有一个流传很广的故事，关于 高斯，数学家中的非凡人物，他有一位懒惰的老师。这位所谓的教育家想让学生们忙碌起来以便自己打个盹；他让全班同学计算从1加到100的和。
高斯很快给出了答案：5050。这么快？老师怀疑有作弊行为，但并非如此。手动加法是傻子才做的事，高斯找到了一个绕过问题的公式：
让我们分享几个关于这个结果的解释，并真正直观地理解它。对于这些例子，我们将计算从1加到10，然后看看它如何应用于1到100（或任意数字）。
技巧1：配对数字
配对数字是解决这个问题的常见方法。与其将所有数字写在一列中，不如把数字绕过来，像这样：
1 2 3 4 5
10 9 8 7 6
一个有趣的模式出现了： 每列的总和是11。随着第一行增加，第二行减少，因此和保持不变。
因为1与10（我们的n）配对，所以我们可以说每列的和为(n+1)。那么我们有多少对呢？嗯，我们有2行相等的行，因此必须有n/2对。
这就是上面的公式。
等等——如果有奇数个数字会怎样？
啊，我很高兴你提到这一点。如果我们计算从1加到9呢？我们就没有偶数个项目可以配对了。许多解释只会给出上述解释并就此打住。但我不会。
让我们计算从1加到9，但这次不从1开始，而是从0开始计数：
0 1 2 3 4
9 8 7 6 5
通过从0开始计数，我们得到了一个“额外项”（总共10个），这样我们就有偶数行了。不过，我们的公式会略有不同。
注意每列的和是n（不像之前是n+1），因为0和9被分在一组。而且我们不是正好有2行中的n个项（总共n/2对），而是有2行中的n+1个项（总共(n+1)/2对）。如果你将这些数字代入，你会得到：
这和之前的公式是一样的。我一直觉得奇怪的是，同一个公式既适用于奇数也适用于偶数——难道不会得到分数吗？是的，你会得到相同的公式，但原因不同。
技巧2：使用两行
上述方法可行，但你处理奇数和偶数的方式不同。难道没有更好的方法吗？有的。
与其将数字绕圈排列，不如将它们写成两行：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
注意我们有10对，每对加起来等于10+1。
以上所有数字的总和是
但我们只想要一行的总和，而不是两行。因此，我们将上述公式除以2得到：
这很酷（就数字行而言）。它对奇数或偶数个项同样适用！
技巧3：构造一个矩形
我最近偶然发现了另一种解释，一种对旧配对解释的新方法。不同的解释对不同的人更有效，我倾向于更喜欢这个。
与其写出数字，不如假设我们有豆子。我们想把1个豆子加到2个豆子、3个豆子……一直到5个豆子。
x
x x
x x x
x x x x
x x x x x
当然，我们可以加到10或100个豆子，但用5个你就能明白。如何计算我们金字塔中的豆子数量？
嗯，总和显然是1 + 2 + 3 + 4 + 5。但让我们换个角度来看。假设我们镜像我们的金字塔（我用“o”表示镜像的豆子），然后将其翻倒：
x o x o o o o o
x x o o x x o o o o
x x x o o o => x x x o o o
x x x x o o o o x x x x o o
x x x x x o o o o o x x x x x o
很酷吧？如果你想知道它是否“真的”对齐，确实如此。看一下常规金字塔的底部行，有5个x（和1个o）。金字塔的下一行少1个x（总共4个）和多1个o（总共2个）来填补空隙。就像配对一样，一侧在增加，另一侧在减少。
现在来解释：我们总共有多少豆子？嗯，那只是矩形的面积。
我们有n行（我们没有改变金字塔的行数），我们的集合宽度为（n + 1）个单位，因为1个“o”与所有“x”配对。
注意，这次我们不再关心n是奇数还是偶数——总面积公式同样适用。如果n是奇数，每行将有偶数个项（n+1）。
但当然，我们不想要总面积（x和o的数量），我们只想要x的数量。由于我们将x加倍得到o，所以x本身只是总面积的一半：
我们又回到了原来的公式。再次强调，金字塔中x的数量 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5，即从1到n的和。
技巧4：取平均值
我们都知道
average = sum / number of items
我们可以将其重写为
sum = average * number of items
那么让我们来计算总和。如果我们有100个数字（1…100），那么我们显然有100个项。这很容易。
为了得到平均值，注意这些数字是均匀分布的。对于每个大数字，另一端都有一个小数字。让我们看一个小集合：
1 2 3
平均值是2。2已经在中间，1和3“相互抵消”，所以它们的平均值是2。
对于偶数个项
1 2 3 4
平均值介于2和3之间——是2.5。即使我们有一个分数平均值，这也没问题——因为我们有 偶 项目数量，当我们用平均值乘以计数时，那个丑陋的分数就会消失。
注意在这两种情况下，1 在平均值的一侧，而 N 在另一侧等距。所以，我们可以说整个集合的平均值实际上就是 1 和 n 的平均值：(1 + n)/2。
将其代入我们的公式
瞧！我们有了理解公式的第四种方式。
那么这有什么用呢？
三个原因：
1) 快速累加数字对估算很有用。注意，公式展开为：
假设你想把从 1 到 1000 的数字加起来：假设你的网站每天增加 1 个访客——1000 天后你总共有多少访客？由于 一千的平方等于一百万，我们得到 million / 2 + 1000/2 = 500,500.
2) 这种将 1 到 N 相加的概念也出现在其他地方，例如计算概率时用于 生日悖论。牢固掌握这个公式将有助于你在许多领域的理解。
3) 最重要的是，这个例子表明理解一个公式有多种方式。也许你喜欢配对法，也许你更喜欢矩形技巧，或者可能有其他适合你的解释。 不要放弃 当你无法理解时——试着寻找另一个有效的解释。数学快乐。
顺便说一下， 还有更多细节 关于这个故事的历史以及高斯可能使用的技巧。
变体
如果不是从1到n，而是从5到n呢？
从常规公式 (1 + 2 + 3 + … + n = n * (n + 1) / 2) 开始，减去你不想要的部分 (1 + 2 + 3 + 4 = 4 * (4 + 1) / 2 = 10)。
Sum for 5 + 6 + 7 + 8 + … n = [n * (n + 1) / 2] – 10
对于任意起始数 a：
Sum from a to n = [n * (n + 1) / 2] – [(a - 1) * a / 2]
我们想去除从 1 到 a-1 的所有数字。
如果是偶数呢，比如2 + 4 + 6 + 8 + … + n？
只需将常规公式加倍。要计算从 2 到 50 的偶数之和，先求 1 + 2 + 3 + 4 … + 25，然后加倍：
Sum of 2 + 4 + 6 + … + n = 2 * (1 + 2 + 3 + … + n/2) = 2 * n/2 * (n/2 + 1) / 2 = n/2 * (n/2 + 1)
所以，要得到从 2 到 50 的偶数之和，你计算 25 * (25 + 1) = 650
如果是奇数呢，比如1 + 3 + 5 + 7 + … + n？
这与偶数公式相同，只是每个数字比对应的数字少 1（我们有 1 而不是 2，3 而不是 4，以此类推）。我们取下一个最大的偶数 (n + 1)，然后减去多余的 (n + 1)/2 个“-1”项：
Sum of 1 + 3 + 5 + 7 + … + n = [(n + 1)/2 * ((n + 1)/2 + 1)] – [(n + 1) / 2]
要计算 1 + 3 + 5 + … + 13，取下一个更大的偶数（n + 1 = 14）并执行
[14/2 * (14/2 + 1)] – 7 = 7 * 8 – 7 = 56 – 7 = 49
组合：偶数和偏移
假设你想要 50 + 52 + 54 + 56 + … + 100 中的偶数。找出所有偶数
2 + 4 + 6 + … + 100 = 50 * 51
然后减去你不想要的部分
2 + 4 + 6 + … 48 = 24 * 25
因此，50 + 52 + … + 100 的和 = (50 * 51) – (24 * 25) = 1950
呼！希望这能帮到你。
Ruby 极客：你可以用以下代码验证
(50..100).select {|x| x % 2 == 0 }.inject(:+)
1950
Javascript 极客：执行这个：
[...Array(51).keys()].map(x => x + 50).filter(x => x % 2 == 0).reduce((x, y) => x + y)
1950
// Note: There are 51 numbers from 50-100, inclusive. Fencepost!