圆周率是神秘的。当然，你“知道”它大约是3.14159，因为你在某本书上读到过。但如果你没有教科书、没有电脑、也没有 微积分 (哎呀！) —— 仅凭你的大脑和一张纸。你能求出圆周率(pi)吗？
阿基米德(Archimedes)在2000年前就以99.9%的精度求出了圆周率(pi)——没有使用小数点，甚至没有数字0！更棒的是，他设计的技术成为了微积分(Calculus)的基础。我希望在学校里就学到他是如何发现圆周率的——这有助于我们理解微积分的运作原理。
我们如何找到圆周率？
圆周率(pi)是直径为1的圆的周长。我们如何得到那个数字？
- 设圆周率为3，收工。
- 用手稳画一个圆，用绳子缠绕，用最精细的尺子测量。
- 选择第三扇门
3号门背后是什么？数学！
阿基米德是怎么做的？
阿基米德不知道圆的周长。但他没有烦恼，而是从他所 做 知道的开始：正方形的周长。（他实际上用了六边形，但正方形的计算和作图更简单，所以我们先用正方形，好吗？）
我们不知道圆的周长，但为了好玩，我们把它画在两个正方形之间：
简洁明了——就像一个带有内边缘和外边缘的跑道。无论周长是多少，它都 某处 介于两个正方形的周长之间：大于内部的，小于外部的。
既然正方形是，嗯， 正方形我们很容易求出它们的周长：
- 外正方形（简单）：边长=1，因此周长=4
- 内正方形（不简单）：对角线为1（从上到下）。使用 勾股定理，边2 + 边2 = 1，因此边 = $\sqrt{1/2}$ 或边 = .7。那么周长为 .7 * 4 = 2.8。
我们可能不知道圆周率(pi)的具体值，但这个小东西在2.8和4之间乱窜。假设它在中点，或者 π = 3.4.
正方形逊色，八边形称霸
我们估计圆周率 pi = 3.4，但老实说，用尺子和绳子量可能更好。为什么我们的猜测这么差？
正方形很笨重它们与圆不太匹配，间隙导致了松散的、充满误差的计算。但是，增加边数（也许使用传说中的八边形(octagon)）可能会给我们更紧密的拟合和更好的猜测（图片来源):
酷！随着我们增加边数，我们越来越接近圆的形状。
那么，八边形的周长是多少？我不确定我 学过那个公式与此同时，我们可以用16边形和32边形来获得更好的猜测。它们的周长又是多少呢？
哎呀，这些都是难题。幸运的是，阿基米德用了 创造性三角学 设计出当边数加倍时计算形状周长的公式：
内边长： 内部的一个线段（例如正方形的一边）是 sin(x/2)，其中 x 是跨过一边的角度。例如，内部正方形的一边是 sin(90/2) = sin(45) ~ .7。那么整个周长就是 4 * .7 = 2.8，和我们之前得到的相同。
外边长： 外边界的一个片段是 tan(x/2)，其中 x 是跨越一条边的角度。因此，外边界周长的一个片段是 tan(45) = 1，总周长为 4。
简洁——我们得到了一个简单的公式！增加更多边会使角度变小：
- 正方形的内周长为 4 * sin(90/2)。
- 八边形有八个45度角，内周长为 8 * sin(45/2)。
试试看——正方形（边数=4）有 91% 的准确度，而八边形（边数=8）则跳到了 98%！
但有一个问题：阿基米德没有带“sin”按钮的计算器！相反，他使用三角恒等式来 重写正弦和正切 用它们的前一个值表示：
新外边长（调和平均值）：
新内边长（几何平均值）：
这些公式只使用算术——不需要三角函数。由于我们从已知数字如 $\sqrt{2}$ 和 1 开始，我们可以重复应用这个公式来增加边数，从而得到更好的圆周率近似值。
顺便说一句，那些 特殊方法 出现在奇怪的地方，不是吗？我没有一个很好的 直观的 对所涉三角恒等式的理解，所以我们改天再解决这个问题。
推导公式
从 4 条边（一个正方形）开始，我们逐步得到更好的圆周率（下载电子表格):
每一轮，我们将边数加倍（4, 8, 16, 32, 64），并缩小圆周率可能隐藏的范围。我们假设圆周率在内外边界之间的中点。
在 3 步（32 边）之后，我们已经有了 99.9% 准确度。在 7 步（512 边）之后，我们得到了备受赞誉的“五个九”。而在 17 步，即五十万条边之后， 我们对圆周率的猜测达到了Excel的精度极限。这技术不错，阿基米德！
不幸的是，在公元前 250 年小数还没有被发明， 公元前， 更不用说电子表格了。所以阿基米德不得不使用这些公式辛苦劳作， 分数。他从六边形（6 条边）开始，然后继续 12、24、48、96 直到他受够了（有没有试过只用分数来开平方根？）。他使用 96 条边的形状得到的圆周率最终估计值是：
中点将圆周率放在 3.14185，准确度超过 99.9%。相当不错！
如果你喜欢分数，那神秘对称的 355/113 是一个 极其精确（99.99999%） 圆周率的近似值，并且是人类近千年内最好的近似值。
有些人用22/7表示圆周率，但现在你可以调整单片眼镜，低声笑道：“天哪，22/7不过是阿基米德2000年前发现的上限！”甚至还有 更好的公式 其他内容。
微积分在哪里？
阿基米德并没有“做微积分”，但他为微积分的发展奠定了基础：从粗糙的模型（用正方形模拟圆）开始，然后逐步改进。
微积分围绕这些主题展开：
- 我们不知道答案，但我们有一个猜测。 我们对圆周率(pi)有一个猜测：在2.8到4之间。微积分(Calculus)有许多概念，如泰勒级数(Taylor Series)，可以用来构建不同精度的猜测。
- 让我们的猜测更好。阿基米德(Archimedes)发现增加边数可以得到更好的估计。有许多数值方法可以反复改进公式。例如，计算机可以从一个粗略的猜测开始， 平方根 并使其更好（比从一开始就找到最接近的答案更快）。
- 你可以逃跑，但无法躲藏。我们不知道圆周率确切的值，但将其限制在两个边界之间。当我们收紧外部极限时（双关语），我们知道圆周率就藏在里面某处。这正式被称为 夹逼定理.
- 圆周率是一个无法触及的理想。 寻找圆周率是一个永无止境的过程。当我们看到π时，它实际上意味着“你想要完美？那很好——每个人都想要点什么。只需开始努力，当圆周率足够好时就停止。”
我再重复一遍： 足够好就是好一个96边形的形状对阿基米德需要建造的任何东西来说都足够精确。
“近似就够”的想法很奇怪——数学难道不应该 精确的吗？数学是一种 描述世界的模型。如果宇宙和我们的测量工具是模糊的，那么我们的方程就不必精确到刀刃。
人生启示
即使数学也可以蕴含人生哲理。 有时候最好的是好的敌人完美主义（“我需要圆周率的精确值！”）可能会阻碍找到良好、可用的结果。
无论是做估算还是编写软件，或许你可以 从粗糙的版本开始，并随着时间的推移不断改进，而不必担心完美的模型（对阿基米德来说这很奏效！）。大部分精度可能来自初始阶段，后续改进可能投入大而收益小（ 帕累托法则 在起作用）。
具有讽刺意味的是，这里看到的“粗糙”技术导致了微积分，而微积分又带来了更好的圆周率公式。
数学启示
微积分常常缺乏直观的基础——我们可以数苹果来检验算术，但很难思考那些被反复改进的抽象方程。
阿基米德发现圆周率是我们工具箱中一个生动具体的例子。就像几何学完善我们对线和角的直觉一样，微积分定义了随时间不断改进的方程的规则。这样的例子有助于以直觉为起点，而不是在真空中学习新概念。
稍后，我们将讨论数字“足够接近”意味着什么。只需记住，96边形对阿基米德来说已经足够，而50万边形对Excel来说也足够。我们都有自己的极限。