虚数乘法 vs. 虚数指数

虚数(Imaginary numbers) 执行旋转。那么 $2 i$ 和 $2^i$ 有什么区别？

虚数乘法直接旋转我们的位置
虚数指数旋转指数增长的方向；我们在侧向增长完成后计算位置

我认为虚数乘法就像把地图旋转90度。东变成了北；无论你向东开了多久，现在你都将向北行驶。

虚数指数就像是只转动 方向盘你会到哪里？取决于你开多久！

这就是直觉，让我们仔细推敲一下细节。

乘法世界与指数世界

乘以 $i$ 的数学很简单。我们绕原点旋转90度，所以1变成 $1i$，2变成 $2i$，以此类推：

这就是乘法世界，数字被放在数轴上，然后进行滑动（加法）、拉伸（乘法）、收缩（除法）等操作。旋转数字是新的，但并不奇怪。

不幸的是，乘法世界的视角并不适用于指数。如果我们将指数视为“重复乘法”，那么当我们试图计算 $i$ 次时就会陷入困境。这是错误的模型。

不——要在指数中使用 $i$，我们需要进入指数世界。

在这里，数字是增长，而不是简单地放在数轴上。每个数字从1.0开始，然后以100%的连续利率运行一个指数增长引擎一段时间：

e^0 = 1.0 (没有燃料，你保持不变)
e^1 = 2.71828... (1单位燃料，连续复利)
e^2 = 7.3189... (2单位燃料，连续复利)

在指数世界中，像“2”这样熟悉的数字只是1.0，以100%的连续利率增长0.693秒。换句话说：

$\displaystyle{2 = e^{\ln(2)} = e^{.693 \cdot 100\%}}$

一般来说：

$\displaystyle{x = e^{\ln(x) \cdot 100\%}}$

$e^x$ 是一艘火箭，使我们的数字越来越远离起点1。当 t=3 时我们大约在20，当 t=10 时我们超过了20,000。

那么，如果我们把一个虚数放进指数里会发生什么（$e^{1} \rightarrow e^{1i}$）？我们保持相同的燃料量，但把引擎横向旋转：

对于常规的指数增长，我们期望沿着实数维度加速。使用横向的引擎，我们需要计算会发生什么。

欧拉公式(Euler's Formula) 给出了答案：在垂直方向上施加恒定力会产生一个轨道：

一般地：

一些注意事项/陷阱：

我们总是从1.0开始。 当看到$e = 2.718...$时，容易认为增长从2.718开始。但并非如此——当我们写$e^x$时，我们仍在1.0开始增长过程（$e^0 = 1$意味着从1.0没有变化）。

我试着记住我们可以随时将 $e$ 替换为它的官方定义在任何时候：

我们在定义中看到的唯一起始点是1。

每个数字都在半径为1.0的轨道上运行。 在指数世界中，每个数都是从1.0增长而来的，只是燃料量不同。当我们将引擎横向放置时，轨道在1.0处，围绕圆周的距离不同。
轨道不会加速。 常规的指数增长会产生失控的复利效应，因为我们的变化累积在同一个方向上。而横向增长中，变化不会累积（总是在新方向上），我们以恒定速度旋转。换句话说，$e^{10}$ 比 $e^1$ 大数千倍，但 $e^{10i}$ 只是比 $e^i$ 多绕圆十圈。

示例：计算 2^i

因此，像 $2^i$ 这样的设置告诉我们以横向方向使用 .693 单位的燃料：

$\displaystyle{2^i = e^{\ln(2)i}}$

为了得到最终位置的坐标，我们看看 ln(2) = .693 单位的燃料能带我们在单位圆上走多远：

$\displaystyle{2^i = \cos(.693) + i \sin(.693) = .769 + .639i}$

呼！计算 $2^i$（旋转的指数增长）比 $2i$（简单的旋转）要复杂得多。

更多技巧：i^i

现在来点棘手的。$i^i$ 是什么？

记住，我们是在指数世界中，甚至 $i$ 也是我们不得不增长到的！换句话说，我们从1.0开始，绕圆四分之一圈（90度，或 $\frac{\pi}{2}$ 弧度）。

$\displaystyle{i = e^{\frac{\pi}{2} i}}$

哇。不喜欢 $i$ 出现在它自己的指数定义中？那么字典中的每个单词都是由其他单词定义的，这一定也让你烦恼。

回到 $i^i$，我们有两个操作。

底部的$i$（在底数中）是横向运行引擎的简写，拥有$\frac{\pi}{2}$单位燃料
顶部的$i$（在指数中）表示"不，再把引擎转一圈"
引擎面向180度（在实轴上向后），拥有$\frac{\pi}{2}$单位燃料

啊。结果是

$\displaystyle{i^i = [e^{\frac{\pi}{2} i}]^i = e^{\frac{\pi}{2} i \cdot i} = e^{-\frac{\pi}{2}} = .207...}$

我们最终得到了一个实数。直观上，我们可以大致预测这一点，因为我们从1.0开始，将引擎指向实轴的反方向。一旦你能在几秒内大致估计出 $i^i$ 的方向，你就对虚指数有了扎实的直觉。

数学愉快。

附录：i * i^i

只是好玩，$i \cdot i^i$ 呢？

我们知道 $i^i$ 是一个小于1.0的纯实数。第一个 $i$（进行乘法运算）只会让我们旋转，所以现在我们得到一个小于 $1i$ 的纯虚数。

不错！先处理指数，然后旋转最终位置。

附录：物理解释

从物理角度看，如果 $f(x) = e^{ix}$ 是我们的位置，那么 $f'(x)$ 就是我们的速度。计算得到：

$\displaystyle{f'(x) = \frac{d}{dx} e^{ix} = i e^{ix} = i \cdot f(x)}$

换句话说，我们的速度垂直于我们的位置。对 $e^{ix}$ 求导可能看起来很奇怪，但把 $i$ 当作其他常数处理即可：$\frac{d}{dx} e^{ax} = ae^{ax}$。

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