欧拉恒等式看似令人困惑：
它源于一个更一般的公式：
哇——我们正在关联一个 虚数指数 与正弦和余弦！而不知何故将π代入会得到-1？这难道能直观理解吗？
根据19世纪数学家本杰明·皮尔斯的说法，不能：
它绝对矛盾；我们无法理解它，也不知道它意味着什么，但我们证明了它，因此我们知道它必定是真理。
啊，这种态度让我热血沸腾！公式不是需要背诵的魔法咒语：我们必须，必须， 必须 找到一个洞察。这是我的：
欧拉公式描述了在圆周上移动的两种等价方式。
就这些？这个惊人的方程是关于旋转的？是的——我们可以通过建立几个类比来理解它：
- 从数字1开始，将乘法视为一种 变换 改变数字：$1 \cdot e^{i \pi}$
- 常规 指数增长 连续地 增加 以某个速率在某个时间段内增长1； 虚数 指数增长连续地 旋转 1 在一段时间内
- 增长“π”个单位时间意味着旋转π 弧度 绕圆一周
- 因此，$e^{i \pi}$ 表示从1开始，旋转π（半圆）到达-1
这是高层次的观点，让我们深入细节。顺便一提，如果有人想用 $e^{i \pi} = -1$ 给你留下深刻印象，问问他们 我 的 我次幂。如果他们想不明白，欧拉公式对他们来说仍然是一个魔法咒语。
更新： 在写作过程中，我想一段视频可能有助于更清晰地解释这些想法：
理解 cos(x) + i * sin(x)
等号被重载了。有时我们的意思是“将一个东西设置为另一个”（比如 x = 3），其他时候我们的意思是“这两个东西描述同一个概念”（比如 $\sqrt{-1} = i$）。
欧拉公式属于后者：它给出了两个解释如何在圆上运动的公式。如果我们用三角学考察圆周运动，并移动 x 弧度：
- cos(x) 是 x 坐标（水平距离）
- sin(x) 是 y 坐标（垂直距离）
这个陈述
是将 x 和 y 坐标压缩成一个数字的巧妙方法。类比“复数是二维的”帮助我们理解单个复数作为圆上的一个位置。
当我们设置 x 为 $\pi$ 时，我们沿着单位圆的外侧移动了 $\pi$ 个单位。因为总周长是 $2\pi$，普通的 $\pi$ 正好是一半，把我们带到 -1。
不错：欧拉公式的右侧（$\cos(x) + i \sin(x)$）用虚数描述了圆周运动。现在让我们弄清楚等式的 e 一侧是如何实现这一点的。
什么是虚增长？
将 x 和 y 坐标组合成一个复数很棘手，但可以处理。但虚部的 指数 是什么意思？
让我们退后一步。当我看到 $3^4$ 时，我是这样想的：
- 3 是 最终结果 以速率 ln(3) 瞬间增长（使用 e）的结果。换句话说：$3 = e^{\ln(3)}$
- $3^4$ 等同于先增长到3，然后继续增长4倍的时间。所以 $3^4 = e^{\ln(3) \cdot 4} = 81$
与其单独看待数字，不如将它们视为 e 必须“增长到”的东西。实数，如 3，给出了一个利率 ln(3) = 1.1，这就是 e 在连续增长时“收集”到的。
常规增长很简单：它不断地将数字推向它原本的、相同的实数方向。3 × 3 推向原始方向，使其变大 3 倍（9）。
虚数增长不同：我们赚取的“利息”是在不同的方向上！就像一个侧绑的喷气发动机——不是向前，而是开始以 90 度方向推进。
恒定正交（垂直）推力的巧妙之处在于它不会加速或减速——它旋转你！取任意一个数乘以 我 不会改变其大小，只会改变其指向的方向。
直观上，我这样理解 连续虚数增长率：“当我增长时，不要在我已有的方向上把我向前或向后推。而是旋转我。”
难道我们不应该越转越快吗？
我也有这个疑问。常规增长是在我们原有的方向上复利，所以我们得到1, 2, 4, 8, 16，每次乘以2，且保持在实数范围内。我们可以将其视为$e^{\ln(2)x}$，这意味着以ln(2)的速率瞬时增长“x”秒。
而且——如果我们的增长率快一倍，即2ln(2)对比ln(2)，那么看起来就和增长时间加倍（2x对比x）一样。e的神奇之处在于它允许我们在速率和时间之间互换；以ln(2)的速率增长2秒等同于以2ln(2)的速率增长1秒。
现在，假设我们有一个纯虚数增长率(Ri)，它将我们旋转直到到达i，即向上90度。如果我们把速率加倍到2Ri，会发生什么？我们会脱离圆吗？
不会！速率2Ri意味着我们只是旋转速度加倍，或者等价地，以速率R旋转两倍的时间，但我们仍然在圆上。旋转两倍的时间意味着我们现在面向180度。
一旦我们意识到某个指数增长率可以将我们从1带到i，那么增加这个速率只会让我们旋转更多。我们永远无法脱离这个圆。
然而，如果我们的增长率是复数(a+bi对比Ri)，那么实部(a)会像通常一样增长我们，而虚部(bi)则旋转我们。不过我们还是先别搞得太复杂：欧拉公式$e^{ix}$是关于 纯虚数 让我们保持在圆上的增长（更多内容稍后）。
快速验证
在写作过程中，我不得不为自己澄清几个问题：
为什么使用 $e^x$，难道我们不是在旋转数字 1 吗？
e 表示从1开始，以100%的利率连续增长1单位时间的过程。
当我们写 e 我们是在用一个数字捕捉整个过程——e代表了连续增长这整个繁琐的过程。所以实际上，$e^x$的意思是“从1开始，以100%的速率连续增长x秒”，并且如我们所愿从1开始。
但作为指数的 i 有什么作用？
对于像$3^4$这样的常规指数，我们会问：
- 隐含的增长速率是多少？我们从1增长到3（指数的底数）。
- 我们如何 变化 获得那个增长率？我们将其乘以4倍（指数的幂）。
我们可以将增长转换为“e”格式：我们的瞬时速率是ln(3)，然后将其增加到ln(3)*4。同样，指数部分(4)只是缩放了我们增长率。
当顶部指数是i时（如$3^i$），我们只需将隐式增长率乘以i。因此，我们不再是按普通的ln(3)增长，而是按ln(3)*i增长。
指数的顶部部分 修改 底部部分的隐式增长率。
具体细节
让我们仔细看看。记住这个定义 e:
这个 $\frac{100\%}{n}$ 代表我们在每个微观周期内赚取的利息部分。我们假设真实维度中的利率是 100%——但如果虚数方向也是 100% 呢？
现在，我们新形成的利息以 90 度方向添加到我们身上。令人惊讶的是，这并没有改变我们的长度——这是一个棘手的概念，因为它似乎形成了一个斜边必须更大的三角形。我们处理的是一个极限，额外的距离在我们指定的误差范围内。这是我想改天再谈的事情，但请相信我的话：连续的垂直增长会让你旋转。这是正弦和余弦的核心，你的变化垂直于你当前位置，你沿着圆运动。
我们应用 我 以无穷小的增量进行增长，每次推动我们以 90 度角方向移动。没有“越来越快”的旋转——相反，我们沿着周长爬行距离 |i| = 1（i 的模长）。
嘿——绕着圆爬行的距离就是弧度角！我们找到了另一种描述圆周运动的方式！
为了获得圆周运动： 以 90 度角旋转进行连续变化（即虚增长率）。
所以，欧拉公式说的是“指数虚增长描绘出一个圆”。这个路径与在虚平面上使用正弦和余弦绕圆运动相同。
在这种情况下，“指数”这个词令人困惑，因为我们以恒定速率绕圆运动。在大多数讨论中，指数增长被认为具有累积的复利效应。
一些例子
你并不真的相信我，对吧？这里有几个例子，以及如何直观地理解它们。
示例：$e^i$
x 在哪里？啊，它只是 1。直观地说，不用计算器，我们就知道这意味着“沿单位圆运动 1 弧度”。在我脑海里，我看到“e” 尝试 以 100% 的增长率沿着同一方向增长 1，但 i 不断移动着球并迫使“1”沿着圆的边缘增长：
不是最漂亮的数字，但就是这样。输入时请记得将计算器切换到弧度模式。
示例：$3^i$
这很棘手——它不在我们的标准格式中。但请记住， 
我们希望在周期结束时获得 3 倍的初始增长，即瞬时增长率为 ln(3)。但是， 我 出现了，并将 ln(3) 的增长率变成了“i * ln(3)”：
我们 想法 我们本来要以常规增长率 ln(3) 变换，比 100% 的连续增长稍快一些，因为 e 大约是 2.718。但哦不， 我 让我们旋转了：现在我们以虚增长率变换，这意味着我们只是在旋转。如果 我 是一个像 4 这样的常规数字，它会让我们增长 4 倍。现在我们以 ln(3) 的速度增长，但是侧向的。
我们应该期望单位圆上的一个复数——增长率中没有任何东西会增加我们的大小。解这个方程：
所以，我们不是绕着圆结束在“1”个单位的位置（如 $e^i$ 那样），而是结束在 ln(3) 个单位的位置。
示例：$i^i$
几个月前，这还会让我泪流满面。但今天不会了！让我们分解这些变换：
我们从1开始，想要改变它。就像求解$3^i$，其瞬时增长速率是多少？ 我 作为底数？
嗯。通常我们取ln(x)得到在1单位时间内达到x所需的增长率。但对于虚数速率呢？我们需要仔细琢磨。
为了从1开始增长到 我 我们需要从一开始就旋转。多快？嗯，我们需要在1单位时间内旋转90度（π/2弧度）。所以我们的速率是$i \frac{\pi}{2}$。记住我们的速率必须是虚数，因为我们在旋转，而不是增长！普通的$\frac{\pi}{2}$大约是1.57，会导致常规增长。
这应该合理：要在1单位结束时将1.0变成 我 ，我们应该在那段时间内旋转$\frac{\pi}{2}$弧度（90度）。所以，要得到"i"，我们可以用$e^{i \frac{\pi}{2}}$。
呼。这描述了以i为底数。那指数呢？
嗯， 其他 i告诉我们改变我们的速率——没错，就是那个我们花了很长时间才搞清楚的速率！所以，不是以$i \frac{\pi}{2}$的速度旋转（这是以 我 为底数的含义），我们将速率变换为：
i相互抵消，使增长率再次变为实数！我们旋转了速率，把自己推入了负数。负增长率意味着我们在缩小——我们应该预料到$i^i$会使东西变小。事实确实如此：
瞧！（在Google上搜索"i^i"来使用其计算器）
喘口气：你可以直观地理解虚数底数和虚数指数应该如何运作。哇。
额外收获是，你算出了ln(i)——要使$e^x$变成i，让e旋转$\frac{\pi}{2}$弧度。
示例：$(i^i)^i$
双重虚数指数？如果你坚持的话。首先，我们知道括号内的增长率是：
我们得到一个负的（缩小的）增长率 -π/2。现在我们要修改那个速率 再次 作者 我:
现在我们有了一个负的旋转！我们以每单位时间$-\frac{\pi}{2}$的速率绕圆旋转。我们持续多久？嗯，在这个指数链的最顶端有一个隐式的"1"单位时间；默认是持续1单位时间（就像$e = e^1$）。1单位时间给我们一个$-\frac{\pi}{2}$弧度（-90度）的旋转，也就是-i！
并且，只是为了好玩，如果我们把这个疯狂的结果平方：
这“仅仅”是旋转的两倍：2 是一个常规数字，所以它将我们的旋转速率加倍，在一个单位时间内完成完整的 -180 度。或者，你可以将其视为连续两次应用 -90 度旋转。
乍一看，这些指数真的很奇怪。但借助我们的类比，我们可以从容应对。
复数增长
我们可以同时拥有实增长和虚增长：实部将我们按比例缩放，虚部使我们旋转：
像 (a + bi) 这样的复增长速率是实增长和虚增长的混合。实部 a 表示“以 100% 的速度增长 一个 秒”，虚部 b 表示“旋转 b 秒”。记住，旋转不会获得复利效应，因为你持续向不同方向“推”——旋转是线性叠加的。
考虑到这一点，我们可以使用 (a+bi) 表示任何大小圆上的任意点！半径是 $e^a$，角度由 $e^{bi}$ 决定。这就像将数字放入 expand-o-tron 两个周期：一次将其增长到合适的大小（a 秒），另一次将其旋转到正确的角度（b 秒）。或者，你也可以先旋转再增长！
假设我们想得到达到 6 + 8i 的增长量。这实际上是在问一个虚数的自然对数：我们如何增长 e 才能得到 (6 + 8i)？
- 半径：我们需要一个多大的圆？嗯，数值是 $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$。这意味着我们需要增长 ln(10) = 2.3 秒才能达到那个数量。
- 旋转角度：那个点的角度是多少？我们可以用反正切来算：atan(8/6) = 53 度 = .93 弧度。
- 合并结果：ln(6+8i) = 2.3 + .93i
也就是说，如果我们使用 $e^{2.3 + .93i}$，就能到达随机点 (6 + 8i)。
为什么这有用？
欧拉公式为我们提供了另一种描述圆周运动的方式。但我们已经用正弦和余弦做到了这一点，有什么特别的呢？
这完全取决于视角。正弦和余弦用 网格来描述运动，绘制出水平和垂直坐标。
欧拉公式使用极坐标——你的角度和距离是多少？同样，这是描述运动的两种方式：
- 网格系统：向东3个单位，向北4个单位
- 极坐标：以53.13度角移动5个单位
根据问题，极坐标或直角坐标更有用。欧拉公式让我们在两者之间转换，以便使用最适合工作的工具。此外，由于 $e^{ix}$ 可以转换为正弦和余弦，我们可以将三角公式重写为 e 的变体，这非常方便（无需记忆 sin(a+b)，你可以推导它——改天再详谈）。而且，每个数，无论是实数还是复数，都是 e 的变体，这很美。
但实用与否，最重要的结果是认识到，令人困惑的方程可以通过恰当的类比变得直观。不要让像欧拉公式这样美丽的方程仍然是一个魔法咒语—— 基于类比构建 你知道要洞察方程内部的含义。
数学愉快。
附录(Appendix)
录屏很有趣，也欢迎反馈。我认为它有助于让想法更突出，并且浏览文章帮助我发现了自己直觉中的缺口。
参考资料：
- Brian Slesinsky 有一个简洁的 关于欧拉公式的演示
- Visual Complex Analysis 中对欧拉公式有很好的讨论——参见第10页 Google Book Preview
- 我做了一个关于 数学与类比 的讲座，更直观地解释了欧拉恒等式：
