接受数字能做奇怪、新鲜的事情是数学中最困难的部分之一：
- 有数字 之间 我们用来计数的数字？(是的——小数)
- 竟然有表示“无”的数字？（当然——零)
- 数轴是二维的？（当然—— 虚数)
微积分是一门美丽的学科，但它挑战了一些长期持有的假设：
- 数字不一定非得精确无误？
- 数字并不只是彼此的缩放版本（比如1乘以某个数）？
今天的文章介绍了一种思考准确性和无穷小数字的新方法。这不是一门严谨的分析课程——这是我处理 微积分背后的思想.
计数数字 vs 测量数字
并非每个数字都相同。我们通常不考虑“计数数字”（1, 2, 3…）和“测量数字”（如2.58、$\pi$、$\sqrt{2}$）之间的区别。
我们最初的数学问题涉及计数：我们有5个苹果，去掉3个，或者以每本\$10购买3本书。这些数字以1为增量变化，一切都很好很简单。
后来我们学习了分数和小数，事情变得奇怪：
- 最小的分数是多少？（1/10？1/100？1/1000？）
- 1.0之后的下一个 下一个 小数是什么？1.1？1.001？
情况更糟。像$\sqrt{2}$和π这样的数字永远持续下去，没有模式。“现实世界”的数字具有我们整洁的计数数字所没有的各种复杂性。
我们意识到一个事实： 对于被测量而非计数的量，我们的精度是有限的.
我是什么意思？求半径为3的圆的周长。哦，很简单；将r=3代入周长 = 2 * pi * r 得到6*pi。嗒哒！
这很可爱，但你没有回答我的问题——什么 数字 是什么？
你可能会噘起嘴，打开计算器说它是“18.8495…”。但这同样没有回答我的问题：到底什么是周长？
我们不知道！圆周率(π)无限延续，尽管我们知道万亿位，但还有无穷多。即使我们知道π是什么，我们该把它写在哪里？我们其实不知道任何东西的 精确的 周长！
但嘘——我们把这种不确定性隐藏在一个符号π后面。当你在方程中看到π时，它的意思是“嘿，老兄，你知道那个数吗？就是和圆有关的那个？当需要计算时，用最适合你的近似值就行。”
再说一次，这就是这个符号的意思——我们不知道真正的数，所以用你最好的猜测。顺便说一句，e 和 $\sqrt{2}$ 也有同样的注意事项。
40位圆周率对任何人来说都足够了
我们认为不确定性就是混乱：如果你不知道零件的精确尺寸，怎么能造出一台机器？
但事实证明，“最适合我们的圆周率近似值”往往小得惊人。是的，我们已经将π计算到数十亿位，但对于任何实际应用，我们只需要大约40位。
为什么？考虑一下：
- 原子的大小约为 1e-11 meters （直径）
- 宇宙的宽度约为 900亿光年 （1e27米）
计算一下，跨越宇宙大约需要1e38（1e27 / 1e-11）个原子。所以，大约40位圆周率就足以精确计数围绕宇宙所需的原子。你打算建造比宇宙还大且精确到原子级别的东西吗？（如果是，你打算把它放在哪里？）
而这仅仅是40位精度；80位可以覆盖如果每个原子内部有一个迷你宇宙的情况，120位则可以覆盖那个迷你宇宙内部还有 另一个 一个迷你宇宙的情况。
关键在于我们的仪器精度有限，当额外细节不再重要时，就会达到一个点。π在1000位之后可能变成数独谜题，而我们的机器仍然正常工作。
但我需要精确数字！
接受不确定性很难：数学如果不是 准确的 和 精确的？我曾经也这么想，但开始注意到在现实世界中我们经常被欺骗：
我们的大脑被欺骗，以为每秒24帧图像就是流畅的运动。
每一张数码照片（以及印刷品！）都是由微小像素组成的。图片看起来平滑，直到你放大：
最大的秘密是 每张数码照片都有像素化：我们只 称为 当我们碰巧注意到像素时，它就会变得像素化。否则，当方块足够小时，我们会误以为看到的是平滑图像。但这只是对人眼而言的平滑。
机械装置也是如此。在原子层面，存在 测量确定性的极限 限制我们能了解粒子速度和位置精确程度的因素。一些现代理论提出 量子化的宇宙 ——我们可能生活在一个网格上！
关键在于：近似是自然的一部分，然而一切都能顺利进行。为什么？ 我们只需要在我们自己的尺度内保持精确。当你处理人类尺度的物体时，原子层面的不确定性并不重要。
每个数字都有尺度
令人意外的是，意识到即使是 数字 也都有尺度。就像人类无法直接观察原子一样，有些数字无法直接与“无穷小”(infinitesimals)或无穷小的数量（如1/2, 1/3… 1/无穷）交互。
但无穷小和原子并非零。把单个原子放在浴室秤上，秤仍然显示为零。无穷小也是如此：在我们的大数世界中，1 + 无穷小在我们看来就是1。
现在棘手的地方来了： 十亿、万亿、千万亿、无数个无穷小仍然是无法检测到的！ 是的，我知道，在现实世界中，如果我们不断往秤上加原子，最终会显示出重量。但无穷小并非如此。它们完全处于另一个层面——任何 有限的 数量的无穷小都无法被检测到。而且据我所知，我们人类只能做有限数量的事情。
让我们直观地思考一下无穷(Infinity)：
- 无穷“存在”，但我们的标准数学无法触及。无论多少次加法或乘法都无法达到无穷——我们需要无穷多次加法才能得到无穷（有点循环，对吧？）。同样，有限次除法也无法产生无穷小。
- 无穷和无穷小需要新的算术规则，就像分数和复数改变了我们做数学的方式。我们稍后会进一步讨论这个问题。
思考那些在我们尺度上看似为零但实际并非为零的数字，这很奇怪。“真”零和测量零之间是有区别的。我没有完全理解无穷小，但我愿意探索它们，因为它们让微积分(Calculus)更容易理解。
只需记住，即使在18世纪，负数仍被视为“荒谬”，但想象一下没有它们做代数会怎样。
人生启示
数学常常可以应用于现实世界。在这种情况下，我们意识到精确度存在于不同层面，并且不需要完美的精确度。我们的工程计算只需要40位圆周率！
做市场调研时，知道80%与83.45%真的会改变你的商业决策吗？前者精确度低100倍，但获取难度可能低10倍，然而却包含了几乎相同的决策信息。
在科学中，有一个概念叫做 有效数字，它有助于描述测量中的不确定性。我们太习惯于人为编造的数学题（“苏西以50英里/小时的速度行驶3小时”），以至于忘记了现实世界并非那么清晰。即使信息并非完全精确，它也可能是有用的。
数学启示
微积分最初是使用无穷小(infinitesimals)发展起来的，后来被弃用，转而采用更具“严谨性”的技巧。直到20世纪60年代（并不久远！），原始方法才被证明是合理的，但为时已晚——许多微积分解释已经脱离了最初的洞见。
再次强调，我的目标是理解微积分背后的思想，而非仅仅重复其证明的技巧。第一个令人脑洞大开的想法是 完美的准确性并非必要 以及 数字可以存在于不同的尺度上.
有一种新类型的数：无穷小(infinitesimal)。在后续文章中我们会看到如何使用它们。祝数学愉快。