每个人都有怪癖。我嘛，喜欢找新思路看问题，而且我开始用新方式看数字了。今天带你们一起体验。
那你为什么要在意？
- 你会把数学看作 几种方法之一。我们仍在改进我们的数字系统。
- 你会开始注意到 核心关系 并将它们应用到 diverse 领域
- 你将有一种方法来处理像除以零这样的“奇怪”概念，以及 虚数.
数学是你大脑中的软件
虽然我们最爱的百科全书把数学描述为“以数量、结构、空间和变化等概念为核心的知识体系”，但我觉得不止如此。
数学是你大脑的操作系统：
- 你的大脑是一台原始计算机。
- 你学习新的数学（安装“计数 1.0”和“代数 XY Pro”）后，突然就能解决新型的问题了。
有时数学会有 bug。 “罗马数字 I”还行，但 小数 2.0 是个亟需的升级。但我们仍有些问题，比如除以零。
这比喻有点怪，但我本来就有点怪，所以我觉得说得通。
但数学也有它的局限
快速测验：你能乘两个罗马数字吗？不许作弊，不许转成十进制：我说的是“IX 乘 XXXIV”。预备，开始，乘！
…
玩得开心吗？是 CCCVI。
这糟糕的体验是否意味着乘法“难”？还是我们想乘法的方式不对， 使用了错误的思维软件?
如果你把脑子从“罗马数字 I”升级到“小数 2.0”，你会发现 9 乘 34 简单多了：算一算能得到 306。同一问题 + 不同思维软件 = 天壤之别。
用记事本作画
没错，你硬把乘法塞进罗马数字也行。但既不好玩也不轻松，长除法更是别提了。
我们的困难通常源于我们的方法，而非概念本身。
想象一下在记事本里画图。这工具不错，你甚至能“打”出 蒙娜丽莎，但这软件本来就不是为图像设计的。
同理，罗马数字被造出来时 当我们还在学习数数时 ——当时连零都还没被发明出来！数学是一个会随时间不断改进的软件系统，并且 罗马数字早该升级了.
但在我们变得过于自大之前，要意识到我们的 当前的数字系统 是一系列新特性和 bug 修复的拼凑物，用来增进我们对宇宙的理解。
当我们遇到困难时（1/0 是什么？-1 的平方根？），我们需要思考：我们遇到的是宇宙的“定律”，还是我们自己设下的围墙。就像罗马人试图做乘法，更别提分数了，我赌后者。
从乌格到无穷大
我们的数字系统 随时间发展。我们从数手指开始，发展到一元计数法（沙地上的线条）、罗马数字（大数的简写），以及随着零的发明而出现的阿拉伯数字（十进制系统）。
在此过程中，我们发现了数字系统中的“bug”，并不得不发明新的方法来绕过它们。再次强调， bug 出在我们的思维中（我们的思维软件）。
Ugware
Ugware 是穴居人 Ug 设计的计数系统：数手指和脚趾。Ug 的 bug 是他最多只能数 20 个物品！
解决办法是将对实体物品的需求抽象化：你不需要 20 头奶牛才能数出 20 头奶牛。你可以在沙地上画 20 条线。或者采用像 C 代表 100 这样的简写。
一元计数法与罗马数字
将数字抽象表示后，我们就能做很酷的事，比如加减法，甚至是相当大的数。I + II = III。X + XX = XXX。还不错。
但仍有几个“bug”——III – III 是什么？
零
多么绝妙而美丽的发明：用符号 0 来表示虚无！这是一个令人费解却又极其有用的想法：我们可以记录“根本没有”奶牛！
这一发展催生了我们熟悉的位置计数制：204 表示两个“百”、零个“十”和四个“一”。
整数除法和乘法成为可能 的方式是罗马人（和 Ug）从未想过的。只要给够时间，你就能算出 1234 × 5678。多棒的特性！
负数
但零并没有解决一切；减法仍有问题。当我们从 3 里减去 5 时会发生什么？一种办法是摊手说“这是个 bug，未定义”，但我们可以做得更好。
我们可以换一种方式思考这个问题，并容许一个数字可以是“负数”——一个比无还少的数！（挺让人费解的，不是吗？）。
有许多解释（缺少奶牛、欠奶牛），而负数正是为处理减法中的这个“bug”而被发明的。当然，人们花了几千年才接受这个新特性——到了 1700 年代负数仍有争议！
有理数
除法也引入了 bug。8/4 没问题，但 3/4 是什么？这是个 bug！
解决办法是找到一种表示“数之间的数”的方式。3/4 其实就是 75/100，或“0.75”。
我们发明了小数点来处理 一个大于零却小于一的数字的疯狂想法。哇！相当疯狂，但我们引入这些疯狂类型的数字是为了让我们的思维软件更好。你瞧，分数(Fraction)确实有它的用处。普通家庭可以有 2.3 个孩子，我们也知道这是什么意思。
无理数让希腊人愤怒
我们在这里，各忙各的，突然看到一个直角三角形：
两条边都是 1。而正盯着我们看的，就是根号 2。它嘲弄着我们，要求被写出来。我们做不到——它是一个无穷(Infinity)、不循环的小数，无法表示为分数(Fraction)！然而它就明明白白地在纸上。
这不仅仅是个难题——简直是疯了！发现无理数(Irrational)的那个人遭到了 从船上扔下去.
幸运的是，无理数至少还是“代数的”，因为它们是某个代数方程的解。我们可以把 $\sqrt{2}$ 看作“方程 $x^2 = 2$ 的解”的简写。我们常常忘记 $\sqrt{9}$ 其实既是 3 也是 -3，不是吗？惯例指的是正根。
复数
现在某个自作聪明的人问：“好吧老兄，方程 x^2 = -1 的解是什么数字？”
该怎么办？宣布这是 不可能且无意义，就像零、分数、有理数(Rational)和无理数曾经“不可能且毫无意义”一样？还是我们接受，也许、 just maybe，人类对宇宙的理解并不完整，我们还有更多要学习的。你知道我把赌注押在哪边。
虚数和其他数一样“真实” （或者同样是人为编造的，取决于你的观点）。但是，我们对它们没有直觉，因为它们常被“解释”为： 哦，你没拿电气工程学位？没学过复阻抗？那你就没法直观理解虚数了！
我一直在思考这些数字，并计划解决这个问题。但还不是时候——请耐心等待。
为什么 0.9999… = 1，以及你为什么应该在意
我们的数字系统是一种思维方式，但它仍有一些漏洞。我们不太确定该如何处理无穷(Infinity)和无穷小(Infinitesimal)的数字。
给你一个烧脑题：
你：1/3 是多少？
我：呃，.33 循环。
你：好。那 1/3 + 1/3 呢？
我：2/3 你：当然，但用小数表示。
我：呃，.33 循环加上 .33 会是…….666 循环。
你：很好。那 1/3 + 1/3 + 1/3，用小数呢？
我：嗯…….33 循环加 .33 循环加 .33 循环……是 .99 循环。
你：但 1/3 + 1/3 + 1/3 不等于 1 吗？所以 .99 循环 = 1。
我：这是什么骗术？（把你推下博客）。
拿这个论点去跟小孩（或大人）说——看人们的反应挺好玩的。显然，1/3 + 1/3 + 1/3 = 1，但不知为何，当我们试图“用小数相加”时，结果看起来有点奇怪。 再次强调，这种奇异感是来自概念本身，还是我们的思维方式？
话说回来，0.33 循环到底是什么？是猴子一直写 3 写到世界末日吗？它是一个 超出我们的符号表示能力 我们无可救药地试图去近似的数，就像根号 2 那样？如果我们直接切换到三进制，问题就消失了：在三进制中 1/3 = .1，所以 .1 + .1 + .1 = 1（同样，在三进制中）。
那你为什么要在意？ 也许是时候升级我们的数字系统了。用我们现在的数字来讨论无穷(Infinity)，就像在记事本里画画。很粗糙，而且感觉是“硬加上去的”（比如 saying 1/0 = infinity。那 2/0 或 0/0 呢？）。
数学家们正在研究 新的数字系统 其中无穷是内建的，但关于如何“数”无穷，仍有未解决的问题。
让我们去寻找那些让零、分数和负数变得可理解的“啊哈！”洞见，而不只是操作方程得到的结果。我们此前已经克服了每一个数学上的障碍。
继续前进
本文的目标很简单：
- 展示数学如何像 思维软件 那个 随时间改进
- 解释像零或负数这样的“无意义”事物可以 起初是悖论，后来变得直观 当我们调整方法时。
今天， 我们仍有困难 带着像无穷(Infinity)这样的想法（或者至少我有）。承认这一点没关系。
这是一种思考数学的方式；将它与你自己的理解结合起来。不要呆站着发愣，因为不确定 1/3 到底是什么意思就不会加法了。
洞见会加深我们的理解，但有时只有在使用中才会浮现。Newton 发明微积分(Calculus)时，对无穷小(Infinitesimal)并没有“正式”的理解，但对他来说似乎用得挺好（方程解出来了）。我不提倡死套公式，但某些想法你得反复捶打，洞见才会来。
不过哲学说得够多了。接下来的文章会展示真实、具体的方式来思考算术和复数，这能辅助我们今天拥有的“机械式”理解。数学愉快。
PS. 如果你好奇，wikipedia 上还有更多关于 .999… 和 除以零 的内容。