虚数一直让我困惑。就像 理解 e，大多数解释落入两类之一：
- 这是一种数学抽象，方程成立就行。接受它吧。
- 它在高等物理中有用，相信我们。等到大学就知道了。
哎呀，这真是鼓励孩子们学数学的好办法！今天我们将用我们最喜欢的工具来攻克这个主题：
- 关注关系，而不是机械的公式。
- 将复数视为我们数系的升级，就像零、小数和负数曾经那样。
- 使用可视化图表，而不仅仅是文字，来理解这个想法。
以及我们的秘密武器：通过类比学习。我们将通过观察虚数的祖先——负数，来认识虚数。这是你的指南：
现在还讲不通，但请坚持一下。到结尾时我们会制服 我 并把它锁住，而不是反过来被它制服。
视频讲解：
真正理解负数(Negative Numbers)
负数并不容易理解。想象你是 1700 年代的欧洲数学家。你有 3 和 4，并且知道你可以写 4 – 3 = 1。很简单。
但 3-4 呢？确切地说，这意味着什么？你怎么能从 3 头奶牛里拿走 4 头？ 你怎么可能拥有比零还少的东西？
负数曾被认为是荒谬的，是“给方程的全部学说蒙上阴影”的东西（Francis Maseres，1759 年）。然而今天，如果认为负数不合逻辑或没用，那才荒谬。试着问问你的老师负数是否败坏了数学的根基。
发生了什么？我们发明了一个 具有有用性质的理论数字。负数不是我们能触摸或抓住的东西，但它们很好地描述了某些关系（比如债务）。那是一种有用的虚构。
与其说“我欠你30”然后读文字来判断我是赚了还是亏了，我可以写“-30”就知道这意味着我亏空了。如果我赚了钱并还清债务（-30 + 100 = 70），我可以轻松记录这笔交易。之后我有 +70，这意味着我脱身了。
正号和负号自动记录方向——你不需要用一句话来描述每笔交易的影响。数学变得更容易、更优雅。负数是否“可触摸”并不重要——它们有有用的属性，我们一直使用它们，直到它们成为日常物品。今天如果有人不“懂”负数，你会骂他脏话。
但我们不要对那种挣扎自鸣得意：负数曾是一个巨大的思维转变。即使是发现了 e 以及更多成果的天才 Euler，也不像我们今天这样理解负数。它们曾被认为是“无意义”的结果（他后来以优雅的方式弥补了这一点）。
今天的孩子们能理解曾经困扰古代数学家的想法，这证明了我们心智的潜力。 预期的 理解曾经困扰古代数学家的想法。
引入虚数(Imaginary Numbers)
虚数(Imaginary numbers)也有类似的故事。我们可以一整天解这样的方程：
答案是 3 和 -3。但假设某个聪明鬼加了一个极小极小的负号：
哎呀。这个问题大多数人在第一次看到时会退缩。 你想求一个小于零的数的平方根？太荒谬了！ （历史上确实有真实问题要解答，但我喜欢想象一个聪明鬼。）
这看起来很疯狂，就像负数、零和无理数（不重复的数字）一开始一定显得疯狂一样。这个问题没有“真实”含义，对吧？
错了。所谓的“虚数(Imaginary numbers)”和其他数字一样正常（或者一样虚假）：它们是描述世界的工具。本着假设 -1、.3 和 0 “存在”的精神，我们假设某个数字 我 存在，其中：
也就是说，你让 我 乘以它自己得到 -1。现在会发生什么？
嗯，首先我们头疼。但玩“让我们假装 我 存在”的游戏实际上让数学更容易、更优雅。新的关系出现了，我们可以轻松描述。
你可能不相信 我，就像那些守旧的数学家不相信 -1 一样。新的、绕脑的概念很难，它们不会立刻讲得通，即使对 Euler 也是如此。但正如负数向我们展示的，奇怪的概念仍然可能有用。
我讨厌“虚数(Imaginary numbers)”这个术语——它曾被视为一种侮辱、骂名，旨在伤害 我的感情。数字 i 和其他数字一样正常，但“虚数(Imaginary numbers)”这个名字沿用了下来，所以我们继续使用它。
负数与复数的视觉直观理解
正如我们上次所见，方程 $x^2 = 9$ 的真正含义是：
或者
什么变换 x，应用两次后，能把 1 变成 9？
两个答案是“x = 3”和“x = -3”：也就是说，你可以“缩放 3 倍”或者“缩放 3 倍并翻转”（翻转或取反是乘以负数的一种理解方式）。
现在我们来思考 $x^2 = -1$，它实际上是
什么变换 x，应用两次后，能把 1 变成 -1？ 嗯。
- 我们不能用正数乘两次，因为结果保持为正
- 我们不能用负数乘两次，因为结果会在第二次乘法时翻回正数
但是如果是……一个 旋转呢！这听起来很疯狂，但如果我们想象 x 是“旋转 90 度”，那么应用两次 x 就会是 180 度旋转，也就是从 1 翻转到 -1！
哇！如果我们再想想，也可以朝另一个方向（顺时针）旋转两次，把 1 变成 -1。这就是“负”旋转，或者说乘以 -i：
如果我们乘以两次 -i，第一次乘法会把 1 变成 -i，第二次把 -i 变成 -1。所以实际上有 二 -1 的平方根： 我 和 -i.
这相当酷。我们有了某种答案，但它意味着什么呢？
- 我 是一个用来度量数字的“新的虚维度”
- 我 （或 -i）是数字在旋转后“变成”的样子
- 乘法 我 是逆时针旋转 90 度
- 乘以 -i 是顺时针旋转 90 度
- 任意方向上的两次旋转都是 -1：它把我们带回到正数和负数的“常规”维度中。
数字是二维的。 是的，这让人费解，就像小数或长除法会让古罗马人感到费解一样。（你说在 1 和 2 之间还有一个数是什么意思？）。这是一种奇怪而全新的数学思维方式。
我们问“怎样分两步把 1 变成 -1？”然后找到了一个答案：把它旋转 90 度。这是一种奇怪而全新的数学思维方式。但它很有用。（顺便说一句，复数的这种几何解释直到 数十年 在……之后 我 被发现才出现）。
另外，请记住，逆时针为正是一种人类约定——完全可以是相反的方向。
寻找规律
让我们稍微深入一点细节。当乘以负数（比如 -1）时，你会得到一种模式：
- 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1
由于 -1 不改变数字的大小，只改变符号，所以你在两者之间来回翻转。对于某个数字“x”，你会得到：
- x, -x, x, -x, x, -x…
这个想法很有用。数字“x”可以代表一周发型好或不好。假设每周好坏交替；这是好的一周；47 周后会是怎样？
所以 -x 意味着发型糟糕的一周。注意负数是如何“记录符号”的：我们可以把 $(-1)^{47}$ 扔进计算器，而不用数（”第 1 周不错，第 2 周糟糕……第 3 周不错……“）。来回翻转的事物可以很好地用负数来建模。
好的。那么如果我们一直乘以 $i$ 会发生什么？
非常有趣。我们来简化一下：
- $1 = 1$（这里没什么疑问）
- $i = i$（做不了太多）
- $i^2 = -1$（这正是 我 的全部意义所在）
- $i^3 = (i \cdot i) \cdot i = -1 \cdot i = -i$（啊，逆时针转 3 次 = 顺时针转 1 次。妙。）
- $i^4 = (i \cdot i) \cdot (i \cdot i) = -1 \cdot -1 = 1$（4 次旋转让我们“转了一整圈”）
- $i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i$（又来了……）
可视化表示：
我们每转 4 次就循环一次。这说得通吧？任何小孩都能告诉你，左转 4 次和根本不转是一样的。现在不要关注虚数($i$, $i^2$)，而是看这个一般模式：
- X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y…
就像负数可以建模翻转一样，虚数可以建模在“X”和“Y”两个维度之间旋转的任何事物。或者任何具有循环、圆形关系的事物——你想到什么了吗？
“因为如果你没（想到）那可真是罪过(sin)了。后续
理解复数(Complex Numbers)
还有另一个细节要讲：一个数可以既是“实数”又是“虚数”吗？
当然可以。谁说我们必须旋转整整 90 度？如果我们一只脚留在“实”维度，另一只脚留在虚维度，看起来像这样：
我们处于 45 度角，实部和虚部各占一半（1 + i）。这就像一个加了芥末和番茄酱的热狗——谁说你必须二选一？
事实上，我们可以选取任意实数和虚数的组合并构成一个三角形。这个角度成为“旋转角”。复数(Complex Number)是同时具有实部和虚部的数的花哨叫法。它们写作 a + bi，其中
- a 是实部
- b 是虚部
还不算太糟。但还有一个最后的问题：复数的“大小”是多少？我们不能孤立地测量实部或虚部，因为那样会忽略整体。
我们退一步看。负数的大小不在于你能否数出来——而是它到零的距离。对于负数来说就是：
这是求绝对值的另一种方式。但对于复数，我们如何测量成 90 度角的两个分量？
那是鸟……那是飞机……那是 Pythagoras（毕达哥拉斯）！
天哪，他的定理出现了 到处，甚至在发明于他身后 2000 年的数里也是如此。是的，我们在构造某种三角形，而斜边就是到零的距离：
漂亮。虽然测量大小不像“去掉负号”那么简单，但复数确实有它们的用途。我们来看看。
一个实际例子：旋转(Rotations)
我们不必等到大学物理才用虚数。今天就来试试。关于复数乘法还有很多可说的，但请记住：
- 乘以一个复数 按它的角度旋转
我们来看看。假设我在一艘船上，航向是每向东 3 单位就向北 4 单位。我想把航向逆时针改变 45 度。新航向是什么？
某个自作聪明的人会说“这简单！只要取正弦、余弦，用正切胡乱算一通……对 foobar 求 fluxsom……然后……“. 咔嚓。抱歉，我弄坏你的计算器了吗？要不要再回答一次那个问题？
我们试试更简单的方法：我们正沿着 3 + 4i 的航向前进（不管那个角度是多少，我们其实不在乎），想旋转 45 度。嗯，45 度就是 1 + i（完美的对角线），所以我们直接乘上这个量就行！
思路是这样的：
- 原始方向：向东 3 单位，向北 4 单位 = 3 + 4i
- 逆时针旋转 45 度 = 乘以 1 + i。（原因如下 是乘法而非加法执行了旋转。）
如果我们将它们相乘，会得到：
所以我们的新朝向是向西 1 个单位（-1 向东），向北 7 个单位，你可以画出来并照着走。
但是天哪！我们 10 秒钟就求出来了，根本没碰正弦或余弦。没有向量，没有矩阵，也不用管自己在第几象限。只是带点代数交叉相乘的算术而已。虚数(Imaginary numbers)把旋转规则都内嵌好了： 它就是能生效。
更棒的是，这个结果很有用。我们得到的是一个朝向（-1, 7），而不是一个角度（atan(7/-1) = 98.13，注意我们在第二象限）。你到底打算怎么画出并跟着那个角度走？用你随身带的量角器？
不，你会把它转换成余弦和正弦（-.14 和 .99），在它们之间找个合理的比例（大约 1 比 7），然后画出那个三角形。复数(Complex numbers)瞬间就帮你做到了，准确且不用计算器。
如果你和我一样，会发现这个用法让人大开眼界。如果你不觉得，嗯，那恐怕数学不对你的胃口。抱歉。
三角学很棒，但复数能让丑陋的计算变简单（比如算 cos(a+b)）。这只是预告；后面的文章会给你完整大餐。
题外话： 有些人觉得“嘿，用北/东朝向而不是跟着走的角度，这没用啊！”
真的吗？好，看看你的右手。从小指底部到食指顶部是什么角度？祝你自己算得出来。
用朝向的话，你至少能说“哦，横着 X 英寸，竖着 Y 英寸”，还有点机会对付那个方位。
复数(Complex Numbers)并非
那是我基本洞见的旋风之旅。看看第一张图——现在应该说得通了。
这些美丽又疯狂的数字还有太多可说的，但我脑子累了。我的目标很简单：
- 让你相信复数曾被认为是“疯狂的”，但却很有用（就像负数曾经那样）
- 展示复数如何能让某些问题变得更简单，比如旋转
如果我对这话题显得激动又介意，是有原因的。虚数(Imaginary numbers)让我纠结了 年 ——缺乏直观的洞见让我沮丧。
既然我终于有了洞见，就迫不及待想分享。但让我沮丧的是，你正读着一个疯子博客上的东西，而且 not 在教室里。我们憋着问题“硬算下去”——因为我们不去寻找并分享干净、直观的洞见。哎呀。
但与其诅咒黑暗，不如点根蜡烛：这是我的想法，你们中有人会打起聚光灯。以为自己已经“搞懂”了像数字这样的话题，正是让我们停留在罗马数字时代的原因。
还有更复杂的数字：看看 复数运算的细节。数学愉快。
后记：但它们依然很奇怪！
我知道，它们对我来说也很奇怪。我试着把自己代入第一个发现零的人的思维中。
零是一个很奇怪的想法，用“某物”来表示“无”，连罗马人都没搞明白。复数(Complex Numbers)也类似——这是一种新的思维方式。但零和复数都让数学变得容易多了。如果我们从不采用奇怪的新数字系统，我们至今还在用手指计数。
我重复这个类比是因为很容易就开始觉得复数(Complex Numbers)不“正常”。让我们保持开放心态：将来他们会嘲笑复数曾经被怀疑，甚至一直到2000年代。
著名数学家卡尔·高斯(Carl Gauss) 写道:
"Hätte man +1, -1, √-1 nicht positiv, negative, imaginäre (oder gar ummögliche) Einheit, sondern etwa directe, inverse, laterale Einheit gennant, so hätte von einer solchen Dunklelheit kaum die Rede sein können."
"如果+1、-1、√-1不被叫做正、负、虚（甚至不可能）单位，而是被称为正向、反向、侧向单位，那么几乎就不会有这种晦涩难懂的讨论了。"
如果你想了解更多细节，看看 维基百科，这个 Dr. Math 讨论，或者另一篇关于 为什么虚数存在.
