指数增长有两种类型，很容易混淆：
- 离散增长：变化发生在特定间隔
- 连续增长：变化发生在每一瞬间
区别如下：
关键问题：增长何时发生？
在离散增长中，我们可以在特定事件发生后看到变化。我们抛硬币，获得新的可能性。我们有年度利息支付。交配季节结束，后代出生。
在连续增长中，变化是 总是 发生。我们无法指向某个事件并说“它改变了 此处”。模式总是在运动中（放射性衰变、细菌群落或完美复利）。
洞察：在离散与连续之间转换
我将变化视为沿着时间轴的事件：
离散变化以明显的绿色斑点形式发生。我们可以将它们分解成更小、更频繁的变化，并分散开来。通过足够多的分解，我们可以得到平滑、连续的变化。
那么，离散变化可以用某种等效的平滑曲线来建模。它看起来像什么？
自然对数找到了结果背后的连续速率。在我们的例子中，我们从1增长到2，这意味着我们的连续增长率为ln(2/1)=0.693=69.3%。自然对数作用于新旧值的比率：$\frac{\text{new}}{\text{old}}$。
数学上，
换句话说：100%的离散增长（每个周期翻倍）与69.3%的连续增长效果相同。（由于复利，连续增长需要的增长率更小。）
那么我们使用哪种版本？
现在问题是：我们应该如何谈论增长？这取决于场景：
- 如果增长发生于人造系统，离散增长更合适（$2^x$，$3^x$）
- 如果增长发生于自然系统，连续增长更合适（$e^x$）
我们来看一下。
示例：抛硬币
假设我们抛一枚硬币。可能的结果是什么？
- 1 次抛掷：2 种结果（正面或反面）
- 2 次抛掷：4 种结果（正正、正反、反正、反反）
- 3 次抛掷：8 种结果（正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反）
你明白我要说什么了。我会将可能性数量描述为$2^n$，其中 n 是抛掷次数。
按照惯例，我使用“n”（而不是x）：x可以表示x轴上的任意值（-3, 1.234, $\sqrt{14}$），而n表示整数（1, 2, 3, 4）。
能 我们是否可以说结果数量是$e^{\ln(2)x}$，其中x是抛硬币次数？是的。但这很令人困惑：在一个我们有人为变化的人造系统中 事件，我会使用离散版本来描述可能性。
示例：二进制数
二进制数遵循相同的模式：如果我们有 n 位，我们得到$2^n$种可能性。例如，8位有256个可能值，16位有65536个。
（在某些情况下，中间值可能是有意义的，比如表示所需的位数，尽管实际上我们需要整数位。这类似于说平均家庭有2.3个孩子。）
示例：放射性衰变
当放射性物质衰变时，我们通常会谈论其半衰期：多久会有一半的物质消失？
例如，碳-14的半衰期是5700年。我们可以这样表示：
如果等待5700年，预计会剩下$(1/2)^1=0.50$的碳。如果再等5700年，也就是11400年后，预计会剩下$(1/2)^2=0.25$的碳。
然而，这个公式是为了方便我们而写的。碳并不会跳跃式衰变，礼貌地等待5700年然后突然减少一半。我们使用(1/2)作为底数，是因为 我们人类 想要计算半减的次数（减半、再减半、减至八分之一……）。
放射性物质每时每刻都在变化。从物理学角度看，连续变化率更有意义。我们可以通过 连续衰减率 将离散增长转化为连续模式来找到它：
这有助于我理解自然对数为什么会 自然的 ——它描述了自然在每一瞬间的行为。而不是那种“等到减少50%好让人类容易计数”的无稽之谈。
在实践中，你并不是通过等待碳衰变50%来发现半衰期。你会等待一段合理的时间（比如一年？），利用自然对数找出该时间段内的连续变化率，然后计算出半衰期。
示例： 物质X在9个月内从53千克衰变到37千克。其连续衰变率和半衰期（以年为单位）是多少？
新量与旧量的比值为37/53，所以ln(37/53) = -0.359 = -35.9%，这是我们时间区间内的连续增长率。这发生在9个月内，所以月连续增长率为-35.9/9 = -3.98%。按比例放大，年连续增长率为-3.98% * 12 = -47.9%。（注意，增长率必须按时间区间缩放。没有时间区间的“12%利息”是无意义的。“每天12%的利息”不同于“每年12%的利息”。）
现在我们知道了连续增长率为每年-47.9%，可以算出何时会降到50%：
半衰期为1.44年。
示例：股市增长
这是一个棘手的问题：股票市场每天都在变化，看起来像是连续的，但不存在潜在的可预测的增长率。我们看到很多跳跃性的变化，并以年为单位采样来观察表现。市场通常用年化平均增长率来描述：
对于这种系统，$e^x$形式的连续增长率并不合理。我们并非试图建立投资组合在每一瞬间的价值模型：我们想知道30年后会怎样。
示例：人口增长
人口问题很棘手：取决于动物种类，离散模型或连续模型都可能有意义。
一个细菌群落由数十亿个生物体组成。尽管 每个细菌细胞 是离散增长的（必须等到分裂才能再次分裂），但整个 菌落 是平滑增长的，因为大量细菌处于不同的生长阶段。
如同放射性衰变的例子，我们可以在不同时间段对菌落进行采样，并计算出倍增所需的时间。我们可能有一个连续速率（$e^x$）表示菌落的瞬时速率，以及一个离散速率（$2^x$）帮助人类计数倍增次数。
让我恼火的问题之一是像“一个细菌菌落在24小时后倍增……”这样的表述。啊！你是告诉我这个菌落刚巧 发生 在一天内恰好有一个精确的连续速率ln(2)？
我宁愿你告诉我，菌落是在一个研究生连续盯着培养皿24小时后倍增的。（1.98公斤... 1.99公斤... 2.00公斤。我找到了倍增时间，可以回家了！教授您说什么？我...好吧，下次我会算出一个小时后的连续增长率。)
闲话少说，那如何为老虎种群建模呢？老虎有繁殖季节。它们并非全年都生育，因此种群变化是离散事件。
（当考虑到幼崽需要多久才能有自己的后代时，模型会变得更加复杂。）
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我写这篇文章是因为我的 关于 e 的视频 对 $2^x$ 如何表示“阶梯增长”有疑问。难道那不是一条平滑曲线吗？
当然，但大多数时候我们用2作为底数来模拟离散模式。$2^n$（其中n是整数）模拟了像抛硬币或二进制数字这样的离散场景。如果你的系统确实是连续变化的，为什么不给出连续速率并写成 $e^{\ln(2) x}$ 呢？
这里没有对错之分，只是我们传达的信息不同。整数底数（$2^x$，$3^x$）暗示你希望人们考虑x的整数值（半衰期是一个很好的例子）。使用$e$作为底数（$e^{\text{rate} \cdot \text{time}}$）则暗示你希望人们考虑每一时刻都在发生的变化。
无论哪种方式，都要流利掌握这两种模型，并学会在两者之间切换。
数学愉快。