泰勒级数(Taylor Series)的直观理解（DNA 类比）—

你的身体有一个奇特的特性：你可以从单个细胞中获取关于该有机体的信息。整个从单个细胞中了解有机体。挑一个细胞，潜入细胞核，提取DNA。现在你就可以从那个微小的样本中重新培育出整个生物。

这里有一个数学类比。取一个函数，选定一个具体点，然后深入进去。你可以从一个点中提取足够的数据来重建整个函数。哇，就像从一帧画面重新制作整部电影一样。

泰勒级数(Taylor Series)发现了函数背后的"数学DNA"，让我们能够从单个数据点重建它。让我们看看它是如何工作的。

从一点提取信息

给定一个函数如$f(x) = x^2$，我们可以在单个位置发现什么？

通常我们期望计算一个单一的值，比如$f(4) = 16$。但表面之下还有更多：

$f(x)$ = 函数在点$x$处的值
$f'(x)$ = 一阶导数，表示函数变化的速度（速度）
$f''(x)$ = 二阶导数，表示变化变化的速度（加速度）
$f'''(x)$ = 三阶导数，表示变化变化的变化的速度（加速度的加速度）
依此类推

研究一个点会揭示关于行为的多个（可能是无限的）信息片段。（有些函数在一个点上有无穷多的数据（导数(derivative)）。）

那么，有了所有这些信息，我们该怎么做？当然是从一个细胞重新培育有机体！（（此处应有疯狂的笑声。）)

从一点生长函数

我们的计划是从一个起点开始生长出一个函数。但我们如何通用地描述任意函数呢？

顿悟时刻：想象任何函数，其核心都是一个多项式（可能有无穷多项）：

$\displaystyle{f(x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3x^3 + \cdots}$

为了重建我们的函数，我们从固定点($c_0$)开始，并根据输入的值添加一系列其他项（如$c_1x$）。"DNA"就是精确描述我们函数的$c_0, c_1, c_2, c_3$这些值。

好了，我们有了一个通用的"函数格式"。但如何找到特定函数的系数，比如 sin(x) （单位圆上角度x的高度）？如何提取它的DNA？

是时候见证0的魔力了。

让我们从代入$x=0$处的函数值开始。这样做，我们得到：

$\displaystyle{f(0) = c_0 + 0 + 0 + 0 + \cdots = c_0}$

除了$c_0$之外所有项都消失了，这很合理：我们蓝图的起点应该是$f(0)$。对于$f(x) = \sin(x)$，我们可以算出$c_0 = \sin(0) = 0$。我们得到了第一段DNA！

获取更多DNA

既然我们知道$c_0$，如何在这个方程中分离出$c_1$？

$\displaystyle{f(x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3x^3 + \cdots}$

嗯。有几个想法：

我们可以令 $x = 1$ 吗？这样得到 $f(1) = c_0 + c_1(1) + c_2(1^2) + c_3(1^3) + \cdots$。虽然我们知道 $c_0$，但其他常数都加在一起了，无法单独分离出 $c_1$。
如果我们除以 $x$ 会怎样？得到：

$\displaystyle{\frac{f(x)}{x} = \frac{c_0}{x} + c_1 + c_2 x + c_3x^2 + \cdots}$

然后我们可以令 $x=0$ 让其他项消失……对吗？这个想法不错，但问题是我们现在除以了零。

嗯。这个方法已经很接近了。我们怎样才能几乎除以零？使用导数!

如果我们对 $f(x)$ 的蓝图求导，得到：

$\displaystyle{f'(x) = (c_0)' + (c_1 x)' + (c_2 x^2)' + (c_3x^3)' + \cdots}$

$\displaystyle{f'(x) = 0 + c_1 + (2\cdot c_2 x) + (3\cdot c_3x^2) + \cdots}$

每个幂次都减 1，而常数项 $c_0$ 变为零。这简直太方便了。

现在我们可以用之前的 $x=0$ 技巧来分离出 $c_1$：

$\displaystyle{f'(0) = 0 + c_1 + (0) + (0) + \cdots = c_1}$

在我们的例子中，$\sin'(x) = \cos(x)$，所以我们计算：$f'(0) = \sin'(0) = \cos(0) = 1 = c_1$

耶，又多了一点点 DNA！这就是泰勒级数的魔力：通过反复求导并令 $x = 0$，我们可以提取出多项式的 DNA。

我们再来一轮：

$\displaystyle{f''(x) = 0 + 0 + (2\cdot c_2) + (3\cdot 2 c_3x^1) + \cdots}$

取二阶导数后，幂次再次降低。前两项（$c_0$ 和 $c_1x$）消失了，我们可以再次令 $x=0$ 来分离出 $c_2$：

$\displaystyle{f''(0) = 0 + 0 + 2\cdot c_2 + 0 + \cdots}$

对于我们的正弦例子，$\sin'' = -\sin$，所以：

$\displaystyle{f''(0) = \sin''(0) = -\sin(0) = 0 = 2\cdot c_2}$

即 $c_2 = 0$。

随着我们不断求导，我们执行了更多乘法，每个项前面会累积一个阶乘（1!，2!，3!）。

函数在点x=0附近的泰勒级数为：

$\displaystyle{f(x) = f(0) + f'(0) x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots}$

（严格来说，在点 $x=0$ 附近的泰勒级数称为麦克劳林级数。）

从任意点a出发的广义泰勒级数为：

$\displaystyle{f(x) = f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots }$

思路是一样的。我们不再使用常规蓝图，而是使用：

$\displaystyle{f(x) = c_0 + c_1 (x - a) + c_2 (x-a)^2 + c_3(x-a)^3 + \cdots}$

因为我们是从 $f(a)$ 展开，所以 $f(a) = c_0 + 0 + 0 + \dots = c_0$。其他系数可以通过求导并令 $x = a$（而不是 $x=0$）来提取。

示例：sin(x)的泰勒级数

将导数代入上述公式，得到 $\sin(x)$ 在 $x = 0$ 附近的泰勒级数：

$\displaystyle{\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots}$

下面是它的样子：

几点说明：

1) 正弦函数有无限多项

正弦(Sine)是一个无穷波，正如你所猜测的，它需要无穷多项才能持续下去。更简单的函数（如 $f(x) = x^2 + 3$）已经处于它们的“多项式格式”中，不需要无穷阶导数来维持DNA。

2) 正弦函数每隔一项缺失

如果我们反复对正弦在 x = 0 处求导，得到：

$\displaystyle{\sin(0) \xrightarrow{\text{derive}} \cos(0) \xrightarrow{\text{derive}} -\sin(0) \xrightarrow{\text{derive}} -\cos(0) \xrightarrow{\text{derive}} \sin(0) \dots}$

值为：

$\displaystyle{0, 1, 0, -1, \dots}$

忽略除以阶乘，我们得到模式：

$\displaystyle{(0) + (1)x^1 + (0)x^2 + (-1)x^3 + (0)x^4 + (-1)x^5+ \dots }$

因此正弦的DNA类似于 [0, 1, 0, -1] 重复。

3) 不同的起始位置有不同的DNA

作为趣味，这里是 $\sin(x)$ 在 $x =\pi$ 处的泰勒级数(Taylor series)（链接):

几点说明：

现在DNA类似于 [0, -1, 0, 1]。循环类似，但由于我们从 $x=\pi$ 开始，起始值发生了变化。
写成计算后的数字，分母 1, 6, 120, 5040 看起来很奇怪。但它们只是每隔一个阶乘：1! = 1, 3! = 6, 5! =120, 7! = 5040。一般来说，泰勒级数的分母可能很复杂。
$O(x^{12})$ 项表示存在其他阶（幂次）为 $x^{12}$ 及更高的分量。因为 $\sin(x)$ 有无穷多阶导数，所以有无穷多项，计算机必须在某处截断。（今天你受够了泰勒展开(Tayloring)了，伙计。)

应用：函数逼近

泰勒级数的一个常见用途是快速近似一个函数。如果你想要一只蝌蚪，你需要整只青蛙的DNA吗？

泰勒级数有一系列项，通常按重要性排序：

$\displaystyle{f(x) = f(0) + f'(0) x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots}$

$c_0 = f(0)$，常数项，是函数在该点的精确值
$c_1 = f'(0)x$，线性项，告诉我们要从该点以什么速度移动
$c_2= \frac{f''(0)}{2!}x^2 $，二次项，告诉我们从该点加速离开的程度
依此类推

如果我们只需要预测点周围几个瞬间的情况，初始位置和速度可能就足够了：

$\displaystyle{\text{Linear model} = \text{initial point} + \text{velocity effect} = f(0) + f'(0)x}$

如果我们要追踪更长时间，那么加速度(Acceleration)就变得重要了：

$\displaystyle{\text{Quadratic model} = \text{initial point} + \text{velocity effect} + \text{acceleration effect}}$ $\displaystyle{ = f(0) + f'(0)x + \frac{1}{2}f''(0)x^2}$

随着我们远离起始点，我们需要更多项来保持预测的准确性。例如，线性模型 $\sin(x) = x$ 在 $x=0$ 附近是一个好的预测。随着我们走得更远，我们需要考虑更多项。

类似地，$e^x \sim 1 + x$ 对于小利率效果很好：1% 离散利率在一个时间周期后是 1.01，1% 连续利率比 1.01 略高。随着时间的推移，线性模型落后了，因为它忽略了复利效应(Compounding Effects)。

应用：函数比较

DNA的一个常见应用是什么？亲子鉴定(Paternity Tests)。

如果我们有几个函数，可以比较它们的泰勒级数，看看它们是否相关。

以下是 $\sin(x)$、$\cos(x)$ 和 $e^x$ 的展开式：

$\displaystyle{ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots \xrightarrow{DNA} [0, 1, 0 -1, \dots] }$

$\displaystyle{ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots \xrightarrow{DNA} [1, 0, -1, 0, \dots] }$

$\displaystyle{ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots \xrightarrow{DNA} [1, 1, 1, 1, \dots] }$

这些序列有家族相似性，对吧？干净的 $x$ 的幂除以阶乘？

一个问题是 $e^x$ 的序列项都是正的，而正弦和余弦交替符号。我们如何将它们联系起来？

欧拉(Euler)的伟大洞察在于意识到一个虚数(imaginary number) 可以将符号从正号改为负号：

${\begin{aligned}e^{ix}&=1+ix+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}}+{\frac {(ix)^{6}}{6!}}+{\frac {(ix)^{7}}{7!}}+{\frac {(ix)^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {ix^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {ix^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {ix^{7}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\[8pt]&=\cos x+i\sin x.\end{aligned}}$