开始连续增长
还不错吧？当数学家们忙着给你冗长、技术性的解释时，让我们直接进入直观的理解。
E 是关于增长(Growth)的
数字 e 与连续增长有关。正如上次所见，$e^x$ 使我们能够合并速率与时间：连续复利下，100%增长3年等同于300%增长1年。
我们可以取任意速率与时间的组合（如50%增长4年），为了方便将其转换为100%增长率（即100%增长2年）。通过转换为100%的速率，我们只需考虑时间分量：
直观上，$e^x$ 意味着：
- 经过 x 单位时间后能获得多少增长（在100%连续增长下）
- 例如：经过3个时间段，我拥有 $e^3$ = 20.08 倍的“东西”。
$e^x$ 是一个缩放因子，告诉我们经过 $x$ 单位时间后我们获得的增长量。
自然对数(Natural Log)是关于时间(Time)的
自然对数(Natural Log)是 $e^x$ 的反函数（逆运算）。说得花哨一点，它的拉丁名是 logarithmus naturali，缩写为 ln.
那么这种逆运算或相反的东西意味着什么呢？
- $e^x$ 让我们代入 时间 并得到增长量。
- $\ln(x)$ 让我们代入 增长 并得到 所需的时间。
例如：
- $e^3$ 是20.08。经过3单位时间，我们最终拥有初始量的20.08倍。
- $\ln(20.08)$ 大约是3。如果我们想要20.08的增长，我们需要等待3单位时间（再次假设100%连续增长率）。
跟上我的思路了吗？自然对数给出了达到期望增长所需的时间。
对数算术(Logarithmic Arithmetic)并不普通
你以前学过对数(Logarithms)，它们曾是很奇怪的家伙。它们是如何将乘法转化为加法，除法转化为减法的？让我们来看看。
$\ln(1)$ 是多少？直观上，问题就是：我需要等多久才能得到当前数量的1倍？
零。没有。无。你已经 在 在你的当前数量上乘以1！从1增长到1不需要任何时间。
- $\ln(1) = 0$
好的，分数值呢？需要多久才能得到当前数量的一半？假设你以100%连续增长，我们知道 $\ln(2)$ 是翻倍所需的时间。如果我们 反过来 （即取负时间）就会得到当前值的一半。
- $\ln(.5) = – \ln(2) = -.693$
有道理吧？如果向后移动0.693个单位（比如负秒数），我们就会得到当前量的一半。一般来说，你可以取倒数然后取负：$\ln(1/3) = – \ln(3) = -1.09$。这意味着如果我们倒退1.09单位时间，我们就会拥有现在的三分之一。
好的，负数的自然对数呢？需要多少时间才能将你的细菌菌落从1“增长”到-3？
这是不可能的！你不能有“负”数量的细菌，对吧？最多（呃…最少）你可以有零，但不可能有负数量的小生物。负数细菌根本说不通。
- $\ln(\text{负数}) = \text{未定义}$
无定义(Undefined)就是说“没有可等待的时间长度”来得到负数量。（当然，如果我们使用 虚指数，那么是有解的。但今天我们保持实数范围。）
对数乘法(Logarithmic Multiplication)非常有趣
增长到当前数量的9倍需要多长时间？当然，我们可以直接用ln(9)。但那太简单了，让我们换个思路。
我们可以将9倍增长视为先翻三倍（花费$\ln(3)$单位时间），然后再翻三倍（再花费$\ln(3)$单位时间）：
- 增长9倍的时间 = $\ln(9)$ = 翻三倍再翻三倍的时间 = $\ln(3) + \ln(3)$
有趣的是，任何增长数字，比如20，都可以看作2倍增长后跟10倍增长。或者4倍增长后跟5倍增长。或者3倍增长后跟6.666倍增长。看出规律了吗？
- $\ln(a*b) = \ln(a) + \ln(b)$
a乘以b的对数等于log(a)加log(b)。这种关系 合理 当从增长所需时间的角度思考时。
如果我们想要增长30倍，我们可以一次性等待$\ln(30)$，或者先等待$\ln(3)$翻三倍，再等待$\ln(10)$增长10倍。最终效果相同，所以总时间也应该相同（事实也是如此）。
除法呢？$\ln(5/3)$意味着：增长5倍然后取其中的1/3需要多长时间？
嗯，增长5倍需要$\ln(5)$。增长1/3需要$-\ln(3)$单位时间。所以
- $\ln(5/3) = \ln(5) – \ln(3)$
也就是说：先增长5倍，然后“回溯时间”直到你拥有那个量的三分之一，这样你最终得到5/3的增长。一般情况下，我们有
- $\ln(a/b) = \ln(a) – \ln(b)$
我希望对数的奇怪数学开始变得有意义了：增长的乘法变成时间的加法，增长的除法变成时间的减法。不要死记硬背规则， 理解它们.
将自然对数用于任意增长率
“当然，”你说，“这个对数适用于100%增长，但我通常得到的5%呢？”
没问题。我们从$\ln()$得到的“时间”实际上是速率和时间的组合，也就是$e^x$方程中的“x”。我们假设100%只是为了简单，但我们可以使用其他数字。
假设我们想要30倍增长：代入$\ln(30)$得到3.4。这意味着：
- $e^x = \text{增长量}$
- $e^{3.4} = 30$
直观上，这个方程的意思是“100%回报率持续3.4年得到30倍增长”。我们可以将方程视为：
我们可以调整“速率”和“时间”，只要速率×时间=3.4。例如，假设我们想要30倍增长——在5%回报率下需要等待多久？
- $\ln(30) = 3.4$
- $\text{速率} * \text{时间} = 3.4$
- $.05 * \text{时间} = 3.4$
- $\text{时间} = 3.4 / .05 = 68 \text{年}$
直观上，我认为“$\ln(30)=3.4$，所以在100%增长下需要3.4年。如果我将增长率翻倍，所需时间减半。”
- 100%增长持续3.4年 = 1.0 * 3.4 = 3.4
- 200%增长持续1.7年 = 2.0 * 1.7 = 3.4 [200%增长意味着时间减半]
- 50%增长持续6.8年 = 0.5 * 6.8 = 3.4 [50%增长意味着时间加倍]
- 5%增长持续68年 = .05 * 68 = 3.4 [5%增长意味着时间变成20倍]
很酷，对吧？自然对数可以用于任意 利率或时间 只要它们的乘积相同。你可以随意调整这些变量。
精彩示例：72 法则(Rule of 72)
这个 72法则 是一种 心算技巧 估算资金翻倍所需时间的方法。我们将推导它（耶！），更棒的是，我们将直观地理解它。
以100%的年复利，多长时间能让你的钱翻倍？
哎呀. 我们一直在用自然对数（natural log）来处理 连续 利率（rates），但现在你问的是 每年 利息（interest）？这不会搞乱我们的公式吗？是的，会，但在 合理的利率 像5%、6%甚至15%这样的利率，年复利和完全连续复利之间的差别不大。所以粗略的公式大致可行，嗯，大致上，我们可以假装我们获得的是完全连续复利。
现在问题简单了：以100%的利率翻倍需要多久？ln(2) = .693。在利率为100%的连续复利下，需要.693个单位时间（这里指年）就能让钱翻倍。
好吧，如果利率不是100%呢？如果是5%或10%呢？
简单。只要利率 × 时间 = .693，我们就能翻倍：
- 速率 * 时间 = .693
- 时间 = .693 / 速率
所以，如果我们只有10%的增长，翻倍需要.693 / .10 = 6.93年。
为了简化，我们乘以100，这样我们就可以讨论10而不是.10：
- 翻倍时间 = 69.3 / 速率，其中速率假设为百分数。
现在以5%的增长翻倍的时间是69.3/5 = 13.86年。然而，69.3并不是一个很容易被整除的数字。我们选一个接近的数，72，它可以被2、3、4、6、8以及更多数字整除。
- 翻倍时间 = 72 / 速率
这就是72法则！简单轻松。
如果你想找到翻三倍的时间，你会用ln(3) ≈ 109.8，然后得到
- 翻三倍时间 = 110 / 速率
这是另一个有用的经验法则。72法则适用于利率、人口增长、细菌培养以及任何指数增长的事物。
接下来去哪里？
我希望自然对数现在更有意义了——它告诉你 时间 实现任意指数增长所需的时间。我认为它是“自然”的，因为e是通用的增长率，所以ln可以被视为计算事物成长所需时间的“通用”方式。
当你看到$\ln(x)$时，只需想着“成长到x所需的时间”。在 下一篇文章 下一章中，我们将把e和ln结合在一起，数学的甜美芬芳将弥漫空中。
附录：E 的自然对数
快速小测验：$\ln(e)$是多少？
- 数学机器人说：因为它们被定义为反函数，显然 $\ln(e) = 1$
- 直观理解：ln(e) 是达到“e”个单位增长（约2.718）所需的时间。但 e 是 经过后的增长量 1单位时间，所以 $\ln(e) = 1$。
凭直觉想想。