如何使用微积分(Calculus)将 1 加到 100

我们找到的公式是：

$\displaystyle{\text{Sum from 1 to n} = \frac{n(n+1)}{2}}$

$\displaystyle{\text{Sum from 1 to 100} = \frac{100(100+1)}{2} = (50)(101) = 5050}$

看起来常规的算术、代数、几何甚至统计学都能帮助我们解出这个方程。

但微积分呢？这难道不是用核弹来解决一场枪战吗？

让我们找出答案。

要相加的序列（1 2 3 4 5 6 7 8 9 10...）看起来很像 $f(x) = x$。在x轴上的每个位置，我们放入一个数字，得到相同的输出。

直观地说，积分就是“重复累加一堆东西”——看起来我们似乎可以利用它。根据微积分的规则（或者使用 Wolfram Alpha）我们得到：

$\displaystyle{ \int x = \frac{1}{2} x^2 }$

直观地：按照 $f(x) = x$ 的模式累加，你会得到 $\frac{1}{2} x^2$。

好吧，让我们看看：从1加到100的实际结果是5050。但使用微积分方程我们得到：

$\displaystyle{ \frac{1}{2} x^2 = \frac{1}{2}100^2 = \frac{10,000}{2} = 5000 }$

哎呀：有差异。这是怎么回事？

微积分处理连续模式，而我们用的是离散模式.

实际情况是这样的：

微积分是为了测量 平滑变化的函数而构建的，比如直线、抛物线、圆等。我们的模式是一个跳跃的楼梯（从1直接跳到2，从未经过1.5、1.1或1.0001）。在数学课上，书本会强调分析函数是否“连续”，即变化是否足够平滑以使微积分生效。

因此，当模式平滑变化时，微积分效果很好。如果模式突然变化，微积分只能给出近似答案。那么计划是什么？

在平滑部分尽可能使用微积分，并对跳跃部分的误差进行调整。

直线下方的面积就是积分。我们有一些在直线上方的三角形需要包含进来。

所以我们的最终公式应该是

$\displaystyle{\text{Integral} + \text{Adjustment} = \frac{1}{2} x^2 + \frac{x}{2}}$

啊哈！学习微积分并不意味着我们要到处寻找正式的微积分问题。

不。考虑你的场景（从1加到100），并认识到微积分能带来什么：在平滑变化的函数中找到模式。在平滑部分使用微积分，并调整（或忽略）其他部分。

（讽刺的是，微积分的工作原理是对平滑函数进行跳跃近似，实际上在底层也是“跳跃”的。如果你打算处理跳跃模式，请使用离散微积分.)

示例：求前 n 个平方数之和

让我们进一步探讨：你猜想前100个平方数的和是多少？

$\displaystyle{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + 100^2}$

嗯，要得到精确公式很棘手。但也许我们不需要精确数量，只需要一个估计。

使用微积分，我们会说：这个模式不是连续的，但它看起来像 $f(x) = x^2$。让我们对x^2从0到100进行积分。

$\displaystyle{ \int x^2 = \frac{1}{3} x^3 }$

不定积分是 $\frac{1}{3} x^3 $，这是我们拥有的累计总量。从0到100，它会是

$\displaystyle{ \frac{1}{3}100^3 = \frac{1,000,000}{3} \sim 333,333 }$

这是我们不用计算器的猜测。实际答案是多少？338350。

我们有多接近？99.9%。对于一分钟内手算出来的结果来说，不错了！

真正内化微积分(Calculus)意味着它有助于你数学理解的其他方面，甚至是一般的加法问题。

数学愉快。

附注：为了继续培养你的直觉，请查看微积分指南.