积分(Integral)常被描述为求曲线下的面积(Area)。这种描述过于狭隘：这就好比说乘法是为了求矩形的面积(Area)而存在的。求面积(Area)很有用，应用但不是乘法的目的。
关键洞察：当乘法无法使用时，积分(Integral)帮助我们组合数字。
我真希望高中微积分(Calculus)时能和自己做一分钟的交流：
“嘿！积分(Integral)让我们能够‘乘’变化的数字。我们习惯了“3 x 4 = 12”，但如果一个量在变化呢？我们无法将变化的数字相乘，所以我们积分(Integrate)。
你会听到很多关于面积(Area)的讨论——面积(Area)只是一种一可视化乘法的方式。关键不在于面积(Area)，而在于将量组合成一个新结果的想法。我们当然可以积分(Integrate)（“乘”）长度和宽度来得到普通的面积(Area)。但我们也可以积分(Integrate)速度和时间来得到距离，或者长度、宽度和高度来得到体积(Volume)。
当我们想用普通乘法却做不到时，我们就拿出大杀器来积分(Integrate)。面积(Area)只是一种可视化技术，别太陷在里面。现在去学微积分(Calculus)吧！”
那就是我的顿悟时刻：积分(Integration)是一种适用于变化事物的“更好的乘法”。让我们以这种视角来认识积分(Integral)。
理解乘法
我们对乘法理解随着时间发生了变化：
- 对于整数（3 x 4），乘法是重复加法
- 对于实数（3.12 x $\sqrt{2}$），乘法是缩放
- 对于负数（-2.3 * 4.3），乘法是翻转和缩放
- 对于复数（3 * 3i），乘法是旋转和缩放
我们正演进为一种“将”一个数“施加于”另一个数的通用概念，而我们施加的性质（重复计数、缩放、翻转或旋转）可以不同。积分(Integration)是这条路上的又一步。
理解面积(Area)
面积(Area)是个微妙的话题。今天，我们把面积(Area)看作一种乘法的视觉表示:
在不同的轴上各计数一次，我们就能“将它们施加”（3施加于4）并得到结果（12平方单位）。每个输入的性质（长度和长度）被传递到了结果（平方单位）中。
很简单，对吧？嗯，它变棘手了。乘法可以产生“负面积(Area)”（3 x (-4) = -12），而那并不存在。
我们明白该图是乘法的表示，并在对我们有用时使用这个类比。如果大家都是盲人且没有图表，我们照样能好好乘法。面积(Area)只是一种解释。
逐段理解乘法
现在我们来算 3 x 4.5：
发生了什么？嗯，4.5不是计数，但我们可以用“逐片”操作。如果 3x4 = 3 + 3 + 3 + 3，那么
3 x 4.5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3x0.5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 1.5 = 13.5
我们取了 3（这个值）4.5 次。也就是说，我们将 3 与 4 个完整片段（3 x 4 = 12）和 1 个部分片段（3 x 0.5 = 1.5）组合在了一起。
我们太习惯乘法了，以至于忘了它有多好用。我们可以把一个数拆成单位（整数和小数），将每片相乘，再把结果加起来。注意我们是如何处理小数部分的？这就是积分(Integration)的开始。
数字的问题
数字并不总是一动不动地等我们去清点。像“你以30英里每小时开3小时”这样的场景是为了方便，而非真实。
像“距离 = 速度 * 时间”这样的公式只是掩盖了问题；我们仍得代入静态数字再相乘。那么当速度随时间变化时，我们怎么求走过的距离？
描述变化
我们的第一个挑战是描述一个变化的数字。我们不能只说“我的速度从0变到了30英里每小时”。这不够具体：它变得有多快？是平滑的吗？
现在让我们具体化：每一秒，我的速度（以 mph 计）都是那一刻的两倍。在第 1 秒时，我是 2mph。第 2 秒时，4mph。第 3 秒是 6mph，依此类推：
现在这是一个很好的描述，足够详细，可以知道我在任何时刻的速度。正式的描述是“速度是时间的一个函数(Function)”，意思是我们可以代入任何时间（t）并找到那一刻的速度（“2t” mph）。
（这并没有说为什么速度和时间是相关的。我可能因为重力而加速，或者因为一只羊驼拉我而加速。我们只是说，随着时间变化，我们的速度也变化。）
所以，我们的“距离 = 速度 * 时间”的乘法或许更好地写成：
其中 speed(t) 是任何瞬间的速度。在我们的例子中，speed(t) = 2t，所以我们写成：
但是这个方程看起来还是奇怪！“t”仍然看起来像是我们需要选取的单个瞬间（比如 t=3 秒），这意味着 speed(t) 会取单个值（6mph）。这不行。
在常规乘法中，我们可以取一个速度并假设它在整个矩形中保持不变。但变化的速度要求我们逐块（一秒一秒地）组合速度和时间。毕竟，每个瞬间都可能不同。
这是一个很大的视角转变：
- 常规乘法（矩形式）：取一秒内移动的距离，假定所有秒都一样，然后“放大”。
- 积分（逐片式）：把时间看作一系列瞬间，每一刻各有其速度。按秒逐次把移动的距离加起来。
我们看到常规乘法是特殊情况积分(Integration)的一种特例，当各量不变化时。
“片段”有多大？
逐块进行时，一块有多大？一秒？一毫秒？一纳秒？
简短回答：小到在该持续时间内数值看起来相同。我们不需要完美精度.
更长的回答：像极限(Limit)这样的概念被发明出来是为了帮助我们做逐块乘法。虽然有用，但它们是一种问题的解并且会分散“组合事物”的洞见。让我困扰的是，极限在微积分(Calculus)的一开始就被引入，在我们甚至理解它们被创造来解决的问题之前（就像在某人还没见过车之前就给他看安全带）。它们是个有用的想法，当然，但牛顿似乎没有它们也相当理解微积分。
起点和终点呢？
假设我们看从 3 秒到 4 秒的一个区间。
开始时的速度（3x2 = 6mph）和结束时的速度（4x2 = 8mph）不同。那么在做“速度 * 时间”时我们用什么值？
答案是我们把块拆得足够小（3.00000 到 3.00001 秒），直到区间开始和结束的速度差对我们来说无所谓。再次说明，这是个更长的讨论，但“相信我”存在一个让差异无意义的时间段。
在图上，把每个区间想象成线上单个点。你可以画一条直上到每个速度的线，你的“面积(Area)”就是一堆测量乘法的线的集合。
“片段”在哪里？它的值是什么？
把片段从它的值分开对我曾是个挣扎。
一个“块”是我们所考虑的区间（1 秒、1 毫秒、1 纳秒）。“位置”是那一秒、毫秒或纳秒区间开始的地方。数值是我们在该位置的速度。
例如，考虑 3.0 到 4.0 秒的区间：
- 时间片的“宽度”是 1.0 秒
- 位置（起始时间）是 3.0
- 数值（speed(t)）是 speed(3.0) = 6.0mph
再次，微积分让我们缩小区间直到我们看不出区间开始和结束的速度差别。着眼大局：我们在乘一堆块。
理解积分(Integral)符号
我们对“逐块乘法”有了不错的理解，但没法真正表达它。“距离 = speed(t) * t”看起来仍像个常规方程，其中 t 和 speed(t) 取单个值。
在微积分中，我们这样写关系：
积分号（s 形曲线）表示我们在逐块乘事物并把它们加起来。
dt代表我们所考虑的特定的时间“块”。这叫“delta t”，不是“d 乘 t”。
t代表 dt 的位置（如果 dt 是 3.0-4.0 的跨度，t 就是 3.0）。
speed(t) 表示我们正在乘的值（speed(3.0) = 6.0）
我对这种记法有些不满：
- 这些字母的使用方式令人困惑。"dt" 看起来像 "d 乘以 t"，与你之前见过的所有方程都相反。
- 我们写作 speed(t) * dt，而不是 speed(t_dt) * dt。后者清楚地表明我们是在考察特定片段 "dt" 上的 "t"，而不是某个全局的 "t"
- 你会经常看到 $\int speed(t)$，带有一个隐式dt。这让人很容易忘记我们是在对二元素进行逐片相乘。
现在改积分的写法已经太晚了。只需记住“乘以”一个会变化的东西这个更高层次的概念。
在脑海中阅读
当我看到
我会想“距离等于速度乘以时间”（先读左边），或者“把速度和时间结合起来得到距离”（先读右边）。
我在脑中把“speed(t)”翻译成速度，把“dt”翻译成时间，于是这就成了乘法，同时记住速度是允许变化的。像这样抽象地理解积分(Integral)，能帮助我关注正在发生的事（“我们在把速度和时间结合来得到距离！”），而不是运算的细节。
附赠：后续想法
积分是一个深刻的思想，就像乘法一样。基于这个类比，你可能会有一些后续问题：
- 如果积分(Integral)是乘以变化的量，那么有没有什么东西能除它们？（有——导数(Derivative)）
- 而且积分(Integral)（乘法）和导数(Derivative)（除法）会相互抵消吗？（会，但有一些注意事项）。
- 我们能把方程从 "distance = speed * time" 重排为 "speed = distance/time" 吗？（可以。）
- 我们能组合多个变化的事物吗？（可以——这叫做多重积分(multiple integration)）
- 我们组合多个事物的顺序重要吗？（通常不重要）
一旦你把积分看作“更好的乘法”，你就会留意像“更好的除法”、“重复积分”等概念。死守“曲线下的面积”会让这些主题显得互不相关。（对数学书呆子说，把“曲线下的面积”和“斜率”看作逆运算，对学生要求太高了。）
阅读积分(Integral)
积分有很多用途。其一是用来说明两样东西被“乘”在一起产生一个结果。
以下是表示圆面积的方法：
我们很想用乘法来求圆的面积。但做不到——高度是随着位置变化而变化的。如果我们把圆“展开”，就能看到每一段半径所贡献的面积是“半径 * 周长”。我们可以用上面的积分来表达这种关系。（详见微积分导论了解更多细节）。
而下面是表达“质量 = 密度 * 体积”这一想法的积分：
它在说什么？Rho: $\rho$ 是密度函数——告诉我们某个位置 r 处的材料密度。dv 是我们所看的那一小块体积。所以我们用那一小片体积（dv）乘以该位置的密度 $\rho(r)$，再把它们全部加起来得到质量。
我们很想用密度乘以体积，但如果密度是变化的，就需要积分(Integral)。下标 V 是“体积积分”的简写，其实就是关于长、宽、高的三重积分！这个积分涉及四次“乘法”：三次用来求体积，另一次用来乘以密度。
我们也许解不出这些方程，但能理解它们在表达什么。
继续向上
今天的目标不是严谨地理解微积分。而是拓展我们的心智模型，并意识到还有另一种组合事物的方式：我们可以加、减、乘、除……还可以积分。
把积分(Integral)看作更好的乘法：微积分会更简单，你也会预见到像多重积分和导数(Derivative)这样的概念。数学愉快。
（附：SMBC 的 Zach 把自己画进了……呃……漫画关于这种直觉。）