正弦波曾让我困惑。是的，我能咕哝“SOH CAH TOA”并在三角形内画线。 但这意味着什么?
我曾被困在认为正弦必须从其他形状中提取出来。一个简单的类比：
你：几何学是关于形状、线条等。
外星人：哦？你能给我看一条线吗？
你（环顾四周）：呃……看到那块砖了吗？线是那块砖的一条边。
外星人：所以线条是形状的一部分？
你：算是吧。是的，大多数形状都有线条。但线条本身是一个基本概念：一束光、地图上的一条路线，甚至——
外星人：砖块有线条。线条来自砖块。砖块砖块砖块。
大多数数学课正是如此。“圆有正弦。正弦来自圆。圆圆圆。”
啊！不——圆是 一个例子 正弦的一个例子。用一句话来说： 正弦是一种自然的摇摆，平滑的缩影：它使圆变得“圆”，就像直线使正方形变得“方”一样。
让我们通过将正弦视为其自身的形状来建立直觉，并 然后 理解它如何融入圆等概念。继续！
正弦 vs 直线
记住要将一个 想法 从一个 例子：正方形是 示例 线段的。正弦在其成为独立概念（而非“圆的一部分”）时才真正被理解。
让我们在模拟器中观察正弦：
Hubert将带您参观：
- 点击开始. 加油，Hubert加油！注意到那个平滑的来回运动了吗？那是Hubert，但更重要的是（抱歉Hubert），那是正弦(sine)！它是自然的，就像弹簧弹跳、钟摆摆动、琴弦振动……以及许多物体的运动。
- 将"垂直"改为"线性". 巨大差异——看运动如何变得恒定且机械，就像乒乓球游戏一样？
让我们通过视频探索差异：
线性运动 是恒定的：我们以固定速度运动并瞬间转向。这是机器人舞蹈中不自然的运动（注意线性弹跳没有减速，与频闪效果对比）。
正弦(Sine) 改变速度：它开始快速，然后减速、停止，再次加速。这是液体舞蹈中迷人的流畅感（人类正弦波与自然弹跳）。
不幸的是，教科书不会用动画或舞蹈来展示正弦。不，他们更喜欢用时序图来介绍正弦（尝试将“水平”设置为“时间线”）：
(来源)
天哪。这就是我们一直看到的示意图。它能给你正弦的感觉吗？不比一具骨架能展现猫的敏捷性好多少。让我们观察正弦的运动并 然后 绘制其轨迹。
不可避免的圆
圆中有正弦。没错。但在圆中看到正弦就像从煎蛋中把鸡蛋分离出来。它们完全混合在一起！
我们慢慢来。在模拟器中，将Hubert设置为垂直：无，水平：sine*。看到他在水平方向摆动了？这就是正弦的运动。有一点小调整：通常正弦从中性中点开始循环并冲向最大值。这次我们从最大值开始并向中点下降。这种“从最大值开始”的正弦称为余弦，它只是正弦的一种形式（就像水平线是垂直线的一种形式）。
好的。现在来看两个正弦波：将垂直设置为“sine”，水平设置为“sine*”。然后……我们就得到了一个圆！
水平和垂直的“弹簧”组合产生圆周运动。大多数教科书画出圆并试图提取正弦，但我更喜欢构建：从纯水平或垂直运动开始，再加入另一个。
快速问答
初学正弦时我错过的一些见解：
正弦(Sine)确实是1维的
正弦在一维中摆动。真的。我们经常随时间绘制正弦（以免重叠），有时执行正弦的“东西”也在运动，但这不是必需的！一维中的弹簧就是一个完美的正弦波。
(来源：维基百科，尽量不要被催眠。）
圆是 例子 由两个正弦波组成
圆和正方形是基本组成部分（正弦波和直线）的组合。圆由两个相连的一维波构成，每个波分别在水平和垂直方向运动。
(来源 http://1ucasvb.tumblr.com/)
但请记住，圆并非正弦波的 起源 起源，正如正方形并非直线的起源。它们是两个正弦波协同工作的例子，而非其源头。
正弦(Sine)的值意味着什么？
正弦在-1到1之间循环。它从0开始，增长到1.0（最大值），下降到-1.0（最小值），然后回到中性。我也将正弦视为百分比，从100%（全速前进）到-100%（全速后退）。
sin(x)中的输入'x'是什么？
棘手的问题。正弦是一个周期，而输入x是 我们在周期中的进度.
让我们看看直线：
- 你在一个正方形上移动。每条边需要10秒钟。
- 1秒后，你完成了该边的10%
- 5秒后，你完成了50%
- 10秒后，你完成了该边
直线运动没什么意外。现在来看正弦（关注"0到最大值"周期）：
- 我们在一个正弦波上移动，从0（中性）到1.0（最大）。这部分需要10秒钟。
- 5秒后我们完成了……70%！正弦波从起点快速上升然后减慢。大部分的增长都在前5秒内。
- 从70%到100%还需要5秒钟。而从98%到100%几乎需要一整秒！
尽管有初始速度，正弦会减速，使得我们在掉头前轻轻触碰最大值。这种平滑性造就了正弦。
给极客们：在模拟中点击"显示统计"。你会看到整个周期的完成百分比、小周期（0到1.0）以及到目前为止达到的值。暂停、逐步进行，并在直线运动和正弦运动之间切换以观察数值。
快速测验：哪个更靠前，直线周期的10%还是正弦周期的10%？正弦。记住，它一开始就以最大速度冲出大门。当正弦达到周期的50%时，它以直线周期的平均速度运动，之后它会变慢（直到达到最大值并掉头）。
所以x是'你的周期的量'。周期是什么？
这取决于上下文。
- 基础三角学：'x'是度数，一个完整周期是360度
- 高级三角学：'x'是弧度（它们更自然！），一个完整周期是绕单位圆一周（2*pi弧度）
在这里尝试x的值：
但再次强调，周期依赖于圆！我们能逃脱它们的暴政吗？
无图圆周率
想象一个盲眼的外星人，它只能感知明暗变化。你能向它描述π吗？很难用闪烁来传达圆周长的概念，对吧？
我们退一步。正弦是一种重复的模式，这意味着它必须……重复！它从0到1，到0，到-1，再到0，如此循环。
让我们定义π为正弦(sine)从0到1再回到0所需的时间。 哇！现在我们也在没有圆的情况下使用π！π是一个概念，它 恰好发生 出现在圆中：
- 正弦波是一种轻柔的前后摇摆
- Pi是从中性到最大值再回到中性的时间
- n * Pi（0 * Pi, 1 * pi, 2 * pi，等等）是你处于中性的时刻
- 2 * Pi, 4 * pi, 6 * pi 等是完整周期
啊哈！这就是为什么π出现在这么多公式中！π并不比0和1更"属于"圆—— π是关于正弦(sine)返回中心！圆是一个 例子 每2π单位重复并返回中心的形状的例子。但弹簧、振动等也在π后返回中心！
问题：如果π是自然周期的一半，为什么它不是一个简洁、简单的数字？
让我们用一个问题来回答一个问题。为什么一个1x1的正方形对角线长度为$\sqrt{2} = 1.414...$（一个无理数）？
这是 哲学上不便 当自然界与我们的数字系统不一致时。我没有很好的直觉。我的直觉是，简单的规则（1x1正方形 + 勾股定理）仍然可能导致复杂的结果。
正弦有多快？
我一直在耍花招。之前我说“想象正弦从0到最大值需要10秒”。而现在是从0到最大值再回到0需要π秒？怎么回事？
- sin(x)是 默认标准的正弦波，确实从0到最大值再到0需要pi个单位时间（或者一个完整周期需要2*pi）
- sin(2x)是一个移动速度快两倍的波
- sin(0.5x)是一个移动速度慢两倍的波
所以，我们使用sin(n*x)来得到按所需速度循环的正弦波。通常，“正弦波”这个短语指的是大致形状，而不是特定速度。
第二部分：理解正弦的定义
这信息量很大——如果需要就休息一下。希望正弦正逐渐显现出它自己的模式。现在让我们 培养我们的直觉 通过看看正弦的常见定义是如何联系在一起的。
定义 1：三角形/圆的高度！
正弦最初出现在三角形中。你可能记得“SOH CAH TOA”作为记忆术
- SOH：正弦是对边 / 斜边
- CAH: 余弦 = 邻边 / 斜边
- TOA: 正切 = 对边 / 邻边
对于角度为x的直角三角形，sin(x)是对边长度除以斜边。如果我们让斜边为1，就可以简化成：
- 正弦 = 对边
- 余弦 = 邻边
再巧妙一点，我们可以将斜边为1的三角形画在半径为1的圆中：
瞧！一个包含所有可能直角三角形的圆（因为它们可以通过相似性缩放）。例如：
- sin(45) = .707
- 放下一根10英尺的杆子，并将其抬高45度。它离地面10 * sin(45) = 7.07英尺
- 一根8英尺的杆子会离地8 * sin(45) = 5.65英尺
这些直接的操作对于构造很有用（ 金字塔 不会自己计算）。不幸的是，几千年后我们开始认为 含义 正弦就是三角形的高度。不，不，它是一个在圆（和三角形）中 出现 的形状。
实际上，对于许多问题，我们会进入“几何模式”并开始思考“正弦 = 高度”来快速处理。这没问题——只是不要卡在那里。
定义 2：无穷级数
我回避了房间里的大象： 我们到底如何实际计算正弦(sine)！？ 我的计算器是在画一个圆并测量它吗？
很高兴激怒你。这是正弦无圆的秘密：
正弦(Sine)是与当前位置相反的加速度
用我们的银行账户比喻：想象一个变态的老板，他给你的加薪幅度正好等于 相反 你当前的银行存款！如果你的银行存款是 \$50，那么下周你的加薪就是 \$50。当然，你的收入可能是 \$75/周，所以你还是能赚一些钱（该周 \$75 - \$50），但最终当“加薪”超过你的收入时，你的余额会减少。
但别担心！一旦你的账户变成负数（比如 -\$50），你的老板就会给你合法地加薪 \$50/周。同样，你的收入可能是负数，但最终加薪会超过它。
这种向中心的持续拉力维持着循环：当你上升时，“拉力”会合谋把你拉回来。这也解释了为什么中性点是正弦的最大速度：如果你处于最大值，你开始下降，并在下降过程中积累越来越多的“负加薪”。当你经过中性点时，你感受到了所有可能的负加薪（一旦你越过，你将开始获得正加薪并减速）。
顺便说一句：因为正弦是与你当前位置相反的加速度，而圆由水平和垂直的正弦组成……你说对了！圆周运动可以描述为“一个与你当前位置相反的、朝向你的水平和垂直中心的恒定拉力”。
深入微积分
让我们用微积分来描述正弦。像 e 一样，我们可以将正弦分解为更小的效应：
- 从0开始，以单位速度增长
- 在每一瞬间，被负加速度拉回
我们该如何思考这个问题？看看上述每个效应如何改变我们与中心的距离：
- 我们的初始冲击使距离线性增加：y（距中心的距离）= x（经过的时间）
- 在任何时刻，我们感受到一个恢复力$-x$。我们积分两次将负加速度转化为距离：
理解加速度如何影响距离，就像看加薪如何影响你的银行账户。“加薪”必须改变你的收入，而你的收入又改变你的银行账户（沿着链条向上积分两次）。
所以，经过“x”秒后，我们可能会猜测正弦是“x”（初始冲量）减去 $\frac{x^3}{3!}$（加速度的效应）：
有点不对劲——正弦并没有俯冲！对于 e，我们看到“利息生利息”，正弦也类似。“恢复力”将我们的距离改变为 $\frac{-x^3}{3!}$，这又产生了 另一个 需要考虑的恢复力。考虑一个弹簧：把你往下拉的力太大，导致你向下冲并产生 另一个 把你向上拉的力（同样也太大）。弹簧真是疯狂！
我们需要考虑每一个恢复力：
- $y = x$ 是我们的初始运动，它产生了一个影响恢复力...
- $y = \frac{-x^3}{3!}$ 产生了一个影响恢复力...
- $y = \frac{x^5}{5!}$ 产生了一个影响恢复力...
- $y = \frac{-x^7}{7!}$ 产生了一个影响恢复力...
就像 e 一样，正弦可以用无穷级数来描述：
我经常看到这个公式，但只有当我将正弦视为 初始冲量与恢复力的组合时才真正理解。初始推动（y = x，正向）最终被恢复力（把我们拉向负方向）所压倒，而这个恢复力又被它自己的恢复力（把我们拉回正方向）所压倒，如此循环。
几个有趣的注记：
- 把“恢复力”想象成“正利息或负利息”。这使得正弦和e之间的联系 欧拉公式(Euler's formula) 更容易理解。正弦就像e，只不过有时会获得负利息。这里还有更多要学的:)。
- 对于非常小的角度，“y = x”是对正弦的良好猜测。我们只考虑初始冲击，忽略任何恢复力。
余弦的微积分
余弦只是一个平移了的正弦，既然我们理解了正弦，它也很好玩（是的！）：
- 正弦：从0开始，初始冲击y = x (100%)
- 余弦：从1开始，无初始冲击
所以余弦一开始就……坐在那里等于 1。我们让恢复力来做功：
同样，我们对 -1 积分两次得到 $\frac{-x^2}{2!}$。但这又引发了另一个恢复力，再引发另一个，不知不觉中：
定义 3：微分方程
我们用特定的方程描述了正弦函数的行为。一种更简洁的方式（方程):
这个优美的表达式表明：
- 我们当前的位置是 y
- 我们的加速度(二阶导数, 或 y'') 与我们当前位置相反 (-y)
正弦和余弦都满足这一性质。我最初讨厌这一定义；它太脱离直观形象了。我没有意识到它描述了正弦的本质，即“加速度与位置相反”。
还记得正弦和e是如何联系的吗？嗯，$e^x$可以用（方程):
同样的方程，只是符号为正（“加速度等于你的位置”）！当正弦被视为“圆的高度”时，很难将其与e联系起来。
我最大的数学遗憾之一是没有学习微分方程。但我希望学习，而且我怀疑对正弦和e的直觉会至关重要。
总结
目标是让正弦从某种数学琐事（“圆的一部分”）转变为它自身的形态：
- 正弦是一种在最小值(-1)和最大值(1)之间平滑摇摆的运动。从数学上讲，你在加速反向你的位置。这种“负利息”使正弦永远摇摆。
- 正弦(Sine) 碰巧出现 在圆和三角形中(以及弹簧、钟摆、振动、声音...)。
- 圆周率是 sin(x) 中从平衡到平衡的时间。同样，圆周率并不“属于”圆，它只是恰好出现在那里。
让正弦进入你的思维工具箱（嗯，我需要一个公式来实现平滑的变化……）。最终，我们会直观地理解这些基础（e, π, 弧度, 虚数, 正弦...），它们可以被混搭成一道美味的数学沙拉。享受吧！
附录(Appendix)
使用这种方法，Alistair MacDonald制作了一个 很棒的教学 带有代码的，用于构建你自己的正弦和余弦函数。
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