假设你需要估计1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + 100。
你会怎么做？嗯，你可以 推导出精确公式:
并代入n=100得到5050。
但我们只想要一个粗略的答案。你有一列数字，它们遵循一个简单的模式，并且想要一个快速的估计。该怎么办？
"简单"的方法（嗯，微积分的方法）是意识到1 + 2 + 3 + 4大致等同于$f(x) = x$。第一个元素是f(1)=1，第二个是f(2)=2，依此类推。
从这里，我们可以进行积分：
我们通常将积分视为一种正式、优雅的操作，它巧妙地累积一个函数并返回另一个函数。非正式地说，我们就是把所有东西压进那个大家伙里，看看总量有多少。
结果 $\frac{1}{2} x^2$ 应该非常接近我们想要的。
这个 精确的 总和是楼梯状的图案，累加得到5050。
这个 近似的 答案是那个三角形的面积，$\frac{1}{2} base * height = \frac{1}{2} 100 * 100 = 5000$。差别在于楼梯的拐角有悬垂部分。$\frac{x}{2}$ 是二分之一，x 乘以（悬垂大小（1/2）乘以块数（x））。
最终结果是使用光滑、易于测量的形状来近似一个锯齿状、难以测量的形状。（这有点像微积分中的嵌套，因为我们通常用矩形来近似光滑形状。）
更多估计(More Estimates)
这个策略也适用于其他数列：
前10个平方数的和是多少？1 + 4 + 9 + 16 + 25 + ... + 100 = ?
嗯。这个公式可能很难推导。但如果没有微积分加持的算术，快速猜测会是：
我们的第一直觉应该是"10^3 的三分之一"即333。但正如我们之前所见，有一个被忽略的"悬垂部分"。假设它是10%，则估计值为330 + 10% ≈ 370。
精确答案是385。还不错！ 实际公式 是：
我会说 $\frac{x^3}{3}$ 几秒钟得到这个结果还不错。
数据每年翻倍。终身使用量是怎样的？
指数函数的积分（压扁的总和）还是指数函数。用微积分的术语来说，
关键启示是，所有指数增长都只是 $e^x$ 的变体。如果 $e^x$ 呈指数累积，那么 $2^x$ 也是如此。
因此，到目前为止的总用量也将遵循指数模式，每年翻一番。与此对比，用量模式"1 + 2 + 3 + 4 ..."——我们线性增长（$f(x) = x$），但总用量二次累积（$\frac{1}{2}x^2$）。
我的目标是将数学思维融入日常场景。我们从一个算术问题开始，将其转化为几何谜题（楼梯有多大？），然后使用微积分进行近似。
当我能自如切换几种思维模式时，我知道一个概念就真正理解了。把问题想象成剧本：Spielberg、Tarantino或Scorsese会如何执导？每个领域都有不同的视角。（要学习如何用微积分思考，请查看 微积分指南.)
数学愉快。