我小时候喜欢画画。最近一个 啊哈！ 意识到好的绘画过程与好的学习过程是多么相似——它们都依赖于识别并掌握底层结构。我的哲学可以用三个词概括：
先铅笔，后墨水。
这很简单，也许有些老套，但很有力量。李·埃姆斯（Lee Ames）有一套很棒的绘画书籍（画50种动物):
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封面上就揭示了全部。如何画一头大象？
- 用铅笔画出结构 使用椭圆形、矩形等
- 用墨水定稿，选取你想要的线条
- 擦除 底层的铅笔结构，揭示大象
这有什么特别之处？ 学习的关键在于理解铅笔结构，这个脚手架在最终完成的大象身上并不总是显现。让我们看看这个类比如何与学习联系起来。
追溯数学
临摹(Tracing)和绘画(Drawing)不同吗？当然不同。临摹是模仿——我们不知道 为什么 为什么这条线会在那里。我们只是从一个角落开始，然后沿着轮廓走。当然，我们可能会画出一头漂亮的大象——但如果我们想要画一个不同象鼻的大象呢？或者用两条后腿站立的大象？可能就画不出来了。
数学也是如此：我们通过引导学生“临摹”证明的步骤来“教学”。但有一个 底层的铅笔结构 存在于证明作者脑海中的结构是我们看不到的。我们带着学生沿着画作走（“这是头，这是象鼻，这是腿”），却没有展示 思维方式 创造出这个证明的结构（“头是一个椭圆，连接到一个更大的椭圆作为身体；腿是圆柱体，然后我们将其平滑处理。”）。
如果幸运的话，学生会归纳出这些步骤，并创建出他们自己的铅笔结构。
但为什么？ 为什么我们要把理解过程中最有趣的部分留给私人沉思？我喜欢发现那些让结果各就各位的“啊哈”时刻——是什么心智地图让这些事实瞬间契合在一起？
当我们分享洞见时，我们就能停止“临摹数学”，开始自主创作。这要令人满足得多。
创造与理解
教育的目的是什么：是结果还是理解？
如果目标是结果，那么艺术课就应该使用模具和临摹来制作完美的作品。如果目标是理解，那么我们就应该拿出铅笔，画我们的疙瘩苹果和歪斜香蕉，自己动手尝试静物画。
很少有非此即彼的情况：我们想要结果 和 也想要理解。不幸的是，我们专注于结果，因为结果更容易测试（你能将X代入这些公式并得到正确答案吗？）。我在这里提醒我们，我们也需要理解事情的本质。
严谨与直觉
我一直在纠结如何调和严谨和直觉——两者都有其作用，但它们如何结合？绘画的类比捕捉了我的感受：
- 严谨（永久墨线）有助于巩固思想 在……之后 直观的铅笔结构已经就位
过早地强调严谨会引发恐惧和不安—— 如果我错了怎么办？ ——并鼓励人们临摹已经墨迹的结果，而不是学习如何自己尝试。这会让你认为数学（或任何学科）要么全对要么全错。但事实并非如此——很多（大多数？）结果都是通过直觉发展出来的，后来才被巩固。
严格性/墨水被强调，因为它是唯一可见的东西；我想倡导那些奠定最初基础的（现在不可见的）铅笔线条。
完美公式的神话
在见到阿姆斯的书之前，我以为画画是从一个角落开始，然后填充图形。有些专家可能那样做（后面会详细说明），但“常规方法”是从铅笔底稿开始。
我们知道作家需要草稿。但我们允许在学习中打草稿吗？我们是否过于关注重现墨迹成果，以至于阻碍或忽视了铅笔？
数学是通过曲折路径和错失的联系发展起来的，并不总是像我们在课堂大纲中看到的那样平滑渐进。只展示最终结果会让人感觉它似乎是 假设的 线性且坚定地前进。也许讨论一下零、负数和 虚数 最初如何被怀疑（然后被接受）会帮助我们理解接受这些概念的学生。
我暗自发笑，我们“理所当然地”引入虚数，而当时的专家们却持有异议。它们是困难、非直观的概念（起初）——承认我们有过一些揉皱的草稿扔在角落里是没关系的。
曲折路径能帮助我们更好地理解正确的路径。
学习：看清结构
在经历了学习新概念的挫败后，我秉持这样的哲学： 一些 结构必然存在。当我看到一个新概念（例如一只墨迹的鸟）时，我真的认为 必须 必定存在某种形状的组合，让它变得有理可循。
如果我遇到困难，我会归咎于我的方法——我只是没有以发明者相同的方式看待这个想法。也许别人已经写过了，或者有与另一个想法的类比。
但如果没有底层结构，只有一只完美的、墨迹的大象，没有橡皮擦痕迹呢？这是可能的。
在内心消化一个想法后，你会开始直接用墨水思考。我们不会用铅笔画“A”——我们直接写A，因为我们对它如此熟悉。练习将想法转移到“纯墨水”阶段，这让我们能够处理更大想法。例如，你需要将算术内化到“肌肉记忆”中，才能理解代数。如果你能写出算术，你就能学会画出代数。一旦你能写出代数，你就能画出微积分。以此类推——如果你不懂算术，微积分（带有代数的铅笔线条）看起来仍会是一团糟。
揭示结构
我们常常回顾并添加原始的铅笔线条到完成的作品中：
有时我们通过试错创造出“好看的大象”。之后，我们意识到存在一个共通的结构，可以简化未来的努力。真正的学习是关于发现和探索这些结构，而不是简单生成漂亮的大象。
专家教得最好吗？
谁应该教学？是从第一天就“看到”大象的人，还是学会分解和构建它的人？想象一下，你参加一个由 Stephen Wiltshire （这幅 罗马全景图 是凭记忆画出来的）：
乘坐直升机后画出整个城市是一项惊人的天赋——但我怀疑这是否可传授。他远远超出了“普通”艺术家所需的底层铅笔结构。
初学者需要铅笔标记——那些已经内化它们的内行有时会忘记这一点。当人们能在脑海中再现那种结构时，真正的学习才会发生。当内行能记起那种不能“一眼看穿”的感觉时，真正的学习才能发生。
我想分享那些演变成大象的铅笔草图，而不是抹去它们，假装我也能凭记忆画出来。
最终想法
我相信那里还隐藏着更多的类比。绘画的过程——铅笔结构，墨线成品——捕捉了在我脑海中萦绕的关于学习的思考。
不要通过描摹来学习：找到（或发明！）那些铅笔结构。看到铅笔线能让想法变成你自己的：你可以修改它，与其他的结合，或者只是更深入地欣赏它。这就是学习的乐趣。