在现实世界中使用对数(Logarithm)

对数无处不在。你是否用过以下短语？

六位数
两位数
数量级(Order of Magnitude)
利率

你是在用10的幂次来描述数字，这就是对数。而利率则是投资增长的对数。

对对数如此常见感到惊讶？我也是。大多数尝试 现实世界中的数学（TM） 指出对数存在于某些深奥的公式中，或者假装我们是迷恋里氏震级的地质学家。“科学家关心对数，你也应该关心。而且，你能想象一个没有锌的世界?"

不，不，不，不不，不不！（Mama mia!）

数学用类似“ln”或“log”的符号表达概念。在“现实世界中寻找数学”意味着在生活中遇到思想，并观察它们如何可以用符号书写。不要寻找字面符号！你上次写除号是什么时候？你上次切食物是什么时候？

好了，好了，我们明白了：对数是关于什么的？

对数(Logarithm)根据结果找到原因，即某个输出的输入

一种常见的“效应”是看到某物增长，比如在5年内从\$100增长到\$150。这是如何发生的？我们不确定，但对数找到了一个可能的原因：连续回报率ln(150/100)/5 = 8.1%可以解释这一变化。这可能不是实际原因（所有增长都发生在最后一年吗？），但它是一个平滑的平均值，我们可以与其他变化进行比较。

顺便说一句，“因果”的概念是微妙的。为什么1000大于100？

100是10经过2个时间段自身增长的结果（$10 * 10$）
1000是10经过3个时间段自身增长的结果（$10 * 10 * 10$）

我们可以把数字看作输出（1000是“1000个输出”）和输入（“10需要增长多少次才能产生这些输出？”）。所以，

1000 outputs > 100 outputs

因为

3 inputs > 2 inputs

或者换句话说：

log(1000) > log(100)

为什么这很有用？

对数(Logarithm)将数字放在对人友好的尺度上。

大数会让我们的大脑崩溃。百万和万亿“真的很大”，尽管一百万秒是12天，一万亿秒是3万年。这相当于美国人一个假期年份与整个人类文明之间的差距。

克服“大数盲”的技巧是用“输入”（即它们的以10为底的幂）来表示数字。这个较小的标度（0到100）更容易掌握：

0次幂 = $10^0$ = 1（单个元素）
1次幂 = $10^1$ = 10
3次幂 = $10^3$ = 千
6次幂 = $10^6$ = 百万
9次幂 = $10^9$ = 十亿
12次幂 = $10^12$ = 万亿
23次幂 = $10^23$ = 一打克碳中的分子数
80次幂 = $10^80$ = 宇宙中的分子数

一个0到80的标度就把我们从单个物品带到了宇宙中事物的数量。还不错。

对数(Logarithm)将乘法视为步骤

对数以乘法来描述变化：在上面的例子中，每一步都是10倍大。对于自然对数，每一步是“e”（2.71828...）倍。

在处理一系列乘法时，对数有助于“计数”它们，就像加法在效果相加时为我们计数一样。

给我看数学

进入正题：让我们看看对数出现在哪里！

六位数薪水或两位数开支

我们根据数字的位数来描述它们，即它们有多少个10的幂次（是在十位、百位、千位、万位等等）。增加一位意味着“乘以10”，即

$\displaystyle{1 \text{[1 digit]} \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \text{[5 more digits]} = 10^5 = 100,000}$

对数计算乘法的次数附加，因此从1（一位数）开始，我们再增加5位（$10^5$），100,000得到一个6位数的结果。谈论“6”而不是“十万”就是对数的本质。它给出了一个粗略的比例感，而不必深入细节。

附加题：如何描述500,000？说“6位数”具有误导性，因为6位数通常暗示接近100,000。那么“6.5位数”是否可行？

并非如此。在我们的认知中，6.5意味着在6位数和7位数之间“正中间”，但这是加法思维的产物。在对数(Logarithm)中，“.5”表示乘法意义上的中间值，即平方根（$9^.5$表示9的平方根——3在乘法意义上是中间值，因为从1到3和从3到9）。

计算log(500,000)得到5.7，加1得到额外位数，我们可以说“500,000是一个6.7位数”。在这里试试：

数量级(Order of Magnitude)

我们这些极客很喜欢这个短语。它大致表示“10倍差异”，但听起来比“大1位数”更酷。

在计算机中，一切以位(bit)计数（1或0），每一位的效果是加倍（而非10倍）。因此从8位到16位是“8个数量级”或$2^8 = 256$倍更大。（这里的“更大”指可寻址的内存容量。）从16位到32位意味着额外16个数量级，或$2^{16}$ ~ 65,536倍更多可寻址内存。

利率

我们如何计算增长率？一个国家并不会刻意以每年8.56%的速度增长。你看一下某年的GDP和次年的GDP，然后取对数(Logarithm)来找到隐式增长率(Growth Rate)。

我对自然对数(Natural Logarithm, ln(x))最喜爱的两种解读，即1.5的自然对数：

假设100%增长率，需要多长时间增长到1.5？（.405，少于半个时间段）
假设1单位时间，需要多快的增长率才能达到1.5？（每年40.5%，连续复利）

对数就是我们用来计算增长有多快的方法。

测量尺度：Google PageRank

Google给每个网页一个评分（PageRank），这是对权威性/重要性的大致衡量。这是一个对数标度(Logarithmic Scale)，在我脑海中意味着“PageRank统计的是你评分的位数”。

因此，PageRank为2（“2位数”）的网站比PageRank为1的网站受欢迎10倍。我的网站PageRank为5，CNN的PageRank为9，因此相差4个数量级($10^4$ = 10,000)。

粗略地说，我每天大约有7000次访问。用我的粗略估算，我猜测CNN每天大约有7000 * 10,000 = 7000万次访问。（我怎么算的？在心里，我想$7k * 10k = 70 * k * k = 70 * M$）。他们可能还有几倍于此（1亿、2亿），但很可能不超过7亿。

Google通过一个非常粗略的标度（1-10）传达了大量信息。

测量尺度：里氏(Richter)、分贝(Decibel)等

唉。我们来到了典型的“现实世界中的对数”例子：里氏震级(Richter Scale)和分贝(Decibel)。其理念是将变化幅度极大的事件（地震）放在一个范围较小的单一标度上（通常1到10）。正如PageRank，每增加1分，威力提高10倍。人类记录到的最大地震为9.5级；可能导致恐龙灭绝的尤卡坦半岛撞击事件为13级。

分贝类似，不过可以是负数。声音可以从极其安静（针落）到极度响亮（飞机），而我们的大脑能够处理这一切。实际上，飞机引擎的声音比针落声强数百万（数十亿、数万亿）倍，使用从1到无穷大的标度是不方便的。对数将所有事物保持在合理的标度上。

对数图

你经常能看到项目以“对数标度(Log Scale)”绘制。在我脑海中，这意味着一边在统计“位数”或“乘法次数”，而非数值本身。同样，这有助于在单一标度上展示变化极大的事件（从1到10，而非1到数十亿）。

摩尔定律(Moore's Law)是一个很好的例子：每18个月晶体管数量翻一番（图片由 Wikipedia).