平方数（1, 4, 9, 16…）中令人惊讶的规律

给你一个小谜题——看看前几个平方数：

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49…

现在找出相邻平方数之间的差：

1 to 4   = 3
4 to 9   = 5
9 to 16  = 7
16 to 25 = 9
25 to 36 = 11
…

咦？奇数数被夹在平方数之间？

奇怪，但确实如此。花点时间思考为什么——更好的是，找到一个能让九岁孩子理解的理由。继续，我在这里等你。

探索模式

我们可以用几种方式解释这个模式。但目标是找到一个 令人信服的 解释，我们会拍着额头感叹“啊，原来如此！”。让我们深入三种解释，从最直观的开始，看看它们如何帮助我们理解其他解释。

几何学家的喜悦

很容易忘记平方数其实是……方的！试着用鹅卵石把它们画出来吧。

注意到什么了吗？我们如何从一个平方数得到下一个？嗯，我们抽出每条边（右边和底边），然后填满角落：

在4（2×2）时，我们可以通过扩展跳到9（3×3）：我们加上2（右边）+ 2（底边）+ 1（角落）= 5。没错，2×2 + 5 = 3×3。当我们在3时，通过抽出边并填满角落得到下一个平方：事实上，3×3 + 3 + 3 + 1 = 16。

每次，变化量都比之前多2，因为每个方向（右边和底边）都多了一条边。

另一个有趣的性质：跳到下一个平方的增量总是奇数，因为我们改变的量是“2n+1”（2n是偶数，所以2n+1是奇数）。因为变化量是奇数，所以平方数必须是偶、奇、偶、奇……交替出现。

等等！这很合理，因为整数本身就是偶、奇、偶、奇……交替的，毕竟平方数保持了根数的“均匀性” （偶×偶=偶，奇×奇=奇）。

有趣的是，一个简单的模式中隐藏着这么多洞见。（我称这种技巧为“几何”，但可能不太准确——它只是将数字可视化）。

代数学家的顿悟

用鹅卵石画平方？这是什么，古希腊吗？不，现代学生可能会争辩：

我们有两个连续的数，n 和 (n+1)
它们的平方分别是 n²² 和 (n+1)²²
差值为 (n+1)²² – n²² = (n²²+ 2n + 1) – n²² = 2n + 1

例如，如果 n=2，那么 n²=4。而下一个平方的差是 (2n+1) = 5。

确实，我们发现了相同的几何公式。但代数推导令人满意吗？对我来说，它有点枯燥，没有那种“啊哈！”的拍脑门的感觉。不过，它是另一种工具，当我们结合几何时，洞见会更深刻。

微积分的疯狂

微积分学生可能会想：“亲爱的朋友们，我们正在研究平方数的奇妙序列 f(x)=x^2。导数应该能揭示连续元素之间的差异。”

对 f(x)=x^2 求导得到：

$\displaystyle{\frac{d}{dx}x^{2}=2x}$

接近了，但还不完全！缺少的那个+1在哪里？

让我们退一步。微积分研究平滑、连续的变化——而不是我们从 2² 到 3² 的“跳跃”序列（我们是怎么从2跳到3而没有先经过2.5或2.00001的呢？）。

但别灰心。微积分有代数根源，而+1是隐藏起来的。让我们拂去导数定义上的灰尘：

$\displaystyle{f'(x)=\lim_{dx\to 0}{f(x+dx)-f(x)\over dx}}$

先忘掉极限——专注于它的含义（那种感觉、那种爱、那种联系！）。导数告诉我们要“比较前后，然后除以你输入的变化”。如果我们比较 f(x) = x^2 的“前后”，并称我们的变化为“dx”，我们得到：

$\displaystyle{\frac{(x+dx)^2 - x^2}{dx} = \frac{(x^2+2x \cdot dx + dx^2) - x^2}{dx} = \frac{2x \cdot dx + dx^2}{dx}}$

$\displaystyle{= 2x + dx}$

现在我们有所进展了。导数很深奥，但专注于大局——它告诉我们当我们把位置从“x”改变到“x + dx”时能获得多大的“性价比”。每走一个“dx”单位，我们的结果会变化 2x + dx。

例如，如果我们取“dx”为1（比如从3移动到4），导数会说：“好，你每走一个单位，输出变化 2x + dx（这里就是 2x + 1），其中 x 是原始起始位置，dx 是你移动的总量”。我们来试试看：

从3² 到4² 意味着：

x = 3, dx = 1
每单位输入的变化：2x + dx = 6 + 1 = 7
变化量：dx = 1
预期变化：7 * 1 = 7
实际变化： 4² – 3² = 16 – 9 = 7

我们预测变化为7，实际得到了7——成功了！而且我们可以随意改变“dx”。让我们从3跳变到² 到5²:

x = 3, dx = 2
每单位输入的变化：2x + dx = 6 + 2 = 8
变化次数：dx = 2
总预期变化：8 * 2 = 16
实际变化： 5² – 3² = 25 – 9 = 16

哇！公式有效（我也很惊讶）。我们不仅可以从3跳一个无聊的“+1”，² 到4²我们甚至可以走得更远，从3² 到10² 如果我想的话！

当然，我们可以本可以用代数算出来——但戴上微积分的帽子，我们开始思考任意变化的量，而不仅仅是+1。我们取变化率并缩放它，就像距离 = 速度 * 时间（时速50英里并不意味着你只能旅行1小时，对吧？为什么 2x + dx 只能适用于一个区间？）。

我的迂腐感应器在嗡嗡作响，所以记住这个重要的警告：微积分是关于微观尺度的。导数“希望”我们探索发生在极小间隔上的变化（我们直接从3到4，而没有先经过3.000000001！）。但不要被吓到——我们理解了探索任意间隔“dx”的想法，并且见鬼，我们真的这么做了。微小的增量留到改天再说。

学到的经验

探索平方给了我几点洞见：

看似简单的模式 (1, 4, 9, 16…) 可以通过多种工具进行审视，每种工具都能带来新的见解。我完全忘记了微积分背后的思想（x 到 x + dx）可以用来研究离散序列。
我们很容易将几何等数学工具封闭起来，认为它无法照亮更高层次（几何图形确实有助于代数理解，尤其是 +1 的跳跃）。即使是微积分，我们也习惯于将其局限于微小变化——为什么不让 dx 保持为大呢？
类比可以在多个层面上发挥作用。显然，平方数和奇数数是交织在一起的——从一组出发，你可以推导出另一组。微积分扩展了这种关系，让我们在积分(Integral)和导数(Derivative)之间来回跳跃。

在学习新技术时，别忘了将它们应用到旧的经验上。数学愉快。

附录：立方数！

我情不自禁：我们研究了平方，现在来看看立方如何？

1, 8, 27, 64…

它们如何变化？想象一个立方体（由鹅卵石做成！）不断变大——体积如何变化？