微积分的例子很枯燥。“嘿，孩子们！想知道运动粒子的距离、速度和加速度吗？不想？那你们也得在这待50分钟！”
我热爱物理，但它并不是最好的引子。它让我们一直等到科学课（九年级？），更糟糕的是，它暗示微积分是“科学课的数学”。难道我们不能向五年级学生介绍这些主题，并将其与日常生活联系起来吗？
我认为可以。所以目标是：
- 使用钱（而非物理）来引入微积分概念
- 探索模式如何关联（银行账户与薪水；薪水与涨薪）
- 利用直觉探索潜在问题（我们能不断深入模式吗？）
戴上你的数学头盔，准备深入探索。
钱钱钱
我最喜欢的微积分例子是银行账户、工资和加薪之间的关系。
这是乔（“嗨，乔”）。你这个狡猾的无赖，偷偷溜进乔的电脑，每周监视他的银行账户。你能发现什么？
哎呀。显然，没什么大事——乔没赚到钱。如果你看到这个呢？
很简单：乔在赚钱。赚了多少？通过快速减法，我们可以算出他的周薪。原来乔每周稳定赚100美元。
- 关键想法：如果我知道你的银行账户，我就知道你的薪水
银行账户依赖于 依赖 工资——它因周薪而改变。
涨薪
深入一层：知道工资后，我们还能发现什么？嗯，工资是另一种待分析的模式——我们可以看到它是否变化！也就是说，我们可以判断乔的工资是否每周都在变化（他在加薪吗？）。
过程：
- 查看乔的每周银行账户
- 计算银行账户的差值来获取周薪
- 计算薪水的差值来获取周涨薪（如果有的话）
在第一个例子中（100美元/周），显然没有加薪（抱歉，乔）。主要思想是“取差值”来分析第一个模式（从银行账户到工资），然后“再次取差值”来找到另一个模式（从工资到加薪）。
逆向思维
我们刚才“向下”走，从银行账户到工资。反过来行得通吗：知道工资，我能预测银行账户吗？
你在犹豫，我看得出来。是的，知道乔每周赚100美元很好。但是……我们不需要知道起始账户余额吗？
是的！起始 变化 他的账户（工资）不够——从哪里开始的？为简单起见（即你在作业问题中看到的），我们通常假设乔从\$0开始。但是，如果你实际进行预测，你会想知道初始条件（“+ C”）。
更复杂的模式
假设乔的账户增长如下：100, 300, 600, 1000, 1500...
发生了什么？是随机的吗？嗯，我们可以逐周相减得到这个：
有趣——乔的收入每周都在变化。我们再逐周求差得到这个：
是的，乔每周稳定加薪\$100。让我们放开手脚，在同一张图表上绘制它们：
一种思考方式是：乔每周加薪，这改变了他的工资，进而改变了他的银行账户。随着加薪继续出现，他的工资持续增加，银行账户也在上升。你几乎可以认为加薪在“推高”工资，而工资又在“推高”银行账户。
那么...微积分在哪里？
乔任何一周的银行账户公式是什么？嗯，它是到那个时间点为止他的工资之和：
100 + 200 + 300 + 400... = 100 * n * (n + 1)/2
公式 对一系列数字求和 (1 + 2 + 3 + 4...) 非常接近 n^2/2，并且随着步数增加而越来越接近。
这是我们的第一个“微积分”关系：
- 固定涨薪（每周100美元）导致...
- 薪水线性增长（100, 200, 300, 400）导致...
- 银行账户二次增长（something * n^2）（100, 300, 600, 1000... 你会看到曲线！）
现在，为什么它大约是 1/2 * n2 而不是 n2？一种直觉：工资的线性增长（100, 200, 300）给出了一个三角形。三角形的面积代表到目前为止的所有付款，面积是 1/2 * 底 * 高。底是 n（周数），高（收入）是 100 * n。
几何论证在更高维度中变得更加困难——仅仅因为我们 可以 用加法算出 2*100 并不意味着这是最简单的方法。微积分给了我们在模式之间跳跃的规则（求导数和积分）。
探索要点
我们对银行账户、工资和加薪的理解让我们更深入地探索。
我们能算出第1周到第10周的总收入吗？
当然！有两种方法：我们可以把每周的收入加起来（第1周工资 + 第2周工资 + 第3周工资...）或者直接减去银行账户（第10周银行账户 - 第1周银行账户）。这个想法有一个响亮的名字：微积分基本定理！
我们能否继续“向下”（求导）深入到涨薪之外？
好吧，为什么不呢？如果加薪是\$100/周，我们再求一次差就会看到它下降到0（没有“加薪的加薪”，即加薪是恒定的）。但是，我们可以想象加薪本身在增加的情况（第1周加薪=100，第2周加薪=200）。利用我们的直觉：如果“加薪的加薪”是常数，那么加薪是线性的（某物 * n），收入是二次的（某物 * n2)，银行账户是三次的（某物 * n3）。是的，这是真的！
导数(Derivative)可以无限进行下去吗？
没错。也许这种联系是：银行账户 => 工资 => 涨薪 => 通货膨胀 => 农夫乔的牛的产奶量 => 乔每周喂牛的量。很多模式一旦我们找到根本原因，就会“不再有导数”。但某些有趣的模式，比如指数增长，却有无穷多个组成部分！你有利息，利息又生利息，利息再生利息……永无止境！你永远找不到银行账户的单一“根本原因”，因为有无穷多个组成部分在其中（相当迷幻）。
如果涨薪变成负数会怎样？
有趣的问题。当涨薪变为负数时，他的工资会开始降低。但是，只要工资为正，银行账户就会继续增长！毕竟，每周从200美元降到100美元，虽然对你不好，但仍然有助于你的银行账户。最终，负的涨薪会压倒工资，使其变为负值，这意味着乔现在在付钱给雇主。但在那之前，乔的银行账户一直在增长。
我们能多快检查出差异？
假设我们测量的是一个股票投资组合，而不是银行账户。我们可能需要对工资和账户余额进行逐秒建模。想法是以足够短的时间间隔进行测量，以获得我们需要的细节——微积分的一个主要方面是决定什么样的“极限”足以说“好了，这对我来说足够精确了！”。
你通常看到的微积分公式（x 的积分等于 1/2 * x^2）与“离散”公式（1 到 n 的和等于 1/2 * n * (n + 1)）不同，因为离散情况使用的是“块状”区间。
关键要点
我为什么在意所用的类比？传统的“距离、速度、加速度”不会引出正确的问题。加速度的下一个导数是什么？（它叫“急动度”，很少使用）。这样一个字面的例子就像让孩子们认为乘法只是用来求面积，并且一次只能对两个数使用。
以下是关键点：
- 微积分帮助我们找出相关模式（银行账户、薪水、涨薪）
- “导数”是“向下”（逐周变化找出你的薪水）
- “积分”是“向上”（累加薪水得到银行账户）
- 我们可以找出模式的公式（给定银行账户，预测薪水）或者得到一个具体值（第三周的薪水是多少？）
- 微积分在硬科学之外也很有用。如果你有一个模式或公式（生产率、人口规模、 GDP 国家面积）并想研究其行为，微积分就是你的工具。
- 教科书式的微积分涉及记忆求导和积分的规则。学习基础知识（x^n, e, ln, sin, cos），其余的交给机器。我们的大脑应该更好地用于学习如何将我们的想法翻译成数学语言。
在我的幻想世界里，导数和积分只是两个日常概念。它们是对公式“能做的事情”，就像加法和减法是对数字“能做的事情”一样。
“嘿，孩子们，我们用加法求总质量（质量1 + 质量2 = 质量3）。而要找出我们的位置如何变化，我们用导数。”
“嗯——加法就是如何组合东西。是啊，你用导数来看你的位置如何变化。还能做什么别的呢？”
人总是可以做梦的。快乐数学。
附注： 想要更多吗？
- 我还有另一个 微积分(Calculus)的视觉入门 用形状来表示
- 学会将积分视为 更好的乘法