虚数有一个 直观解释：它们“旋转”数字，就像负数产生数字的“镜像”一样。这种见解让复数算术更容易理解，也是检查结果的好方法。这里是我们速查表：
本文会逐步讲解直观含义。
复数变量
在常规代数中，我们常说“x = 3”就万事大吉了——有一个数“x”，其值为3。对于复数，有个坑：有两个维度需要讨论。当写
时，我们是在说有一个数“z”有两个部分：3（实部）和4i（虚部）。一个“单一”数字有两个部分有点奇怪，但我们已经这样做很久了。我们经常写：
而这并不会困扰我们，因为一个数字“y”同时有整数部分(3)和小数部分(.4或4/10)。Y是两者的组合。复数类似：它们将实部和虚部“包含”在一个变量中（常简写为Re和Im）。
不幸的是，我们没有像(3.4)这样好的符号来将各部分“合并”成一个数字。我曾有想法将虚部垂直写在渐淡的墨水中，但并不流行。所以我们还是用“a + bi”的格式。
测量大小
因为复数使用两个独立的轴，我们通过勾股定理求大小（模）：
所以，数z = 3 + 4i的模为5。“z的模”的简写是：|z|
注意到它看起来像绝对值符号吗？实际上，在某种程度上是的。模衡量复数“到零的距离”，就像绝对值衡量负数“到零的距离”一样。
复数加法与减法
我们已经看到 普通加法 可以看作是在数轴上“滑动”。复数的加法类似，但我们可以沿两个维度（实部或虚部）滑动。例如：
将 (3 + 4i) 与 (-1 + i) 相加得到 2 + 5i。
同样，这是对“独立分量”如何组合的一种可视化解释：我们分别跟踪实部和虚部。
减法是加法的逆运算——它是在 相反 方向上滑动。减去 (1 + i) 等同于加上 -1 * (1 + i)，也就是加上 (-1 - i)。
复数乘法
这里就是数学变得有趣的地方。当我们用两个复数 (x 和 y) 相乘得到 z 时：
- 角度相加： angle(z) = angle(x) + angle(y)
- 模长相乘： |z| = |x| * |y|
也就是说，z 的角度是 x 和 y 的角度之和，z 的模是 x 和 y 的模之积。信不信由你，复数的魔力确保了这一数学结果成立！
乘以模（大小）是合理的——我们在普通乘法中已经习惯了这一点（3 × 4 表示用 3 乘以 4 的大小）。角度加法的原理更为复杂，我们改天再讨论。（好奇吗？找出正弦和余弦 加法公式 并将它们与 (a + bi) * (c + di) 的乘法展开方式进行比较。）
来看一个例子：让我们将 z = 3 + 4i 与自身相乘。在进行全部数学运算之前，我们知道以下几点：
- 结果模为25。z的模为5，所以|z| * |z| = 25。
- 结果角度将大于90度。3 + 4i大于45度（因为3 + 3i是45度），所以两倍该角度将超过90度。
在纸上写下预测后，我们可以进行数学计算：
现在来验证结果：
- 模：$\sqrt{(-7 * -7) + (24 * 24)} = \sqrt{625} = 25$，与我们的猜测一致。
- 角度：由于-7为负，24i为正，可知我们在“向后向上”移动，即已越过90度（“垂直向上”）。从专业角度，计算atan(24/-7) = 106.2度（注意我们在第二象限）。这个猜测也成立。
很好。虽然我们总是可以计算出来，但关于旋转和缩放（scaling）的直觉有助于我们检验结果。如果得到的角度小于 90°（例如“向前向上”），或者模不是 25，我们就知道数学计算中出了错。
复数除法
除法是乘法的逆运算，就像减法是加法的逆运算一样。当复数相除时（x 除以 y），我们：
- 角度相减 angle(z) = angle(x) – angle(y)
- 除以模长 |z| = |x| / |y|
听起来不错。现在让我们试试：
嗯……从何入手？我们到底如何 做 进行除法？普通代数式的除法就让我头疼，更不用说 i 的古怪了（先生先生！你知道1/i = -i吗？两边同时乘以i就能验证！ 哎呀。）幸运的是，有一个捷径。
介绍共轭复数
除法的主要目标是减去角度。如何做到？乘以相反角度！这将“加上”一个负角度，从而实现角度相减。
先不要考虑 z = a + bi，而是考虑一个数 z* = a – bi，称为“复共轭(complex conjugate)”。它具有相同的实部，但在虚数维度上是“镜像”。共轭或“虚数反射”具有相同的大小，但角度相反！
所以，乘以 a – bi 相当于 减法 一个角度。真棒。
复共轭用星号(z*)或数字上方的横线表示——数学家们喜欢争论这些符号惯例。无论哪种方式，共轭就是虚部取反的复数：
注意 b 不一定是“负数”。如果 z = 3 – 4i，那么 z* = 3 + 4i。
乘以共轭
如果乘以共轭会发生什么？z 乘以 z* 等于多少？不用计算，思考一下：
所以我们取 1（一个实数），加上 angle(z)，再加上 angle(z*)。但最后这个角度是负的——是减法！所以最终结果应该是一个实数，因为我们抵消了角度。这个数应该是 |z|^2，因为我们两次乘以了大小。
现在来做个例子： 
我们得到了一个实数，正如预期！数学爱好者也可以尝试代数运算：
瞧！结果没有虚部，而且是大小的平方。将复共轭理解为“负旋转”让我们可以用不同的方式预测这些结果。
缩放你的数字
当乘以共轭 z* 时，我们按大小 |z*| 缩放。要逆转这个效果，我们可以除以 |z|，而要实际 缩小 除以 |z| 我们必须再除一次。总之，乘以共轭后，要恢复原数，我们必须除以 |z| * |z|。
让我看看除法！
我一直回避除法，但这里就是魔法所在。如果我们想做
我们可以直观地处理：
- 旋转相反角度：乘以(1 – i)而非(1 + i)
- 除以模的平方：除以$|\sqrt{2}|^2 = 2$
使用这种方法，答案是：
更传统的“代入计算”方法是分子分母同时乘以复共轭：
我们传统上被教导“只需两边乘以复共轭”，而不去质疑复数除法的真正含义。但今天不一样。
我们知道发生了什么：除法是减去一个角度并缩小大小。通过分子分母同时乘以共轭，我们减去 (1-i) 的角度，这恰好使分母成为一个实数（这并非巧合，因为这是完全相反的角度）。我们以相同的量缩放分子和分母，效果抵消。结果是将除法转化为分子上的乘法。
两种方法都有效（通常你学的是第二种），但有一种方法可以相互验证是很好的。
更多数学技巧
既然我们已经理解了共轭，还有几个性质需要考虑：
第一条应该容易理解。将两个数相加然后对结果进行“反射”（共轭），等同于对反射分别相加。另一种思考方式：先滑动两个数再取反，等同于每次都向相反方向滑动。
第二条性质更棘手。当然，这个 代数可能有效，但直观解释是什么？
结果 (xy)* 表示：
- 模相乘：|x| * |y|
- 角度相加并取共轭（相反）：angle(x) + angle(y) 变为“-angle(x) + -angle(y)”
而 x* 乘以 y* 表示：
- 模相乘：|x| * |y|（与上相同）
- 共轭角度相加：angle(x) + 角度(y) = -angle(x) + -angle(y)
啊哈！我们在每种情况下都得到相同的角度和幅度，而且无需陷入传统的代数解释。代数没问题，但并非总是最令人满意的解释。
一个简单例子
共轭(Conjugate)是一种“撤销”旋转的方式。可以这样理解：
- 我存入了\$3、\$10、\$15.75和\$23.50到我的账户。哪笔交易能抵消这些？要找到相反操作：将它们相加，然后乘以-1。
- 我通过多次乘法旋转了一条线：(3 + 4i)、(1 + i)和(2 + 10i)。哪种旋转能抵消这些？要找到相反操作：将复数相乘，然后取结果的共轭。
将共轭 z* 视为“抵消”z 旋转效应的一种方法，就像负数“抵消”加法效应一样。注意：使用共轭时，还需要除以 |z| * |z| 以去除缩放效应。
总结思考
这里的数学并不新鲜，但我从未意识到 为什么 共轭复数(Complex Conjugate)的工作原理如此。为什么是 a – bi 而不是 -a + bi？嗯，共轭复数不是随机选择的，而是从虚数角度的镜像，具有完全相反的角度。
将虚数视为旋转为我们提供了 新思维 解决问题的方法；即使是像复数这样的奇怪话题，“代入计算”公式也能变得直观易懂。数学愉快。
