这是我为西雅图的 当代艺术中心 (CoCA)所做的一次关于“数学与类比”的演讲。
文字记录：
这是什么？嗯，这是一个数字。大概几千年前被人写下来的。很好。我想，如果当时的人花足够的时间，他们应该是能读懂的。而如果我们想，我们也可以花时间弄明白（叹气）。
让我们来看看。M代表1000。CM表示比1000少100，即900。XC表示比100少10，即90。VII表示比5多2，即7。所以这个数字是1997。
好吧，这并不有趣。问题是：为什么这么难？为什么这么困难？为什么一种表示法会简单这么多？有几个答案。
其一是：嘿， 我们只是不够聪明.
抱歉，我们的大脑就是处理不了罗马数字。我的意思是，计算机能用它们，为什么我们不能？我们只是不够聪明。而且我们不擅长数学。
这是一个答案，也许人类确实没有能力理解数字。
但我认为更好的答案是那些数字设计得很糟糕。罗马数字不是数字的良好表示法。我们试图用“比五多二”、“比十少一”的方式来记录数字。我们不能直接说9，而要说“比十少一”，诸如此类。这让事情变得非常复杂，而且没有充分的理由。结果就是它笨重、难用，我们的大脑做了不必要的额外工作。
我学习的目标是找到能帮助理解的类比。将数字表示为“比五多二”、“比十少一”的类比不是一个好体系。十进制要好得多，这也是我们今天使用的体系。
其理念是，类比就像你用来过河的筏子。河流就是问题、概念，是你要理解的东西，而筏子就是你处理它的方式。
如果你完全没有类比，也许你可以凭借纯粹的蛮力游到对岸，但通常你会有一个心智模型来帮助你解决问题。问题是，有些心智模型不如其他模型好。罗马数字的概念虽然“有效”，但不如十进制好。我们是在用更弱的筏子过河。
让我们看看我们目前尝试过的一些心智模型。
石头是计数的第一个心智模型。“微积分”(calculus)这个词源自“鹅卵石”(pebble)，而数字基本上就是被计数的石头，这个类比非常有力。听起来很简单，但很强大。
原因是我们忽略了所有差异。这张照片里有一堆石头。大小、颜色、重量各不相同——但我们把它们当作石头来计数。这就是关键想法：我们把无数不同的事物，找到它们背后的统一原则，然后对那个统一体进行计数。
所以第一个概念(心智模型)是数字就像石头。数字是这些物理的东西，统一了不同的物品，我们可以一起计数，效果不错。一、二、三、四、五、六、七、八、九、十。有足够的时间，我们可以数一群羊。我们可以数钱，效果很好。
但这是什么？
嗯，是零。零块石头，零只羊，零亿美元就在那里。世界上最美丽的画作的零幅就在那里。
零是一个非常奇怪的概念。当你把数字的概念与实物挂钩时，像零这样的概念就变得困难了。
现在我们可以解决它，说：“好吧，让我们允许‘无’的存在。”所以我们既可以有“有”，也可以有“无”。
好吧，那这个呢？什么比无还少？什么是负数石头？
是你欠的石头吗？嗯，如果你拿着它，它就不是负数，对吧？负数货币是我欠你的吗？同样，如果我把它给你，对我来说可能是负数，但对你来说显然是正数。当我们试图使用一个非常物理的类比时，很多东西都会乱套。所以这个类比，这个筏子开始出问题了。它不能帮助我们理解事物。
事实上，即使在1759年，人们也认为负数令人困惑。它们“模糊了整个方程的理论”，对吧？它们就是没有意义。这是一个奇怪的概念，问题在于我们的类比无法处理它。
但当然，任何现代三年级学生都能告诉你，我们有数轴的概念。将我们的心智模型转移到数轴上，负数和零就成了图景的一部分。
零不再是虚空，而是中性点、中心点，所有其他数字都远离它。这是一个非常酷的概念——正数和负数并没有那么大的不同。它们是离开同一个起始点的左右方向。
以前非常非常困难的事情，有了正确的类比就变得容易了。我们继续。
像这样的东西呢？i 的平方等于 -1。这超级令人困惑。我们的筏子开始摇晃了。
有没有任何数字，平方后变成负数？零的平方还是零。正数的平方仍然是正数。负数的平方变成正数。
所以，似乎没有解。但同样，这就像试图找到那块负数石头。我们试图以限制我们思维方式的方式应用类比。类比并不是终极真理，对吧？
可能有一种不同的思考方式能使其合理，但我们被困在了这个旧系统中。
这里有一个想法：如果我们有一条左右延伸的数轴，为什么不能再加上一条南北延伸的数轴呢？
我们有东西方向，为什么不能也有南北方向呢？让我们允许这个额外的维度，数字可以在其中上下左右移动。
虚数维度让我们可以通过两步到达负数。说“i的平方等于负一”其实是在说：我从1开始。乘以i，再乘以i，得到-1。所以i代表90度旋转，旋转两次就会指向后方。这就是“i的平方等于-1”的含义。
找到合适的类比，会让原本令人困惑的东西豁然开朗，这完全是因为我们使用了恰当的比喻。我们以正确的方式思考它。所以，我们从石头到线段再到方向，这似乎很不错。
让我们稍微实践一下。这里有一个非常著名的方程。欧拉恒等式是数学中最美的方程之一。
如果你问数学家或物理学家，这通常被认为是整个数学中最美的恒等式。它与许多不同的概念相关。
问题在于它非常令人困惑，而且再次，数学家们最初认为它很疯狂。e的i乘以pi次方等于负一。我们把这些疯狂常数组合在一起：pi是无理数，i是这个古怪的维度，e是另一个无理数。所有这些如此简洁地组合起来等于-1。这太不可思议了。
所以人们认为，好吧，有证明，但无法理解。再次，这源于我们原有的类比。如果我们对数字的类比很差，那么像这样的概念确实困难，但有了恰当的类比，它们就能被理解。
那么让我们尝试一下。我喜欢在脑海中给方程上色。我想理解方程中每一部分想要表达什么。
通常我们把方程看作符号的混合，但如果我们能识别出每一部分的作用，它就变成了一个句子。它变成了实际发生的故事。那么让我们开始。
e代表增长。这可以单独做一个视频，但e是持续增长的概念，而i是横向（非正常方向）的概念。
所以概念是我们有增长，但不是像我们想要的那样增长，而是横向增长。我们这样做多久？
Pi是半个圆。一个单位圆的周长是2pi。所以单个pi就是刚好半个圆。
我们有一个横向增长的概念，持续了半个圆。如果把它画出来，就像这样：
我们有增长，但它是横向的，并且在增长引擎中有足够的燃料让我们指向后方。所以这个方程是在说，这个增长系统，横向推动，有足够的燃料持续半个圆，会让你指向后方到负一。
1是隐含的起点。开始横向增长，有足够的燃料走半个圆，你会最终指向后方。所以关键是我们通过一个非常简单的图表和类比理解了一个令人困惑的概念。
现在为了真正测试它，让我们尝试几个场景。
如果我们不添加任何燃料呢？
如果我们想横向增长，但决定完全不增长呢？我们有引擎准备好，但没有加燃料。如果我们在这里放零，那么我们将保持在起点1。
数学上，我们可以说任何数的零次幂等于1，这是对的，但更有帮助的思考是“我有这个引擎设置但没有加任何燃料，我从未使用过它。”那么你将停留在你的起点。
如果投入两倍的燃料（2 * pi），我就能绕一整圈。同样，从数学上我们可以说，如果两边平方，结果会是1，但我更喜欢将其视为使用两倍的燃料并绕一整圈。
这就是如何将一个类比付诸实践，帮助你理解。
对我来说，主要的收获是好的类比让数学变得愉悦。一个令人困惑的想法，如果我们以正确的方式看待，就会变得简单甚至有趣。这就是我哲学的核心。如果我对某事感到困惑，我不会认为自己的CPU不够好，而只是觉得我用了错误的类比。
数学愉快。
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