算术为我们提供了工具，用于 挤压、滑动和拉伸 数字。这些变换很方便：有时现实世界中有些东西我们想要以同样的方式 挤压、滑动和拉伸 来处理。
为什么这很重要？
将算术视为一种 变换类型 能帮助你理解看似怪异的概念，比如-1的平方根，并以新的方式可视化问题。让我们来看一看。
加法
加法很简单，但它可以意味着几种不同的事物：
- 累积: 累加相似的数量（通常用于有形的物品）。
- 滑动: 沿刻度移动数字（用于不太有形的东西，如温度）。
- 组合: 用两个不同的量创造出新的量（如音乐和弦中的音符）。
正确的含义是什么？这取决于上下文。当加苹果时，我们把相似的项目加起来（3个苹果 + 4个苹果 = 7个苹果）。当测量温度时，我们通过加热来沿着刻度移动（3度 + 4度 = 7度）。
当加法作用于向量时，组合最有意义：向东3个街区 + 向北4个街区 = 向新方向5个街区（直线距离）。在这种情况下，你必须跟踪分量，将“北”和“东”分开。当加苹果时，你可以把所有东西合并：一旦得到7个，你不再关心它曾经是3和4。
一个单一的操作（加法）可以有几种直观的含义。这个列表并不详尽——它们是我注意到的交互，我相信你还有其他想法。
乘法
乘法也可以有多种解释：
- 重复: 执行多次加法。
- 缩放: 一次性让一个数字增长或缩小。
上下文决定了我们的含义。对于苹果，“4x”意味着将2个苹果的订单变成8个苹果（4组2个）。对于照片软件，“4x”意味着将2英寸的照片放大到8英寸长。每种含义都不同：如果我给你一个巨大的5磅苹果或4张单独的照片，你会很恼火。
从狭义上讲，乘法是“重复加法”。没错。但这并不总是最直观的解释——你愿意“重复加”7.3次吗？
负数和倒数
负数和倒数都代表“反向”或“相反”的概念。但这很模糊：乘2的相反是什么？
“相反”可能意味着几件事：
- 乘以1/2: 将盈利 1 变成盈利 1/2（“缩放”它）
- 乘以-2: 将盈利 1 变成亏损 2（翻转它）
再一次，我们的上下文决定了含义。当一家公司“逆转收益”时，意味着亏损，即乘以负数。当我们在照片软件中“反向缩放”时，我们希望缩小照片（而不是镜像），所以我们乘以1/2。上下文，上下文，上下文（对这个词厌倦了吗？）。
当涉及加法时，只有一种相反类型：+8的反面是-8。但关键在于知道-8实际上意味着“0-8”或甚至“0 + (-8)”：你相对于某个参考点向后移动。向后移动的意思取决于你原始的方向是东还是北。
方程里有什么？
方程提出问题。当你看到
这不仅仅是一个机械代入计算的问题。像这样思考这个问题：
什么 变换 （“乘以 x”），应用两次后，会把 1 变成 9？
我们有两个答案：
- 缩放3倍(乘以3): 做两次，你会得到 9：1 * 3 * 3 = 9
- 缩放3倍并翻转(乘以-3): 做两次，你也得到 9：1 * -3 * -3 = 9
很巧妙。我加入“1”是为了展示 什么 正在被变换。当然，这是可选的，但我们通常不会想到这一点。“乘以 3”作用在什么上面？
这样退一步思考，我们可以把算术看作将某个数推、拉、挤、压成另一个数的方法。我们把一个大的变换（“乘以 9”）分解成了两个相等的、较小的变换（“乘以 -3”或“乘以 3”）。
现实世界示例：随机数
理论够了——让我们展示一下这种思维的实际应用。大多数编程语言提供了一个 random() 函数，返回 0 到 1 之间的数。但如果你想要 5 到 10 之间的数呢？
问题是：我如何 变换 将 0-1 的范围变换成 5-10 的范围？
算术来拯救我们！
- 首先，你 拉伸 将 0-1 乘以 5 变成 0-5
- 接下来， 滑动 将 0-5 加上 5 变成 5-10
- 然后瞧。你有了一个从 5 到 10 的范围。
在下面试一试。你从一个数“r”开始，将其变换到合适的范围。
顺便说一句，这个范围可以是年龄 18-65、年份 1960-2007，或者模拟中使用的温度 30°F – 80°F（每个人都运行模拟，对吧？）。无论你的范围是什么，你都可以从“0 到 1”这个构建块开始，然后修改它。
当然，没有图表你也能算出来，但有时候看看 可视化 发生了什么也是很好的。我们的大脑是一台视觉处理超级计算机，所以让我们利用它的优势。
接下来是什么？
这篇文章引入了这样一个观点： 算术是一种变换。你将数字弯曲成其他数字，每个变换都有其含义。有些变换比其他变换更适合特定情境：选择你最喜欢的一个。
目标不是把乘法变成一个繁琐的图表化过程。它是一种技术， 一种心态一种用来对付看似复杂运算的新武器。
在学习线性代数（矩阵）时，你可以把乘法看作一种变换（缩放、旋转、倾斜），而不是一堆改变矩阵的运算。这种方法将有助于 我们涵盖虚数理解那个让许多学生困惑的可怕家伙。
小见解有助于大想法豁然开朗。快乐数学。