如何理解导数(Derivative)：商法则、指数与对数

上次我们曾用“机器”隐喻来理解导数。函数是一台机器，有输入（x）和输出（y）手柄。导数 dy/dx 表示当我们抖动输入时，会得到多少“输出抖动”。

现在，我们可以用更小的机器组成更大的机器（h = f + g，h = f * g 等）。导数规则（加法法则、乘积法则）给出了整体抖动与各部分的关系。链式法则很特别：我们可以“放大”单个导数，并用另一个输入来重写它（就像将“英里每小时”转换为“英里每分钟”——我们在转换“时间”输入）。

回顾完这些，让我们建立对高级导数规则的直觉。前进！

除法（商法则）

啊，商法则——那个没人记得的规则。哦，也许你通过一首歌记住了它，比如“低 d 高，高 d 低……”，但那不是理解！

是时候可视化除法法则了（现实生活中谁会说“商”呢？）。关键是把除法看作一种乘法：

$\displaystyle{h = \frac{f}{g} = f \cdot \frac{1}{g}}$

我们有一个矩形，有面积，但边长是“f”和“1/g”。输入 x 在一边变化（dx），因此 f 和 g 变化（df 和 dg）……但 1/g 如何变化？

链式法则来救命！我们可以把 1/g 包装成一个干净整洁的变量，然后“放大”来看，里面确实有除法。

所以，我们假装 1/g 是一个单独的函数 m。在函数 m 内部是除法，但暂时忽略它。我们只想结合两种视角：

f变化了df，贡献面积df * m = df * (1 / g)
m变化了dm，贡献面积dm * f = ?

我们轻松地将 m 变成了 1/g。很好。但 dm（1/g 的变化量）如何用 dg（g 的变化量）来表示？

我们想要 1/g 相邻值之间的差：1/g 和 1/(g + dg)。例如：

1/4和1/3的差是多少？1/12
那1/5和1/4呢？1/20
1/6 和 1/5 呢？1/30

这是怎么做到的？我们找到公分母：对于 1/3 和 1/4，公分母是 1/12。“相邻”值（如 1/3 和 1/4）之间的差将是 1 / 公分母，即 1 / (x * (x + 1))。看看你能否推导出原因！

$\displaystyle{\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x} = \frac{-1}{x(x+1)}}$

如果我们使导数模型完美，并假设相邻值之间没有差异，那么 +1 就会消失，得到：

$\displaystyle{\frac{-1}{x(x+1)} \sim \frac{-1}{x^2}}$

（这是一条有用的一般性事实：从 1/100 到 1/101 的变化 = 一万分之一）

这个差是负的，因为新值（1/4）小于原值（1/3）。那么实际变化是多少？

g 变化了 dg，所以 1/g 变成 1/(g + dg)
瞬时变化率为 -1/g^2 [正如我们之前所见]
总变化 = dg * 速率，即 dg * (-1/g^2)

几个直觉检查：

为什么导数是负的？随着 dg 的增加，分母变大，总值变小，所以我们实际上在缩小（1/3 到 1/4 是缩小了 1/12）。
为什么我们得到 -1/g^2 * dg 而不是仅仅 -1/g^2？（这起初让我困惑）。记住，-1/g^2 是 链式法则转换因子 “g”和“1/g”尺度之间的换算关系（就像说 1 小时 = 60 分钟）。很好。你仍然需要乘以你在“g”尺度上走了多远，即 dg！一小时可能是 60 分钟，但你想转换多少？
dm 在哪里？m 是 1/g 的另一个名称。dm 代表 1/g 的总变化，正如我们所见，它是 -1/g^2 * dg。这种替换技巧在微积分(Calculus)中到处使用，以帮助拆分复杂的计算。“哦，看起来我们在做直接的乘法。哎呀，我们放大后发现一个变量实际上是一个除法——改变视角到内层变量，并乘以换算因子。”

唷。要将我们的“dg”摆动转换为“dm”摆动，我们做：

$\displaystyle{dm = \frac{-1}{g^2} \cdot dg}$

得到：

$\begin{aligned} dh &= (df \cdot m) + (f \cdot dm) \\ dh &= (df \cdot \frac{1}{g}) + (f \cdot \frac{-1}{g^2} \cdot dg) \end{aligned}$

耶！现在，你那过于热心的教科书可能会将其简化为：

$\displaystyle{ dh = \frac{df \cdot g - f \cdot dg}{g^2}}$

这太烧脑了！太烧脑了！这种“简化”隐藏了除法法则(Division Rule)只是乘积法则(Product Rule)的一个变体。记住，仍然有两个面积碎片需要组合：

"f" (分子) 的增量按预期增长
"g" (分母) 的增量是负的 (随着 g 增大，面积变小)

凭你的直觉，你知道是分母贡献了负变化。

指数 (e^x)

e 是我最喜欢的数字。它具有性质

$\displaystyle{\frac{d}{dx} e^x = e^x}$

用英文说就是，“e 变化其当前数量的 100%”（了解更多).

“当前数量”假设 x 是指数，并且我们想从 x 的角度看变化（df/dx）。如果 u(x)=x^2 是指数，但我们仍然想从 x 的角度看变化呢？

$\begin{aligned} u &= x^2 \\ \frac{df}{dx} e^u &= ? \end{aligned}$

又是链式法则(Chain Rule)——我们想放大到 u，到达 x，看看 dx 的摆动如何改变整个系统：

x 变化了 dx
u 变化了 du/dx，即 d(x^2)/dx = 2x
e^u 如何变化？

现在记住，e^u 不知道我们想从 x 的角度看变化。e 只知道其导数是当前数量的 100%，即指数 u：

$\displaystyle{ \frac{d(e^u)}{du} = e^u }$

总的改变，按每个 x 计算是：

$\displaystyle{ \frac{d(e^u)}{dx} = \frac{du}{dx} e^u = 2x \cdot e^u = 2x \cdot e^{x^2} }$

这起初让我困惑。我最初以为导数需要我们把“u”拿下来。不——e^foo 的导数是 e^foo。没有更多了。

但如果 foo 受其他任何东西控制，那么当我们跳入那个内部视角时，我们需要乘以变化率乘以换算因子（d(foo)/dx）。

自然对数

ln(x) 的导数是 1/x。通常它是作为一个既定事实给出的。

我的直觉是将 ln(x) 视为增长到 x 所需的时间：

ln(10) 是在 100% 连续增长下从 1 增长到 10 所需的时间

好吧。那么增长到“下一个”值（比如 11）需要多长时间呢？(x + dx，其中 dx = 1)

当我们在 x=10 时，我们以每秒 10 个单位的速度指数增长。大约需要 1/10 秒 (1/x) 才能到达下一个值。而当我们在 x=11 时，需要 1/11 秒才能到达 12。依此类推：到达下一个值的时间是 1/x。

导数

$\displaystyle{\frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x}}$

主要是需要记住的事实，但结合“增长时间”的解释就说得通了。

棘手的例子：x^x

是时候检验我们的直觉了：x^x 的导数是什么？

$\displaystyle{\frac{d}{dx} x^x = ? }$

这是个棘手的问题。有两种方法：

方法1：将一切用e重写。

哦，e，你太神奇了：

$\begin{aligned} h(x) &= x^x \\ &= [e^{\ln(x)}]^x \\ &= e^{\ln(x) \cdot x} \end{aligned}$

任何指数 (a^b) 实际上只是不同外衣下的 e：[e^ln(a)]^b。我们只需要求 e^foo 的导数，其中 foo = ln(x) * x。

但等等！因为我们想要关于“x”的导数，而不是 foo，所以我们需要切换到 x 的视角并乘以 d(foo)/dx：

$\begin{aligned} \frac{d}{dx} \ln(x) \cdot x &= x \cdot \frac{1}{x} + \ln(x) \cdot 1 \\ &= 1 + \ln(x) \end{aligned}$

"ln(x) * x" 的导数只是乘积法则的快速应用。如果 h=x^x，最终结果是：

$\displaystyle{h'(x) = (1 + \ln(x)) \cdot e^{\ln(x) \cdot x} = (1 + \ln(x)) \cdot x^x}$

我们将 e^[ln(x)*x] 写回原始记法 x^x。耶！直觉是“用 e 重写并遵循链式法则”。

方法2：独立的观点

记住，导数假设系统的每个部分独立工作。不要将 x^x 视为一个大块，而是假设它由两个相互作用的函数组成：u^v。然后我们可以分别加上它们的贡献。不过我们有点狡猾，u 和 v 实际上是相同的 (u = v = x)，但别让它们知道！

从 u 的角度看，v 只是一个静态幂（例如，如果 v=3，那么就是 u^3），所以我们有：

$\displaystyle{\frac{d}{du} u^v = v \cdot u^{v - 1}}$

而从 v 的角度看，u 只是一个静态底数（如果 u=5，我们有 5^v）。我们将其改写成以 e 为底，得到

$\begin{aligned} \frac{d}{dv} u^v &= \frac{d}{dv} [e^{\ln(u)}]^v \\ &= \frac{d}{dv} e^{\ln(u) \cdot v} \\ &= \ln(u) \cdot e^{\ln(u) \cdot v} \end{aligned}$

我们将每个视角的贡献加起来得到总变化：

$\displaystyle{\ln(u) \cdot e^{\ln(u) \cdot v} + v \cdot u^{v - 1} }$

然后揭晓：u = v = x！这个新视角没有转换因子 (du/dx = dv/dx = dx/dx = 1)，我们有：

$\begin{aligned} h' &= \ln(x) \cdot e^{\ln(x) \cdot x} + x \cdot x^{x - 1} \\ &= \ln(x) \cdot x^x + x^{x - 1 + 1} \\ &= \ln(x) \cdot x^x + x^x \\ &= (1 + \ln(x)) \cdot x^x \end{aligned}$

和之前一样！从几个不同角度处理 x^x 让我相当兴奋。

顺便说一下，使用 Wolfram Alpha（就像这样）来检查你的导数结果（点击“显示步骤”）。

问题：如果u更复杂，我们在哪里使用du/dx？

想象 u 是一个更复杂的函数，比如 u=x^2 + 3：我们会在哪里乘以 du/dx？

我们来思考一下：du/dx 仅从 u 的视角起作用（当 v 变化时，u 是一个静态值，u 是否可以进一步用 x 分解并不重要）。u 的贡献是

$\displaystyle{\frac{d}{du} u^v = v \cdot u^{v - 1}}$

如果我们想要“dx”的视角，我们会在包含 du/dx：

$\displaystyle{\frac{d}{du} \frac{du}{dx} u^v = v \cdot u^{v - 1} \frac{du}{dx}}$

我们乘以“du/dx”转换因子，以从 x 的视角看待事物。类似地，如果 v 更复杂，计算 v 的视角时我们会有一个 dv/dx 项。

看看发生了什么——我们找出了通用的 d/du，并在需要时将其转换为更具体的 d/dx。

用无穷小更容易

在 dy/dx 中将 dy 与 dx 分开是“违反”极限规则的，但用无穷小(Infinitesimal)处理时效果很好。你可以很快推导出导数(Derivative)法则：

乘积法则：

$\begin{aligned} (fg)' &= (f + df)(g + dg) - fg \\ &= [fg + f dg + g df + df dg ]- fg \\ &= f dg + g df + df dg \end{aligned}$

当从无穷小世界跳回常规数系时，我们将“df * dg”设为零。

用“g 变化了多少？f 变化了多少？”来思考，导数就容易理解了。最后“除以”dx。

总结：看见机器

我们的目标是理解微积分(Calculus)的直觉，而非死记硬背。我需要一些类比来启发思考：

函数是机器，导数描述了“微动”行为
导数法则通过各部分的微动找出“整体微动”
链式法则将视角缩小（小时 => 分钟）
乘积法则增加面积
商法则增加面积（但其中一部分贡献为负）
e 的变化量等于当前量的 100% (d/dx e^x = 100% * e^x)
自然对数是 e^x 达到下一个值所需的时间 (x 单位/秒意味着 1/x 达到下一个值)

通过练习，想法开始融会贯通。别担心卡壳——我在处理指数时仍然会过度使用链式法则(Chain Rule)。学习是一个过程！

数学愉快。

附录：偏导数

假设我们的函数依赖于两个输入：

$\displaystyle{f(x,y)}$

f 的导数可以从 x 的视角（f 如何随 x 变化？）或 y 的视角（f 如何随 y 变化？）来看。同样的想法：我们有两个“独立”的视角，将其结合起来得到整体行为（就像结合两个的视角唯我论者，他们各自认为自己是宇宙中唯一的“真实”人物）。

如果 x 和 y 依赖于同一个变量（比如 t，时间），我们可以写出以下内容：

$\displaystyle{\frac{df}{dt} = \frac{df}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{df}{dy} \cdot \frac{dy}{dt}}$

这有点像链式法则——我们结合两个视角，对于每个视角，我们深入其根本原因（时间）。

如果 x 和 y 是相互独立的，我们用一个向量表示沿每个轴的导数：

$\displaystyle{(\frac{df}{dx}, \frac{df}{dy})}$

这就是梯度(gradient)，一种表示“从这一点出发，如果你沿 x 或 y 方向移动，你将如何变化”的方式。我们将一维的“视角”结合起来，以理解整个二维系统。哇。

如何理解导数：商法则、指数与对数