理解指数(Exponent)（为什么 0^0 = 1？）

我们被教导指数是重复乘法。这是一个很好的入门，但在3^1.5和令人费解的0^0上就失效了。你怎么重复零零次得到1？

你做不到，只要指数被认为是重复乘法就不行。今天，我们的心智模型该升级了。

将算术视为变换

让我们退一步——我们是如何学习算术的？我们被教导数字是某物的计数（手指），加法是计数的组合（3 + 4 = 7），乘法是重复加法（2乘以3 = 2 + 2 + 2 = 6）。

重复加法在乘以像2和10这样的整数时有效，但在使用像-1和$\sqrt{2}$这样的数时就不行了。为什么？

我们的模型是不完整的。数字不仅仅是一个计数；更好的视角是一个 直线上的位置。这个位置可以是负数（-1），介于其他数之间（$\sqrt{2}$），或者在另一个维度（i）。

算术变成了一种变换一个数的方式：加法是滑动（+3意味着向右滑动3个单位），乘法是缩放（乘以3意味着放大3倍）。

那么指数是什么？

进入 Expand-o-tron(TM)

让我介绍一下Expand-o-tron 3000。

是的，这个装置 看起来 就像一个劣质的微波炉——但它的作用不是加热食物，而是增长数字。放入一个数字，就会出来一个新的数字。它的工作原理如下：

从 1.0 开始
设置增长到一秒钟后期望的变化 (2x, 3x, 10.3x)
设置时间到秒数
按下按钮

然后哗的一声！铃响了，我们拿出闪闪发光的新数字。假设我们想把1.0变成9：

将 1.0 放入 expand-o-tron
设置变化率为“3倍”增长，时间为2秒
按下按钮

数字从我们一开始操作就立即开始变换：我们看到1.0、1.1、1.2……就在第一秒结束时，我们达到了3.0。但它继续增长：3.1、3.5、4.0、6.0、7.5。就在第二秒结束时，我们达到了9.0。看我们闪闪发光的新数字！

数学上，expand-o-tron（指数函数）是这样工作的：

$\displaystyle{\text{original} \cdot \text{growth}^{\text{duration}} = \text{new}}$

或者

$\displaystyle{\text{growth}^{\text{duration}} = \frac{\text{new}}{\text{original}}}$

例如，3^2 = 9/1。底数是每个单位的增长量（乘以3），指数是时间（2）。像2^n这样的公式表示“以2倍增长率在expand-o-tron中运行n秒”。

我们总是在 expand-o-tron 中以 1.0 开始，观察它如何改变一个单位。 如果我们想看看在expand-o-tron中以3.0开始会发生什么，只需缩放最终结果。例如：

“从1开始，翻倍3次”意味着1 * 2^3 = 1 * 2 * 2 * 2 = 8
“从3开始，翻倍3次”意味着3 * 2^3 = 3 * 2 * 2 * 2 = 24

每当你看到单独的指数（如2^3），我们都是从1.0开始的。

理解指数缩放因子

当相乘时，我们只需说明最终的缩放因子。想要增大8倍？乘以8。搞定。

指数有点……挑剔：

你：我想增长这个数字。

Expand-o-tron: 好的，放进去。

你：它会变得多大？

Expand-o-tron: 呃，我不知道。让我们看看……

你：看看？我以为你知道——

Expand-o-tron: 嘘！！！它在增长！它在增长！

你： …

Expand-o-tron: 完成了！我的杰作活了！

你：我现在可以走了吗？

expand-o-tron是间接的。仅看它一眼，你不确定它会做什么：3^10对你意味着什么？它让你感觉如何？指数不希望我们有一个整洁的缩放因子，而是希望我们感受、体验甚至闻闻增长的过程。你最终得到的就是你的缩放因子。

听起来很绕且烦人。你知道为什么吗？ 自然界中的大多数事物都不知道自己最终会到哪！

你认为细菌会计划每14小时翻倍吗？不——它们只是尽可能快地吃掉你忘在冰箱里的发霉面包，而且随着数量增多，它们开始生长得更快。为了预测行为，我们利用它们的生长速度（当前速率）和它们会变化的时间（时间）来算出最终值。

答案必须计算出来——指数是一种表达“从这些条件开始，开始变化，然后看最终结果”的方式。指数计算器（或者我们的计算器）通过计算数值来得到最终缩放因子。但必须有人来做这件事。

理解分数次幂

让我们看看指数计算器能否帮助我们理解指数。首先：2^1.5 是什么意思？

当我们想到重复乘法时，这很令人困惑。但指数计算器让它变得简单：1.5 只是在机器中的时间量。

2^1 表示在机器中1秒（2倍增长）
2^2 表示在机器中2秒（4倍增长）

2^1.5 意味着在机器中 1.5 秒，所以介于 2 倍和 4 倍增长之间（稍后详述）。“重复计数”的想法让我们局限于整数，但分数秒是完全可行的。

指数相乘

如果我们想连续进行两次增长周期呢？假设我们在机器中用了 2 秒，然后以完全相同的功率再用 3 秒：

$\displaystyle{x^2 \cdot x^3 = ?}$

想想你常用的微波炉——这不等于连续 5 秒的周期吗？确实如此。只要功率设置（底数）保持不变，我们就可以直接把时间相加：

$\displaystyle{x^y \cdot x^z = x^{y + z}}$

同样，指数计算器给我们一个 缩放因子 来改变我们的数字。要得到两次连续使用的总效果，我们只需将缩放因子相乘。

平方根

让我们继续。假设我们在功率水平 a 上生长 3 秒：

$\displaystyle{a^3}$

不算太糟。那么生长一半时间会是什么样？那就是 1.5 秒：

$\displaystyle{a^{1.5}}$

如果我们这样做两次会发生什么？

$\displaystyle{a^{1.5} \cdot a^{1.5} = a^3}$

$\displaystyle{\text{partial growth} \cdot \text{partial growth} = \text{full growth}}$

看这个等式，我们发现“部分增长”就是全部增长的平方根！如果我们把时间时间减半，我们得到 平方根 缩放因子。如果我们将时间分成三等份呢？

$\displaystyle{a^1 \cdot a^1 \cdot a^1 = a^3}$

$\displaystyle{\text{partial growth} \cdot \text{partial growth} \cdot \text{partial growth} = \text{full growth}}$

这样我们就得到了立方根！对我来说，这是一个 直观的 指数除法得到根的原因：我们将时间分成相等的部分，因此每个“部分增长”周期必须具有相同的效果。如果三个相同的效果相乘，那么它们各自就是立方根。

负指数

现在我们势头正旺——负指数意味着什么？负秒意味着回到过去！如果向前增长得到缩放因子，那么向后应该会缩小它。

$\displaystyle{2^{-1} = \frac{1}{2^1}}$

这句话的意思是“1秒前，我们处于当前数量的一半（1/2^1）”。事实上，这是任何指数图像（比如2^x）的一个巧妙部分：

选取一个点，比如3.5秒（2^3.5 = 11.3）。未来1秒后，我们将达到当前数量的两倍（2^4.5 = 22.5）。1秒前，我们处于当前数量的一半（2^2.5 = 5.65）。

这对任何数字都成立！无论100万在哪里，我们在它之前1秒都处于50万。试试下面的例子：

零次幂

现在让我们试试棘手的东西：3^0 是什么意思？我们把机器设定为3倍增长，然后使用它…… 零秒。零秒意味着我们根本没有使用机器！

我们的新值和旧值相同（新=旧），所以缩放因子是1。使用0作为时间（指数）意味着根本没有变化。缩放因子始终是1。

以0为底

我们如何解释0^x？我们的增长量是“0倍”——一秒钟后，expand-o-tron（扩张机）消灭了这个数字，并将其变为零。但如果我们在1秒后消灭了数字，那实际上意味着任何时间长度都会摧毁这个数字：

0^(1/n) = 0^1的n次方根 = 0的n次方根 = 0

无论我们给它多小的指数，结果都将是一些 0的根。

0的0次幂

最后，令人畏惧的0^0。它是什么意思？

expand-o-tron（扩张机）来救援：0^0意味着0倍增长持续0秒！

虽然我们 计划的 在消灭数字，但我们从未使用过机器。没有使用意味着新值=旧值，缩放因子是1。0^0 = 1 * 0^0 = 1 * 1 = 1——它不会改变我们原始的数字。谜团解开了！

（对于数学极客：将0^0定义为1能使许多定理顺利工作。实际上，0^0取决于场景（连续或离散），并且存在争议。微波炉类比并非严格证明——它帮助我理解为什么它可以应该是1，而“重复计数”无法做到这一点。）

当我们尝试代入实际数字时会发生什么：

高级：重复指数(a的b次方的c次方)

重复指数很棘手。

$\displaystyle{\Large (2^a)^b}$

它是什么意思？它是“重复乘法，重复”——另一种说法是“先做一次指数运算，然后再做一次”。让我们来分析它：

$\displaystyle{(2^3)^4}$

首先，我想每秒翻倍增长：持续3秒（2^3）
然后，无论我的数字是多少（8倍），我想增长 那个新量 持续4秒（8^4）

第一个指数（^3）只知道取“2”并将其自乘3次。下一个指数（^4）只知道取前一个结果（8）并将其自乘4次。“阶段II”中的每个时间单位等同于重复整个阶段I：

$\displaystyle{(2^3)^4 = 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3 = 2^{3+3+3+3} = 2^{12} }$

重复计数解释帮助我们找到方向。但接着我们拿出expand-o-tron：我们在第一阶段生长3秒，然后重复这个过程再4秒。这对分数次幂同样适用——例如，

$\displaystyle{(2^{3.1})^{4.2}}$

意思是“生长3.1秒，然后使用那个新的增长率再生长4.2秒”。我们可以将时间（3.1 × 4.2）合并在一起，就像这样：

$\displaystyle{(a^b)^c = a^{b\cdot c} = (a^c)^b}$

这有所不同，所以试一些例子：

(2^1)^x 表示“以2倍速度增长1秒，然后‘以该增长倍数’再增长x秒”。
7 = (7^0.5)^2 表示“我们可以一次性跳到7。或者，我们可以计划增长到7，但只使用一半的时间（$\sqrt{7}$）。但我们可以将这个过程持续2秒，从而得到完整的数值（$\sqrt{7}^2 = 7$）。

我们就像孩子们学习3乘以7等于7乘以3（或者 a的b% = b的a% — 这是真的！）。

高级：为成长者重写指数

expand-o-tron有点奇怪：数字一进入就开始增长，但我们指定的是在每秒的结束结束时达到期望增长。

我们说我们在每秒的结束第一秒结束时想要2倍增长。但我们怎么知道开始时该用多大速率？在0.5秒时我们应该多快增长？不可能是全量，否则随着复利我们会超过目标。

关键在于： 像 2^x 这样写的增长曲线是从观察者的视角出发，而非增长者的视角。

值“2”是在区间的结束结束时测量的，我们反向推导来创建指数。这对我们很方便，但对增长量本身并非如此——细菌、放射性元素和钱并不关心是否与我们结束时区间对齐！

不，这些小家伙知道它们自己的 当前的瞬时增长率增长率，并且不试图与我们的边界对齐。这就像理解弧度与角度 ——弧度是“自然的”，因为它们是从运动者的视角测量的。

要进入生长者的视角，我们使用神奇数字 e还有很多要说的，但我们可以将任何“以观察者为中心”的公式（如2^x）转换为“以生长者为中心”的公式：

$\displaystyle{2^x = (e^{\ln(2)})^x = e^{\ln(2)x} }$

在这种情况下，ln(2) = .693 = 69.3% 是观察者看来像2^x所需的瞬时增长率。当你输入“每个周期结束时增长2倍”，expand-o-tron知道以69.3%的速率增长数字。

我们将这些细节留到以后——只需记住生长者的瞬时增长率（由细菌控制）与观察者在每个区间结束时测量的图表之间的区别。在所有这些之下，每个指数曲线都是e^x的缩放版本：

$\displaystyle{a^x = (e^{\ln(a)})^x = e^{\ln(a)x} }$

每个指数都是e的变体，就像每个数都是1的缩放版本。

为什么要用这个类比？

expand-o-tron 存在吗？数字真的排成一条线吗？不——它们只是看待世界的方式。

expand-o-tron 消除了看到 2^1.5 甚至 0^0 时的思维障碍：它只是 0 秒内的 0 倍增长，不会改变数字。一旦我们认识到增长的核心主题，从计算尺到欧拉公式的一切都开始豁然开朗——即使是像 i^i 这样的猛兽也能被驯服。

朋友之间不要互相认为指数就是重复乘法。快乐数学。

理解指数（为什么 0^0 = 1？）