让我们通过简化微积分(Calculus)中的概念来练习抽象能力。
上次，我们看到了如何 抽象简化概念.
在去除足够多的细节后，一张狮子的照片变成了数量的概念（其中 n 在这种情况下恰好是 3）。
让我们将这个思路应用到一个像 $f(x) = x^2$ 这样的函数(Function)上。它简化的本质是什么？
以下是我在梳理这个想法时的第一反应：
抽象 1：多种形状
首先，看几个 $x^2$ 的表示。常见的老套说法是它代表边长为 x 的正方形，但我们可以更有创意。一个边长为 $\frac{1}{2}x$ 和 $2x$ 的矩形怎么样？圆的一部分呢？（如果 $\text{area} = \pi r^2$ 那么 $\frac{1}{\pi}$（32%）应该给我们留下 $r^2$。）
抽象 2：检视具体的变化
接下来，看看我们的每个形状所发生的变化。正方形每条边都加上了相等的长度。矩形每条边都加上了“长而细”和“短而胖”的部分。（这个 角落可被忽略 暂时不管。）
圆的变化最简单，只是加上了一小段弧。
抽象 3：让变化一般化
就像上面的狮子场景，我们对每个变化都有独特的表示（“三个狮子图标”）。让我们通过找到一种通用格式，把这些变化变得通用（三条线）。
在这里，我们把每个变化“熔化”，直到它看起来像一条直线。因为正方形、矩形和圆都表示 $x^2$，同一条线可以描述它们经历的变化。妙啊！
现在这算是相当不错的抽象了，我们继续：
抽象化 4：分离这条线
橙色的“变化线”实际上是起始位置和结束位置之间的一个过渡。如果我们把起点和终点表示为蓝点，线的高度就是它们之间变化的量。
注意我们如何也画出了一条斜线：输入变化（蓝线）和输出变化（橙线）描绘出了变化率(Rate of Change)（绿线）。
抽象化 5：展示每一个状态和角度
与其选择特定的起点和终点位置，不如画出图像 每一个 位置（蓝色曲线）和 每一个 变化率（每一点的绿线）。
蓝色曲线实际上 生成 就是绿线：在任意一点，我们都可以画出切线，并看到指向相邻点的“变化角度”。
数字/角度抽象(Number/Angle Abstraction)
这正是让我兴奋的地方。在图像上，我们习惯于字面化的表示：我们需要更长的线来表示更大的变化。但一个角度（高度与宽度的某种比例）却能在同样大小的空间里表示每一个数！
0:1 是 0 度
1:1 是 45 度
2:1 是 63.4 度 ($\arctan(2) = 63.4$)
100:1 是 89.4 度 ($\arctan(100) = 89.4$)
通过使用角度，我们把数轴卷曲成了一种能放进任何空间的形式。即便是像 10,000,000,000 这样巨大的数，也能用和“1”同样的书写代价来表示。更大的数一定要占据更多空间吗？
我们有了一个干净的抽象： 曲线展示了每一种可能的情形，而角度量化了变化率(Rate of Change)。在某种意义上，曲线在每一点都“写下”了它自己的变化率。
哇哦。也许我们在课上讲过这个，但我直到尝试把每一步抽象化后才这样去理解它。
这是对一种有机的“顿悟发现”技巧的一瞥：从一个具体的想法开始，不断泛化，看看会浮现出什么洞见。
数学愉快。