许多数学课程直接跳入极限、无穷小和非常小的数，而不提供任何背景。但为什么我们要关心呢？
数学帮助我们建模世界。我们可以将一个复杂的思想（一条弯曲的曲线）分解成更简单的部分（矩形）：
But, we want an accurate model. The thinner the rectangles, the more accurate the model. The simpler model, built from rectangles, is easier to analyze than dealing with the complex, amorphous blob directly.
The tricky part is making a decent model. Limits and infinitesimals help us create models that are simple to use, yet share the same properties as the original item (length, area, etc.).
零的悖论
Breaking a curve into rectangles has a problem: How do we get slices so thin we don’t notice them, but large enough to “exist”?
If the slices are too small to notice (zero width), then the model appears identical to the original shape (we don’t see any rectangles!). Now there’s no benefit — the ‘simple’ model is just as complex as the original! Additionally, adding up zero-width slices won’t get us anywhere.
If the slices are tiny but measurable, the illusion vanishes. We 查看 that our model is a jagged approximation, and won’t be accurate. What’s a mathematician to do?
We want the best of both: slices so thin we can’t see them (for an accurate model) and slices thick enough to create a simpler, easier-to-analyze model. A dilemma is at hand!
解决方案：零是相对的
The notion of zero is biased by our expectations. Is “0 + i”, a purely 虚数(imaginary number), the same as zero?
Well, “i” sure looks like zero when we’re on the real number line: the “real part” of i, Re(i), is indeed 0. Where else would a purely imaginary number go? (How far East is due North?)
Here’s a different brain bender: did your weight change by zero pounds while reading this sentence? Yes, by any scale you have nearby. But an atomic measurement would show 一些 mass change due to sweat evaporation, exhalation, etc.
You see, there are two answers (so far!) to the “be zero and not zero” paradox:
允许另一个维度: Numbers measured to be zero in our dimension might actually be small but nonzero in another dimension (infinitesimal approach — a dimension 无穷小 than the one we deal with)
接受不完美: Numbers measured to be zero are probably nonzero at a greater level of accuracy; saying something is “zero” really means “it’s 0 +/- our measurement error” (limit approach)
These approaches bridge the gap between “zero to us” and “nonzero at a greater level of accuracy”.
极限与无穷小概述
Let’s see how each approach would break a curve into rectangles:
极限(Limits): “Give me your error margin (I know you have one, you limited, imperfect human!), and I’ll draw you a curve. What’s the smallest unit on your ruler? Inches? Fine, I’ll draw you a staircasey curve at the millimeter level and you’ll never know. Oh, you have a millimeter ruler, do you? I’ll draw the curve in nanometers. Whatever your accuracy, I’m better. You’ll never see the staircase.”
无穷小(Infinitesimals): “Forget accuracy: there’s an entire 无穷小的维度 我将做出曲线。其精度完全超出你的触及范围——我处在亚原子级别，而你是一个几乎连走路和嚼口香糖都勉强的穴居人。这就像从实数平面到达虚数平面一样——你根本做不到。对你来说，我在亚原子级别做出的矩形形状是你所见过的最完美的曲线。”
极限停留在我们的维度中，但拥有“恰到好处”的精度以维持完美模型的假象。无穷小在另一个维度中构建模型，而在我们的维度中它看起来完美精确。
两种方法的关键都在于：更简单的模型是在超出我们精度的层面上构建的。我们可能 知道 模型是锯齿状的，但我们无法分辨差异——我们进行的任何测试都显示模型和真实事物是一样的。
那个技巧不管用，对吧？
哦，但它确实如此。我们经常被“不完美但有用”的模型所欺骗：
音频文件并不包含原始信号的所有信息。但你能分辨出高质量MP3和隔壁房间的人说话之间的区别吗？
计算机打印输出由肉眼无法分辨的单个小点组成。你能区分手写笔记和同一内容的高质量打印件吗？
视频以每秒24帧的速度显示静止图像。这个“不完美”的模型速度足够快，能欺骗我们的大脑，让我们看到流畅的运动。
这样的例子不胜枚举。我们之所以抗拒，是因为我们的 对精度的不必要需求。但音频和视频工程师知道他们不需要完美的复制，只需要足够好的质量 足够好 来欺骗我们，让我们以为它是原版。
微积分让我们在数学中制造出这些技术上不完美但“足够精确”的模型。
在另一个维度中工作
在使用简化模型进行推理时，我们需要小心。我们需要在更高精度的层面“完成工作”，然后将 最终结果 带回我们的世界。如果我们不这样做，就会丢失信息。
假设一个虚数(i)访问实数轴。大家都以为它是零：毕竟，Re(i) = 0。但i耍了个花招！“把我平方！”它说，于是大家照做：“i * i = -1”，其他数字都震惊了。
对实数而言，看起来就像是“0 * 0 = -1”，一个巨大的悖论。
但它们的困惑源于它们的视角——它们只 想法 （以为是）“0 * 0 = -1”。是的，Re(i) * Re(i) = 0，但那不是实际操作！我们想要的是Re(i * i)，这完全不同！我们在它自己的维度中将i平方，然后把 那个 结果带回我们的维度。我们需要平方的是虚数i，而不是0——我们对i的 想法 理解。
注意微积分中类似的错误：我们处理的是对我们而言很小的数字， 看起来像零 但不能假设它们就是零来进行数学运算（就像将 i 视为 0 一样）。不，我们需要在另一个维度“进行数学运算”，然后将结果转换回来。
极限和无穷小对于如何进行这种转换有不同的观点：
极限(Limits): 在刚好超出你检测能力的精度级别（毫米）上“进行数学运算”，然后将结果带回你尺度上的数字（英寸）
无穷小(Infinitesimals): 在另一个维度上“进行数学运算”，然后将结果带回“标准”维度（就像取复数的实部一样；你取超实数的“标准”部分——稍后会详述）
从来没有人告诉过我：微积分让你能够在更高精度的层次上工作，使用更简单的模型，然后将结果带回我们的世界。
一个实际例子：sin(x) / x
让我们尝试一个概念性的例子。假设我们想知道 sin(x) / x 在零处的行为。现在，如果我们直接代入 x = 0，会得到一个无意义的结果：sin(0) = 0，所以我们得到 0 / 0，它可以是任何值。
让我们退一步思考：在我们的世界中，“x = 0”意味着什么？好吧，如果我们允许存在一个更高精度的层次，我们知道：
- 那些 出现 在另一个维度中可能非零（就像虚数单位 i 在我们看来可能是0，但实际上不是那样）
我们要说的是，在这个更高精度的层次上，x 可以非常非常接近零，但不是“真正的零”。直观上，你可以把 x 想象成 0.0000…00001，其中“…”是足够多的零，让你无法再检测到该数字。
（在极限术语中，我们说 x = 0 + d（delta，一个让我们保持在误差范围内的小改变）；在无穷小术语中，我们说 x = 0 + h，其中 h 是一个很小的超实数，称为无穷小）
好的，我们有了“对我们来说是零，但实际上不是”的 x。现在我们需要一个 sin(x) 的更简单模型。为什么？因为正弦是一个疯狂的重复曲线，很难知道发生了什么。但事实证明，一个 直线 是曲线的一个极好的模型 在短距离内:
就像我们可以将一个填充形状分解成 tiny 矩形以使其更简单一样，我们可以将曲线分解成一系列线段。在 0 附近，sin(x) 看起来像直线“x”。所以，我们用直线“x”替换 sin(x)。新的比值是多少？
嗯，“x/x”是 1。记住，我们并不是真正地除以零，因为在这个超精确的世界里：x 很小但非零（0 + d，或 0 + h）。当我们“取极限”或“取标准部分”时，意味着我们进行数学运算（x / x = 1），然后找到我们世界中最接近的数字（1 变成 1）。
所以，1 就是我们得到的当 sin(x) / x 趋近于零时的值——也就是说，我们让 x 尽可能小，使得它对我们来说变成 0。如果 x 变成了纯粹的、真正的零，那么比值就是未定义的（在无穷小层次上确实是未定义的！）。但我们永远无法确定是否处于完美零——像 0.0000…0001 这样的东西对我们来说看起来就是零。
所以，据我们所知，“sin(x)/x”看起来就像“x/x = 1”。直观上，一旦我们，结果就有意义了。 阅读关于弧度的内容).
可视化过程
今天的目标不是解决极限问题，而是理解解决它们的过程。为了解这个例子：
- 意识到从我们的精度无法达到 x=0；在更高的精度下，总有一个“小但不为零”的 x 可用
- 用一条直线替代 sin(x) 作为更简单的模型
- 用这个更简单的模型“进行计算”(x / x = 1)
- 将结果(1)带回我们的精度（保持为1）
以下是我看待这个过程的方式：
在后续文章中，我们将学习建立和求解模型的细节。
注意事项：技巧并非总是有效
有些函数非常“跳跃”——它们可能在无穷小层面上有差异。这意味着我们无法可靠地将它们带回我们的世界。看起来该函数在微观层面上不稳定，行为不“光滑”。
极限的严格部分在于判断哪些函数表现得足够好，从而可以构建简单而精确的模型。幸运的是，自然界中的大多数常见函数（如 x、x2、sin、ex）都表现良好，并且可以 可以 用微积分建模。
极限还是无穷小？
逻辑上，两种方法都解决了“零与非零”的问题。我喜欢无穷小，因为它们允许“另一个维度”，这似乎比“总是在你触及范围之外”更清晰。无穷小是微积分直觉的基础，并出现在物理学及其他使用它的学科中。
这不是一门分析课，但数学机器人可以放心，无穷小有严格的基础。我使用它们是因为它们适合我。
总结
呼！其中一些想法很棘手，我感觉自己在自相矛盾：我们想更简单，却又希望完全精确？
关于“有时是零，有时不是零”的这个著名困境，是微积分的一个著名批评。由于结果有效，它大多被忽略，但在19世纪，引入了极限来真正解决这个困境。我们今天学习极限，但却不理解它们试图解决的问题的本质！
以下是关键概念：
- 零是相对的：对我们来说可以是零，而在其他地方则非零
- 无穷小（“另一个维度”）和极限（“超出我们的精度”）解决了“零与非零”的困境
- 我们在更精确的维度中创建更简单的模型，进行运算，然后将结果带回我们的世界
- 最终结果对我们来说是完美精确的
我的目标不是做数学，而是理解数学。而掌握微积分的一个巨大部分是认识到，超越我们精度创建的简单模型在我们的维度中看起来“刚刚好”。稍后我们将学习构建和使用这些模型的规则。祝数学愉快。