总结：黄金比例之所以特殊，是因为它完美地平衡了加法和乘法。
黄金比例（1.618...）常被赋予神秘色彩，被称为“完美比例”。暂且不论我们能否在附近盆栽植物的叶子上找到黄金比例，从数学角度看，它有何特别之处？
嗯，让我们尝试创建一个尽可能均衡（对称）的模式。
快速猜测结果是类似 1, 1, 1, 1, 1。每个元素都相同，但这样没什么意思——就像一首歌中每个词都一样。押韵吗？押韵。我在意吗？并不。
好的，试试 1, 2, 3, 4, 5。这种关系有一种对称性，即每个元素比前一个大一。但如果我们跳到随机元素，它们之间没有真正的联系：3、8、17有什么共同点？
好吧，那这个呢： 1, 2, 4, 8, 16？每个元素是前一个的两倍，所有数字都是干净的2的幂。但是……加法呢？我们能从前面的元素中创建新模式中的元素吗？
- 1 + 2 = 3 [不太完全等于4...]
- 1 + 2 + 4 = 7 [不太完全等于8...]
- 1 + 2 + 4 + 8 = 15 [不太完全等于16...]
唉。我们可以编造一个加法规则（“每个元素是前面所有元素之和……再加1”），但你知道这不干净。让我们来搞清楚这个问题。
加法与乘法之间的对称性(Symmetry)
我们的目标是找到一种同时与加法和乘法相关的模式。没有变化的加法次数，没有在末尾添加可爱的“+1”。只是一个干净、简单的关系。
首先，我们需要让每个项通过乘法连接。我们需要幂：
1 x x^2 x^3 x^4
无论模式使用什么数字（x），所有项都将是它的幂（就像1, 2, 4, 8一样，尽管那个序列不够对称）。
接下来，我们需要一种连接这些项的“加法对称性”。每个元素应该能从之前的元素构建，而不需要额外规则。随意抛出几个想法：
- 我们能有
1 + x = x? 如果两边减去x，就会得到1=0。哎呀，我们打破数学了。 - 那
1 + 1 = x? 也许我们可以允许多个副本。但那只得到x=2的另一种方式，你这个小机灵。 - 那
1 + x = 1? 啊，那只是意味着x=0。0, 0, 0, 0是对称的，但没有意思。
嗯。下一个可能有意义的加法模式是 1 + x = x^2。如果我们遵循这个想法，结果如下：
几点说明：
- 从一个单一连接开始
1 + x = x^2，我们可以乘以x得到x + x^2 = x^3。每个元素都由前两个元素构成。 - $x^0$ 是另一种写法，表示1。我觉得这样能让模式更容易看清。
- 模式网格中的每一个元素都是原始模式稍微偏移后的结果。很整洁。
好的。这就是模式的目标，让我们尝试求解它。
我们可以使用二次公式找到使这个关系成立的“x”：
代入a=1，b=-1，c=-1，得到：
我们只想要一个正解（新部分不能为负），所以我们得到
我们将解标记为Phi（$\phi$）。
你可以在下面看到它的发生。随着小数位数的增加，会有微小差异——计算机的精度是固定的。
将直观理解可视化
许多描述 黄金比例(Golden Ratio)描述了将一个整体分割成各部分，每个部分都符合黄金比例：
我更喜欢“增长因子”的场景，即从一个单一物品（1.0）开始并演化它，同时通过算术和乘法保持与祖先的联系。仅仅描述一个比例并不能体现出我们能够实现的对称性。
在视觉上，我看到一个不断增长的团块，像这样：
每次按Phi（1.618）缩放，我们得到：
- 加法对称性：每个元素都是前两个元素之和
- 乘法对称性：每个元素都是前一个元素的比例缩放版本
- 增长对称性：加法和乘法以相同方式改变模式
啊哈！如果我见过的话，这是一个很棒的组合。“不断增长的团块”可以表示一条线的长度、一个二维形状、一个角度——这可以产生有趣的模式：
关键关系是我们从一个团块移动到下一个，使得乘法和加法具有相同的效果：
我们用不同的措辞描述了黄金比例：缩放因子(f)必须等于原始(1)加上前一项(1/f)。我们用增长因子相除，以根据当前项找到前一个元素。
解方程 $f = 1 + \frac{1}{f}$ 与前文一样得到黄金比例。
黄金比例无处不在吗？
黄金比例往往是 过度宣传 在其出现中。虽然它可能偶尔出现在自然、建筑和肖像中，但如果线条画得足够粗，很多事物的比例都接近1.5比1。
我认为更深层的直觉来自意识到我们使加法和乘法对称了。
斐波那契数列的构建方式是从前两个部分得到每个部分：
使用某个公式，我们可以通过重复缩放（指数）跳到一个斐波那契数，而不是费力地逐个相加。也许我们会得到 预期 这里的黄金比例，因为它是缩放因子，使得两个部分相加得到序列中的下一项。（其中的 具体细节 除以 $\sqrt 5$ 是因为我们需要根据初始部分进行调整。）
与其在农产品区寻找黄金比例的例子，不如沉浸在平衡乘法与加法之美的体验中。
数学愉快。