极限(Limit)，作为微积分(Calculus)的基础，看起来如此人为且狡猾：“令 x趋近0，但又不真的到达，然而我们会表现得就像它已经在那儿了…… ”呃。
以下是我学会享受它们的方式：
- 什么是极限？对我们未观测到的点的最佳预测。
- 我们如何做出预测？放大到邻近的点。如果无论我们放大多少，我们的预测总是处于邻近点之间，那就是我们的估计值。
- 为什么我们需要极限？数学中有“黑洞”场景（除以零、趋于无穷(Infinity)），而当无法直接计算结果时，极限(Limit)给我们一个估计值。
- 我们如何知道我们是对的？我们不需要。我们的预测，即极限(Limit)，并不要求与现实相符。但对于大多数自然现象来说，它似乎确实如此。
极限让我们问“如果呢？”。如果我们能直接观察一个函数(Function)在某个值处（比如 x=0，或 x 趋于无穷(Infinity)），我们就不需要预测。极限好奇地想：“如果你能看到一切除了在单一值处，你认为那里是什么？”
当我们的预测是一致的，并且我们看得越近越精确时，我们对其有信心。而且如果函数表现得平滑，就像大多数现实世界函数那样，极限就是那个缺失点必定所在之处。
关键类比：预测一个足球
想象你正在观看一段足球比赛。不幸的是，连接断断续续：
哎呀！我们错过了 4:00 时发生的事。即便如此，你对球的位置的预测是什么？
简单。只需抓取相邻的瞬间（3:59 和 4:01）并预测球位于它们之间的某处。
而且……奏效了！现实世界的物体不会瞬间移动；它们沿着从 A 到 B 的路径经过中间位置。我们的预测是“在 4:00，球位于其在 3:59 和 4:01 时的位置之间”。不错。
用慢动作摄像机，我们甚至可以说“在 4:00，球位于其在 3:59.999 和 4:00.001 时的位置之间”。
我们的预测感觉很可靠。我们能说清楚为什么吗？
预测在越来越高的缩放级别上一致。想象 3:59-4:01 的范围是 9.9-10.1 米，但放大到 3:59.999-4:00.001 后，范围扩大到 9-12 米。哎呀！放大应当收窄我们的估计，而不是让它更糟！并非每个缩放级别都需要准确（想象每 5 分钟看一次比赛），但要感到自信，必须存在某个阈值，使得后续的缩放只会加强我们的范围估计。
前后结果一致。想象在 3:59 球在 10 米处，向右滚动，而在 4:01 它在 50 米处，向左滚动。发生了什么？我们有一个突然的跳跃（摄像机切换？）而现在我们无法确定球的位置。哪一个在 4:00 拥有球？这种模糊性摧毁了我们做出自信预测的能力。
有了这些要求，我们或许可以说“在 4:00，球在 10 米处。这个估计被我们的初始缩放（3:59-4:01，估计 9.9 到 10.1 米）以及接下来的一个（3:59.999-4:00.001，估计 9.999 到 10.001 米）所确认”。
极限(Limit)是一种做出自信预测的策略。
探索直觉
先别搬出数学定义。在现实世界中，有哪些东西我们想要准确预测却不易测量？
圆的周长是多少？
“实验性”地求圆周率(pi)很难：拿出绳子和尺子？
我们无法测量一个似乎有无限多条边的形状，但我们可以猜想“是否存在一个对 pi 的预测值，在我们不断增加边数时始终准确？”
阿基米德弄清楚pi 有一个范围，介于
使用类似这样的过程：
这是微积分(Calculus)的前身：他确定 pi 是一个始终介于他不断缩小的边界之间的数。如今，我们拥有现代的圆周率的极限定义.
完全连续的增长是什么样子的？
e，我的其中一个最喜欢的数字，可以这样定义：
我们无法轻易测量无穷复利增长的结果。但是，如果我们可以做出预测，是否存在一个始终准确的单一速率？它似乎约为 2.71828……
我们能用简单形状来度量复杂形状吗？
圆和曲线难以测量，但矩形很容易。如果我们可以使用无穷多个矩形来模拟曲线面积，我们能否得到一个经得起无穷检验的结果？（也许我们可以求圆的面积.)
我们能求某一瞬间的速度吗？
速度很有趣：它需要前和后的测量（行进距离 / 所花时间），但我们难道不能在单个瞬间拥有速度吗？嗯。
极限(Limit)有助于回答这个难题：当你前往相邻瞬间时预测你的速度。然后问这个“不可能的问题”：当到相邻瞬间的间隔为零时，你预测的速度是多少？
注意：极限(Limit)并非万能灵药。我们不能假定极限(Limit)存在，也并非每个问题都有答案。例如：整数的数量是偶数还是奇数？这个数量是无穷(Infinity)的，并且随着我们数得越来越大，“偶数”和“奇数”的预测都无法保持准确。不存在有充分支持的预测。
对于 pi、e 和微积分(Calculus)的基础，聪明的头脑做了证明，确定“是的，我们预测的值越仔细看就越准确。”现在我明白为什么极限为何如此重要：它们是我们预测上的批准印章。
数学：极限的形式化定义
极限是有充分支持的预测。以下是官方定义：
means for all real ε > 0 there exists a real δ > 0 such that for all x with 0 < |x − c| < δ, we have |f(x) − L| < ε
让我们把它变得可读：
| 数学英语 | 人类英语 |
|---|---|
|
当我们“强烈预测” f(c) = L 时，我们的意思是 |
| 对所有实数 ε > 0 | 对于我们想要的任意误差幅度（+/- .1 米） |
| 存在实数 δ > 0 | 存在一个缩放级别（+/- .1 秒） |
| 使得对所有满足 0 < |x − c| < δ 的 x，我们有 |f(x) − L| < ε | 预测在该误差范围内保持准确的地方 |
这里有一些细微之处：
- 缩放级别（delta，δ）是函数(Function)的输入，即视频中的时间
- 误差范围（epsilon，ε）是 throughout the entire zoom level 中函数(Function)输出（球的位置）与我们预测的最大可能偏差
- 绝对值条件（0 < |x − c| < δ）意味着正负偏移都必须成立，并且我们跳过了黑洞本身（当 |x – c| = 0 时）。
我们无法计算黑洞般的输入，但我们可以说“除了缺失的点，整个缩放级别都确认了预测 $f(c) = L$。”并且因为 $f(c) = L$ 对任意我们能找到的误差范围都成立，我们感到有信心。
我们会有多个预测吗？假设我们为 f(c) 预测了 L1 和 L2。它们之间存在某些差异（称之为 0.1），因此存在某个误差范围（0.01）能揭示更准确的一个。该范围内的每个函数输出都不可能同时处于两个预测的 0.01 之内。我们要么有一个单一的、无穷准确的预测，要么没有。
是的，我们可以卖弄一下，要求“左极限”（事件前的预测）和“右极限”（事件后的预测），但只有当它们一致时，我们才有一个真正的极限。
当函数始终与预测值匹配时，它是连续的（否则就是不连续的）：
微积分通常研究连续函数，玩着“我们在做预测，但只是因为我们知道它们会正确”的游戏。
数学：证明极限存在
我们已经具备了可靠预测的条件。问你“证明极限存在”的问题，是要求你为估计提供理由。
例如：证明在 x=2 处以下函数的极限(Limit)存在
第一项检查：我们甚至需要极限(Limit)吗？不幸的是，需要：直接代入“x=2”意味着我们会除以零。该死。
但直观上，我们看到相同的“零”(x – 2) 可以从分子和分母中约去。以下是对这支危险探戈的跳法：
- 假设 x 是任意位置除了2（它必须是！我们是从外部进行预测的。）
- 然后我们可以约去分子和分母中的 (x – 2)，因为它不为零。
- 剩下 f(x) = 2x + 1。这个函数(Function)可以在黑洞外部使用。
- 这个更简单的函数(Function)预测了什么？它预测 f(2) = 2*2 + 1 = 5。
所以 f(2) = 5 是我们的预测。但你看到狡猾之处了吗？我们假装 x 不是 2 [以约去 (x-2)]，然后在那个麻烦项消失后才代入 2！这样想：我们用了来自活动外的简单行为来预测棘手行为活动中.
我们可以证明这些花招给出了可靠的预测，并且 f(2) = 5 是无穷精确的。
对于任意精度阈值（ε），我们需要找出保持在该精度内的“缩放范围”（δ）。例如，我们能将估计值保持在 +/- 1.0 以内吗？
当然。我们需要找出
所以
换句话说，x 必须保持在距 2 的 0.5 范围内，才能维持初始的 1.0 精度要求。确实，当 x 在 1.5 和 2.5 之间时，f(x) 从 f(1.5) = 4 到 f(2.5) = 6，始终与我们的预测值 5 相差 +/- 1.0。
我们可以通过将上面的 1.0 替换为任意误差容限（ε）来推广。我们得到：
如果我们的缩放级别是“δ = 0.5 * ε”，我们将保持在原始误差内。如果误差是 1.0，我们需要缩放到 .5；如果是 0.1，我们需要缩放到 0.05。
这个简单的函数是一个方便的示例。其思路是从初始约束（|f(x) – L| < ε）开始，代入 f(x) 和 L，然后求解距黑洞点的距离（|x – c| < ?）。这通常是一道代数练习题。
有时你被要求直接求极限（代入 2 得到 f(2) = 5），其他时候你被要求证明极限存在，即费力做 epsilon-delta 代数。
翻转零与无穷
无穷(Infinity)，在极限(Limit)中使用时，意味着“无休止地增长”。符号 ∞ 并不比句子“无休止地增长”或“我的内裤库存正在减少”更像一个数。它们是概念，不是数字（就我们的数学水平而言，Aleph仅我个人而言）。
在极限(Limit)中使用 ∞ 时，我们是在问：“当 x 无休止地增长时，我们能否做出一个保持准确的预测？”。如果存在极限(Limit)，意味着无论我们看多远，预测值总是被证实。
但是，我仍然不喜欢无穷，因为我看不见它。但我能看见零。利用极限，你可以将
重写为
你可以耍点小聪明，定义 y = 1/x，替换公式中的项，然后使用
这样它又看起来像一个普通问题了！（评论区 Tim 注：极限(Limit)是从右侧来的，因为 x 是趋于正无穷的）。我更喜欢这种安排，因为我能看到我们正在收窄的位置（在画无穷版本时我们总是纸不够用）。
为什么极限不更常被使用？
想象一个小孩发现“在末尾加个零”能让数字变大 10 倍。有 5？写下“5”然后“0”即 50。有 100？变成 1000。以此类推。
他没搞清楚乘法为什么有效，为什么这条规则合理……但是，你得承认，他确实很会乘 10。当然，也有一些边界情况（0 会变成“00”吗？），但它运作得相当好。
微积分(Calculus)的规则是非正式地被发现的（以现代标准看）。Newton 推导出“x^3 的导数(Derivative)是 3x^2”而没有严格证明。然而引擎转动、飞机飞行都基于他非官方的成果。
微积分教学的错误在于制造像“你必须先懂极限™才能欣赏微积分”这样的路障，而显然微积分的发明者并不需要。我更倾向于这样的进程：
- 微积分(Calculus)提出看似不可能的问题：矩形何时能测量曲线？我们能检测瞬时变化吗？
- 极限(Limit)为回答“不可能”的问题提供了策略（“如果你能做出一个经得起无穷(Infinity)审视的预测，我们就认为它可行。”）
- 它们是一对绝佳的组合：微积分(Calculus)探索，极限(Limit)验证。我们记住用极限(Limit)验证过的结果的捷径（$\frac{d}{dx} x^3 = 3x^2$），就像我们记住用乘法验证过的规则的捷径一样（加个零表示乘 10）。但知道这些捷径为何合理仍然是件好事。
极限(Limit)不是检验不可能问题答案的唯一工具；无穷小(Infinitesimal)也行。关键是理解什么我们在尝试预测，然后学习做预测的规则。
数学愉快。