再看一眼素数(Prime Numbers)

质数是数值界的明星：它们出现在电影、安全密码、谜题中，甚至成为大学教授们忧郁目光的焦点。

但数学家们乐于寻找前200亿个质数，而不是放弃 关于素数为何有用以及它们如何与我们所知事物相关的简单例子。让别人去发现最大的质数吧——今天我们来分享一些直观洞见，关于为什么质数如此酷：

素数是所有数字的基石。 就像在化学中，了解物质的化学结构有助于理解和预测其性质。
素数具有特殊性质 比如难以确定（是的，甚至难以确定也可以是一个优点）。这些性质在密码学、循环以及观察其他数字如何相乘中都有应用。

那么，素数(Prime Numbers)到底是什么来着？

一个基本原则的数学事实是，任何数都可以写成质数的乘积。例如：

9 = 3 * 3 = 3²
12 = 2 * 2 * 3 = 2² 3
100 = 4 * 25 = 2 * 2 * 5 * 5 = 2² 5²

而质数是不能再被分解的数，比如3、5、7或23。仔细想想，连数字2也是质数。那么数字1呢？

嗯，1很特殊，不被视为质数，因为1=1*1*1...等等，情况会变得疯狂。有时就连数学家也会走捷径，把1排除在讨论之外。

将一个数重写为质数的形式称为质因数分解，用数学的话说就是'找出因子'。质数看起来很简单，对吧？

嗯，并非如此。事实证明，

素数是无穷的 而且我们永远不会用完（查看证明).
素数没有我们能破解的规律
素数出现在奇怪的地方，比如量子力学
素数分解是困难的。 到目前为止，试错法是将数字分解为素数的最佳方法。而且这很慢。

上帝、自然或者飞面神——无论是什么决定了质数，它都制造了海量的质数，并以一种奇特的方式分布它们。

类比：素数(Prime Numbers)与化学分子式

质数就像原子。我们可以将任何数重写成一个'化学式'来展示其组成部分。在化学中，我们说一个水分子实际上是H₂0:

水 = H₂0 = 两个氢和一个氧

而对于一个数，我们可以将其分解为质数

12 = 2 * 2 * 3 = 2² 3 = 两个"2"和一个"3"

巧妙的关系，对吧？在化学中，'指数'恰好写在下面——我其实更喜欢指数在上面，但美国化学学会一直没有回复我的信。

这为什么有趣呢？嗯，当化学家们将他们的基本元素排列成周期表时，新的洞见出现了：

新元素是通过表格中的空缺被预测的
同一行或同一列的元素具有某些共同性质
当你移动表格时，趋势（如反应性增加）显现出来

重新组织现有数据，还不错吧？类似地，我们可以想象把质数（数值'元素'）放进一个表里。但有一个问题。

没人知道这个表格长什么样！ 质数是无穷的，尽管我们几个世纪以来一直试图寻找规律，但至今未能成功。我们不知道间隙在哪里，也不知道下一个质数何时出现。（这并非完全正确——有一些有趣的假设和猜想，但谜题尚未解开。）

但我们不会为此哭泣，折断铅笔，哭着回家。尽管我们不知道每一个细节，但你和我还是要利用质数。

有机化学与官能团

我不是化学专家，但我能看到与质数的关联。化学元素的性质取决于它们在元素周期表:

8A族的原子 （氖、氩）是稀有气体。它们不发生反应，也不会在你面前爆炸。
4A族的原子 (碳、硅)键合良好。它们是其他元素的优良构建单元。
1族的原子 (钠、钾等)非常活泼。把它们丢进水里，看它们爆炸。

在有机化学中有一个官能团的概念：几个原子可以决定整个分子的类别。例如：

醇类是末端带有OH基团的特定碳氢链。
甲醇、乙醇和其他醇类由于这个OH官能团而具有相似的性质。

这些是基础知识，如果我没有搞错的话。现在让我们看看当我们将数字视为化学品时会发生什么。

第一个例子：猜测奇偶性

通常，有机化学物质含有碳（并不完全如此，但这是一个很好的起点）。无论你混合了哪些元素，如果你从未添加任何碳，那么你就无法制造出有机化合物。

"偶数"也是如此。如果一个数的素数分解中含有2——即2被用来构成该数，则该数为偶数。可能只有一个2，也可能有五十个；只要你有一个2，你就是偶数，就是这样。如果没有2，你就是奇数。

现在，还记得那些关于奇数和偶数如何相乘的数学问题吗？

偶数乘以奇数是……(偶数还是奇数?)
偶数乘以偶数是……(偶数还是奇数?)
奇数乘以奇数是……(偶数还是奇数?)

你如何解决这个问题？猜测？尝试几个例子？（"让我想想，3乘以2是……6，但3乘以3是9……所以……"）。

这里有一种思考方式。乘法是组合数字的"素数公式"。因为偶数在某处包含一个"2"，我们可以猜测：

偶数乘以奇数是偶数。我们从2开始。不管其他因数是什么。
偶数乘以偶数是偶数。我们从2开始，又加了一个2。
奇数乘以奇数是奇数。我们从未加入2，所以始终是奇数。

很酷吧？而且由于2是素数，我们知道不能通过组合其他数字来"制造"出一个2。

感谢素数化学，为我们提供了另一种思考这个问题的方式。现在你甚至可以回答这样的问题：

奇数乘以奇数乘以奇数乘以奇数再乘以偶数是什么？

它是偶数，因为我们在最后混入了一个2。

另一个例子：以 0 结尾

我猜到了你的心思：你想要另一个化学例子，这次是关于官能团的。

假设一个数有一个"2*5"官能团——它有一个或多个2和一个或多个5。例如：

10 = 2 * 5
40 = 2 * 2 * 2 * 5
90 = 3 * 3 * 2 * 5

注意到模式了吗？如果一个数具有2*5"官能团"，那么它就以0结尾。

为什么？嗯，2*5=10。所以拥有2*2*2*5实际上就像拥有(2*2)*10。任何整数乘以10都以0结尾。一般来说，

(其他素数) * (2 * 5) = 一个以0结尾的数

因此，仅通过查看"素数公式"，你就能确定该数以0结尾。你甚至不需要进行乘法运算。

再一个例子：各位数字之和

什么？你还想要另一个关于官能团的例子？如果你坚持的话。

让我们想想带有"3*3"官能团的数。一个数可能有400个3，但只要至少有2个，我们就感兴趣。如果一个数有(3*3)，这意味着

它能被9整除
各位数字之和能被9整除（我们稍后可以证明——目前先记住）。

这里有一个例子：

18 = 2 * 3 * 3。它含有(3*3)官能团。各位数字之和为1+8=9，能被9整除。
取一个奇怪的数如31 * 3 * 3 = 279。它含有(3*3)官能团，各位数字之和为2+7+9=18。18能被9整除，所以这个性质成立。

同样，这非常酷。仅通过在数的素数分解中找到某个官能团，我们就能了解关于数位之和的一些信息。

现实世界中的素数(Prime Numbers)

素数具有一些有用的性质。

1. 大数很难分解。 进行质因数分解时，我们本质上采用试错法：一种方法是不断尝试用其他数去除它，直到它的平方根。质数和质因数分解是“秘密”的这一事实对于密码学来说可能是一件好事——我们稍后会讨论这一点。

2. 素数与其他数字合不来。 质数不与常规数字“重叠”：它们在最后可能的时刻相交。例如，4和6在12处“重叠”，这相当早。它们的第一个“必需”重叠是在4×6=24。

然而，质数在最后可能的时刻相交。例如，5和7仅在35（5×7）处重合。不存在两者同时出现的中间值。

你可能会认为缺乏节奏是一件坏事，但在自然界中这可能是一种优势。

蝉虫每13或17年从地面出现一次。这意味着它与捕食者周期“重叠”的机会更小，捕食者周期可能是更常见的2年或4年周期。

3. 素数处处都是素数。

电影《超时空接触》使用质数作为普遍理解的序列。这是一个非平凡序列（2,3,5,7,11,13），很难偶然生成（例如，1,0,1,0可以由摆动的钟摆产生）。

而且质数在任何进制中都是质数任何数系“1/3”只是在十进制下是循环小数（.33333），你甚至可以争辩说π（3.14159...）在“π进制”下不是无理数。但所有人都同意某些数是质数且不可被分割。你甚至可以在没有小数点的单位数制中传输质数：

II
III
IIIII
IIIIIII

所以，质数是一个无限、不重复、普遍理解的序列，是传输信息的好选择。

结论

不要因为质数与众不同而讨厌它们—— 了解它们的性质如何能派上用场“不合群”是件好事，如果它意味着不与捕食者重叠，对吗？难以分解是件好事，如果你在制作秘密信息，对吗？长期以来，质数被认为纯粹是理论上的奇观，但瞧，我们已经找到了它们适用的情境。

在我看来，这正是数学的一大部分：看看奇怪的性质如何有用或与现实世界相关。数学给了我们规则，往往是针对我们尚未玩的游戏。我们的工作是找到我们想要必须遵循那些规则的情境。

在接下来的文章中我还有很多想说的。如果你想深入了解质数，请查看素数之韵那是对质数问题的一个不错的介绍，并激励我思考这个主题。