学习微积分(Calculus)的温和入门

我对微积分(Calculus)有一种爱恨交织的感情：它既展现了数学之美，也展现了数学教育的痛苦。

微积分以优雅而烧脑的方式将各个主题联系起来。我最贴切的类比是达尔文的进化论：一旦理解，你就会开始用生存的角度来看待自然。你会明白为什么药物会导致耐药菌（适者生存）。你知道为什么糖和脂肪尝起来是甜的（在匮乏时期鼓励摄入高热量食物）。一切都环环相扣。

微积分同样具有启发意义。这些公式难道不像是在某些方面互有关联吗？

它们确实有关联。但我们大多数人都是独立学习这些公式的。微积分(Calculus)让我们能从 $\text{circumference} = 2 \pi r$（周长 = 2πr）出发推导出其他公式——希腊人要是知道肯定会欣赏这一点。

不幸的是，微积分堪称数学教育弊端的缩影。大多数课程充斥着生搬硬套的例子、晦涩的证明，以及摧残我们直觉与热情的死记硬背。

事情本不该如此。

数学、艺术与思想

我从学校里学到了一件事：数学本身的难度不是问题，动力才是。具体来说，在……之下依然保持斗志

教师更关注发表论文/不发表就出局，而非教学
数学很难、无聊、冷门或“不是你的菜”这类自我实现的预言
教科书和课程更关心利润以及考试成绩，而非洞察力

《一个数学家的哀歌》[PDF]是一篇关于此问题的精彩文章，文中引起共鸣与许多人:

“……如果让我专门设计一种机制，以摧毁孩子天生的好奇心和他们对模式制作的热爱为目的，我不可能做得比现在正在做的更好——我根本没那种想象力，想不出那些构成当代数学教育的、毫无意义且摧残灵魂的点子。”

想象一下这样教美术：孩子们，幼儿园里不许用手指画画。相反，让我们来学习颜料化学、光的物理学以及眼睛的解剖学。经过12年这样的学习，如果孩子们（如今已是青少年）还没有讨厌美术，他们或许会开始自己涂涂画画。毕竟，他们已经具备了“严谨、可检验”的基础去欣赏艺术。对吧？

诗歌也是类似的。想象一下学习下面这句话（公式）：

This above all: to thine own self be true,
And it must follow, as the night the day,
Thou canst not then be false to any man.

— William Shakespeare, Hamlet

这是一种表达“做你自己”的优雅方式（如果这意味着不羁地写数学，那也无妨）。但如果这是数学课，我们就会去数音节、分析抑扬格五音步，并标出主语、动词和宾语。

数学和诗歌都是指向月亮的手指。别把手指当成了月亮。公式是达到目的的手段，一种表达数学真理的方式。

我们忘了数学是关于思想的，而不是机械地摆弄表达这些思想的公式。

好吧老兄，你有什么高见？

很暴躁，是吧？好吧，这是我不会做的事：重造现有的教科书。如果你需要答案立刻来应付那场大考，有很多网站, 课堂视频和20分钟冲刺可以帮你。

相反，让我们分享微积分的核心洞见。光有方程是不够的——我要的是让一切豁然开朗的“aha！”时刻。

形式化的数学语言只是一种交流方式。图表、动画，还有 plain talkin'（大白话）往往比满页的证明更能提供洞见。

但微积分太难了！

我认为任何人都能领会微积分(Calculus)的核心思想。我们不必成为作家也能欣赏莎士比亚。

如果你懂代数并对数学有普遍兴趣，它就在你够得着的地方。不久之前，读写还是专业抄写员的活儿。然而今天，这活儿一个10岁小孩就能干。为什么？

因为我们期待如此。期望在何为可能中扮演了巨大角色。所以预期微积分只是另一门学科。有些人会钻进细枝末节（那些作家/数学家）。但我们其余的人仍可以欣赏正在发生的事，并在此过程中扩展我们的大脑。

这取决于你想走多远。我很希望每个人都能理解微积分(Calculus)的核心概念并说出“whoa”。

那么微积分到底讲什么？

有些定义微积分为“研究极限(Limit)以及一个或多个变量(Variable)的函数(Function)的微分(Differentiation)和积分(Integration)的数学分支”。这没错，但对初学者没帮助。

这是我的看法：微积分对代数做的事，就像代数对算术做的事。

算术是关于摆弄数字（加法、乘法等）。
代数(Algebra)寻找数字之间的规律： $a^2 + b^2 = c^2$ 是一个著名的关系，描述直角三角形的边。代数(Algebra)找出整组数字——如果你知道 a 和 b，就能找到 c。
微积分(Calculus)寻找方程之间的规律：你能看到一个方程（$\text{circumference} = 2 \pi r$）如何关联到类似的一个（$\text{area} = \pi r^2$）。

利用微积分(Calculus)，我们可以提出各种各样的问题：

一个方程如何增长和收缩？如何随时间累积？
它何时达到最高/最低点？
我们如何使用不断变化的变量？（热量、运动、人口……）
还有非常多，非常多的内容！

代数(Algebra)与微积分(Calculus)是一对解决问题的搭档：微积分(Calculus)找出新方程，代数(Algebra)去求解它们。就像进化一样，微积分拓展了你对自然运作方式的理解。

请给个例子

我们来实际走一遍。假设我们知道周长(Circumference)的方程（$2 \pi r$）并想求面积(Area)。该怎么做？

要意识到，一个实心圆盘就像一套俄罗斯套娃。

这里有两种画圆盘(Disc)的方法：

画一个圆并把它填满
用粗记号笔画出一堆圆环

每种情况下“空间”（面积(Area)）的量应该是相同的，对吧？那么一个圆环(Ring)占用了多少空间？

嗯，最大的圆环(Ring)半径(Radius)为“r”，周长(Circumference)为 $2 \pi r$。随着圆环(Ring)变小，它们的周长(Circumference)也缩小，但始终保持 $2 \pi \cdot \text{current radius}$ 的模式。最后一个圆环(Ring)更像一个针尖，根本没有周长(Circumference)。

现在事情开始变得奇妙了。让我们把这些圆环展开并排成一排。发生了什么？

我们得到一堆线条，构成一个锯齿状三角形。但如果我们取更薄的圆环，那个三角形就会变得不那么锯齿状（后续文章会详述）。
一侧有最小的圆环(0)，另一侧有最大的圆环($2 \pi r$)
我们有半径从 0 到“r”的圆环。对于每个可能的半径(0 到 r)，我们只需将展开的圆环放在那个位置。
“圆环三角形”的总面积(Area) = $\frac{1}{2} \text{ base} \cdot \text{height} = \frac{1}{2} (r) (2 \pi r) = \pi r^2$，这就是面积公式！

哇塞！圆环(Ring)的总面积(Area) = 三角形的面积(Area) = 圆面的面积(Area)！