一位读者最近建议我写写模运算（也就是“取余数”）。我之前没怎么考虑过，但意识到模运算非常强大：它应该像加法和乘法一样，成为我们思维工具箱中的一员。
不要直接用公式砸你脸，让我们先探索一个多年来我们已微妙接触过的想法。有一篇 关于模算术的好文章 激发了这篇文章的灵感。
奇数(Odd)、偶数(Even)与三的倍数(Threeven)
在发现整数（1, 2, 3, 4, 5……）后不久，我们意识到它们分为两组：
- 偶数：能被2整除 (0, 2, 4, 6..)
- 奇数：不能被2整除 (1, 3, 5, 7…)
为什么这个区别很重要？这是抽象的开始——我们注意到一个数字的 性质(Properties) 特性（比如是偶数还是奇数），而不仅仅是数字本身（“37”）。
这非常重要——它让我们能在更深层次探索数学，并找到数字 类型(Types) 之间的关系，而不仅仅是具体数字。例如，我们可以制定这样的规则：
- 偶数 x 偶数 = 偶数
- 奇数 x 奇数 = 奇数
- 偶数 x 奇数 = 偶数
这些规则是通用的——它们在性质层面起作用。（直觉上，我有个 化学类比 观点：“偶数性”是一些数字拥有的分子，且不能被乘法移除。）
但是奇偶性是一个非常特定的性质：除以2。那么数字3呢？试试这个：
- “Threeven” 表示一个数能被3整除 (0, 3, 6, 9…)
- “Throdd” 表示你 不 能被3整除 (1, 2, 4, 5, 7, 8…)
奇怪但可行。你会注意到两点：有三余数（throdd）的两种类型。像“4”这样的数离三整（threeven）差1（余数为1），而数5差2（余数为2）。
“三整”只是数字的另一个性质。也许不像奇偶性那样立即可用，但它确实存在：我们可以制定像“三整乘三整等于三整”这样的规则，等等。
但这变得疯狂了。我们不能一直创造新词。
认识模(Modulo)
模运算（缩写为“mod”，在许多编程语言中为“%”）是除法后的余数。例如，“5 mod 3 = 2”意味着2是5除以3的余数。
将日常用语转换为数学，“偶数”就是“0 mod 2”——即除以2余数为0。奇数是“1 mod 2”（余数为1）。
为什么这很酷？嗯，我们的“奇/偶”规则变成了这样：
- 偶数 x 偶数 = 0 x 0 = 0 [偶数]
- 奇数 x 奇数 = 1 x 1 = 1 [奇数]
- 偶数 x 奇数 = 0 x 1 = 0 [偶数]
很酷吧？很容易理解——我们把“性质”转换成了实际方程，并发现了一些新事实。
偶数乘偶数乘奇数乘奇数是多少？嗯，就是0 × 0 × 1 × 1 = 0。实际上，你可以看到只要有一个偶数相乘， 任何地方(Anywhere) 整个结果就是零……我是说偶数:)。
时钟数学(Clock Math)
模运算的狡猾之处在于我们已经用它来计时——有时称为“时钟算术”。
例如：现在是7:00（上午/下午不重要）。7小时后时针会在哪里？
嗯。7 + 7 = 14，但我们不能在时钟上显示“14:00”。所以一定是2。我们凭直觉推理，用数学术语来说：
- (7 + 7) mod 12 = (14) mod 12 = 2 mod 12 [2是14除以12的余数]
方程“14 mod 12 = 2 mod 12”意味着，“14点”和“2点”在12小时制时钟上看起来一样。它们是等价的， 同余用三横等号表示：14 ≡ 2 mod 12。
另一个例子：现在是8:00。25小时后时针会在哪里？
不用把25加到8上，你可能意识到25小时就是“1天+1小时”。所以，时钟会向前走1小时，到9:00。
- (8 + 25) mod 12 ≡ (8) mod 12 + (25) mod 12 ≡ (8) mod 12 + (1) mod 12 ≡ 9 mod 12
你凭直觉把25转换为1，然后加到8上。
有趣的性质：数学照常成立
以时钟为类比，我们可以判断模运算的规则是否“成立”（它们确实成立）。
加法/减法
假设两个时间在时钟上看起来相同（“2:00”和“14:00”）。如果我们给两者都加上相同的“x”小时，会发生什么？
嗯，它们在时钟上变化相同！2:00 + 5小时 ≡ 14:00 + 5小时 — 两者都会显示7:00。
为什么？嗯，我们从不关心14携带的多余的“12:00”。我们可以直接将5加到两者都有的余数2上，它们前进相同。对于所有同余数（2和14），加法和减法的结果相同。
乘法
乘法是否保持不变更难判断。如果14 ≡ 2 (mod 12)，我们可以两边乘以同一个数得到相同的结果吗？
让我们看看——乘以3会发生什么？
嗯，2:00 * 3 ≡ 6:00。但“14:00” * 3 呢？
记住，14 = 12 + 2。所以，我们可以说
- 14 * 3 = (12 + 2) * 3 = (12 * 3) + (2 * 3) mod 12
第一部分（12 * 3）可以忽略！14携带的“12小时溢出”只是重复了几次。但谁在乎呢？我们反正忽略溢出。
相乘时，只有余数才重要，对于14:00和2:00，余数都是相同的2小时。直观上，这就是我认为乘法不会改变模运算关系的原因（你可以对模关系两边乘以同一个数，得到相同的结果）。参见 上方链接 更严谨的证明——这些是我 直观的铅笔线.
模运算(Modular Arithmetic)的用途
现在是有趣的部分——为什么模算术有用？
简单时间计算
我们直观地这样做，但给它起个名字很好。你有一架下午3点到达的航班，延误了14小时。它将在什么时间降落？
嗯，14 ≡ 2 mod 12。所以我把它看作“2小时加上上午/下午切换”，因此我知道它将是“3 + 2 = 凌晨5点”。
这比简单的模运算符更复杂一些，但原理相同。
将物品放入随机组
假设有一些买了电影票的人，带有确认号。你想把他们分成两组。
你怎么做？“奇数这边，偶数那边”。你不需要知道发出了多少张票（前半部分，后半部分），每个人都能立即算出自己的组（无需联系中央权威），而且随着更多人购票，这个方案仍然有效。
需要3组？除以3取余数（即 mod 3）。你将得到组“0”、“1”和“2”。
在编程中，取模是将项目放入哈希表的方式：如果你的表有N个条目，将项目键转换为数字，进行 mod N，然后将项目放入那个桶（可能在那里维护一个链表）。随着哈希表大小增长，你可以重新计算键的模。
随机选取一个物品
我在现实生活中使用模运算。真的。我们有4个人玩游戏，需要选一个人先开始。 玩模N小游戏！ 给人们编号0、1、2和3。
现在每个人都喊“一、二、三、出！”并伸出随机数量的手指。把它们加起来除以4——谁得到正好那个余数谁就先走。（例如：如果手指总和是11，那么编号为“3”的人先走，因为 11 mod 4 = 3）。
它快速且有效。
在循环中运行任务
假设任务需要按特定时间表进行：
- 任务A每小时运行3次
- 任务B每小时运行6次
- 任务C每小时运行1次
如何存储这些信息并制定时间表？一种方法是：
- 设置一个每分钟运行一次的计时器（将分钟记为“n”）
- 3次/小时意味着每60/3=20分钟一次。所以任务A在“n % 20 == 0”时运行
- 任务B在“n % 10 == 0”时运行
- 任务C在“n % 60 == 0”时运行
哦，你需要任务C1，它每小时运行1次，但不要与任务C同时运行？没问题，让它当“n mod 60 == 1”时运行（仍然是每小时一次，但和C1不同时）。
在脑海中，我看到一个想要以不同间隔“命中”的循环，于是我插入了一个模运算。巧妙之处在于，这些命中可以独立重叠。在这方面有点像XOR（每个XOR都可以分层——但那是另一篇文章了！）。
类似地，编程时你可以通过 if (n % 100 == 0){ print… } 来每隔100条日志打印一次。
这是一种非常灵活、简单的方式让任务按时间表运行。事实上，这就是回答 FizzBuzz合理性检查的方式。如果你的工具箱里没有模运算，这个问题就会棘手得多。
寻找数字的性质
假设我告诉你：
- a = (47 * 2 * 3)
你能快速推断出什么？嗯，“a”必须是偶数，因为它等于一个乘以2的式子。
如果我还告诉你：
- a = (39 * 7)
你会犹豫。不是因为你“知道”这两个乘积不同，而是因为一个明显是偶数，另一个是奇数。有问题：a不能同时出现在两个方程中，因为 性质不匹配.
像“偶数”、“三倍数”和“模n”这样的属性，比单个数字更通用，我们可以用来检查一致性。所以我们可以在不知道数字具体是什么的情况下，利用模运算来判断它们是否一致！
如果我告诉你：
- 3a + 5b = 8
- 3a + b = 2
这些方程能否用整数求解？让我们看看：
- 3a + 5b = 8… 我们“取模3”：0 + 2b ≡ 2 mod 3，即 b ≡ 1 mod 3
- 3a + b = 2… 我们“取模3”：0 + b ≡ 2 mod 3，即 b ≡ 2 mod 3
矛盾了，好朋友们！B不能同时是“1 mod 3”和“2 mod 3”——这就像同时是偶数和奇数一样荒谬！
但有一个陷阱：像“1.5”这样的数既不是偶数也不是奇数——它们不是整数！模运算性质适用于整数，所以我们能说的是b不可能是一个 整数(Integer).
因为，实际上，我们可以解这个方程：
- (3a + 5b) – (3a + b) = 8 – 2
- 4b = 6
- b = 1.5
- 3a + 1.5 = 2，所以 3a = 0.5，a = 1/6
不要被模运算的力量迷惑！要知道它的局限性：它只适用于整数。
密码学
玩转数字在密码学中有非常重要的应用。这里无法详述，但模运算被用于 Diffie-Hellman密钥交换 — 用于建立SSL连接以加密网络流量。
简明英语
极客们喜欢在日常语境中使用技术词汇。你可能会听到“X is the same as Y modulo Z”，大致意思是“忽略Z，X和Y是相同的。”
例如：
- b和B相同，只是大小写不同
- iTouch和iPad相同，只是尺寸不同 ;)
继续向上
思考取模运算符的“实用性”很奇怪——就像有人问指数为什么有用。在日常生活中，它们不太常用，但它是理解世界模式并创造自己模式的工具。
总的来说，我看到几个一般用例：
- 范围缩减器：输入一个数，mod N，得到一个0到N-1之间的数。
- 分组分配器：输入一个数，mod N，将其标记为0到N-1的组。任意多方可以约定这个组——例如，知道N=20的不同服务器可以约定ID=57属于哪个组。
- 属性推导器：根据属性（偶数、三的倍数等）处理数字，并推导出基于属性的原理
我确信还有几十种用法我遗漏了——欢迎在下面评论。祝你数学愉快！