双曲函数(Hyperbolic Functions)的直观指南

如果指数函数$e^x$是水，那么双曲函数($\cosh$和$\sinh$)就是氢和氧。它们是技术性的，鲜有讨论的组合成一个著名整体的部分。

诚然，双曲函数被我藏在阁楼的黑暗角落。它们是通过牵强的动机定义的（"还需要另一种构建双曲线的方法吗？"），然后被塞进积分表，很快就忘记了。我无法用它们思考。

经过大量挣扎，我找到了它们的目的：

什么是双曲函数（$\cosh$ 和 $\sinh$）？ 指数函数($e^x$)的偶/奇部分，有趣的是，可以构建双曲线。
为什么指数函数的某些部分被称为双曲？ 这是现代名称。这些函数是 太棒了 在构建双曲线方面如此擅长，以至于它们被定型为那个角色。（类似地，正弦函数并不是仅关于圆，我们不应该称其为“圆形正弦”！）
为什么双曲函数有用？ 一个更好的框架是：$e^x$ 的各个部分为什么有用？我们现在有了“迷你对数”和“迷你指数”，它们具有 $e$ 的著名性质的局部版本。
我能理解：双曲线如何与指数函数联系？ 双曲线来自反比关系（$xy = 1$ 或 $y = \frac{1}{x}$）。反比关系下的面积按对数增长，对应的坐标按指数增长。如果旋转双曲线，我们将公式旋转为 $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2 = 1$。此时面积/坐标遵循修正后的对数/指数：双曲函数。
实际上，我无法理解。 没关系，我们会逐步理解。这些函数历经多年才被发现，其行为远非显而易见。

这篇文章相当技术性：我们研究的是氢，而不是水。如果课上出现了双曲函数，你别无选择，不妨建立直观理解。如果你是为了兴趣而学，不必纠结细节，那是微积分学生的事。

作为预备知识，请牢记以下见解：

$e^x$ 是连续100%增长的过程
自然对数这是 $e^x$ 增长到给定值所需的时间

让我们开始吧。

第1部分：指数视角

背景：奇/偶函数

化合物可以分解为组成原子；数学对象与此类似。

数字 13 可以分解为偶部（12）和奇部（1），它们组合成整体：13 = 12 + 1。

这种偶/奇分解对函数同样适用：

$\displaystyle{f(x) = f_\text{even}(x) + f_\text{odd}(x)}$

函数难以分离，因为它们有多个值。我们寻找的分离是在未来值（$x > 0$）和过去值（$x < 0$）之间。

要看出未来和过去有何共同点，取它们的平均值：

$\displaystyle{f_\text{even}(x) = \text{avg}[\text{future} + \text{past}] = \frac{f(x) + f(-x)}{2}}$

要看出未来和过去有何差异，平均它们的差距：

$\displaystyle{f_\text{odd}(x) = \text{avg}[\text{future} - \text{past}] = \frac{f(x) - f(-x)}{2}}$

能否将这些部分组合回原函数？

$f_\text{even}(x) + f_\text{odd}(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2} = \frac{f(x) + f(-x) + f(x) - f(-x)}{2} = \frac{2f(x)}{2} = f(x)$

巧妙的技巧。我们可以将任何模式分解为偶部和奇部。

泰勒级数

这个泰勒级数（数学DNA）将函数表示为多项式：

$\displaystyle{f(x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3x^3 + \cdots}$

偶次幂（$x^0, x^2, ...$）在过去和未来是对称的（例如：$x^2 = (-x)^2$），而奇次幂是反对称的（$x^3 = - (-x)^3$）。

我们可以通过将函数的泰勒级数分离为偶/奇次幂来快速提取偶/奇部：

$\begin{align*} f(x) &= f_\text{even}(x) + f_\text{odd}(x) \\ f_\text{even}(x) &= c_0 + c_2 x^2 + c_4x^4 + \cdots \\ f_\text{odd}(x) &= c_1 x + c_3x^3 + c_5x^5 \cdots \end{align*}$

偶数和奇数指数函数

好了，我们有了这个技巧。为什么不尝试分解著名的指数函数呢？

$\begin{align*} e^x_{\text{even}} &= \text{avg}[e^x, e^{-x}] = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh(x) \\ e^x_\text{odd} &= \text{avg}[e^x, -e^{-x}] = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \sinh(x) \\ e^x &= e^x_{\text{even}} + e^x_{\text{odd}} = \cosh(x) + \sinh(x) \end{align*}$

我们不用别扭的 $e^x_{\text{even}}$ 和 $e^x_{\text{odd}}$，而是将偶数部分称为 $\cosh$（双曲余弦(hyperbolic cosine)），奇数部分称为 $\sinh$（双曲正弦(hyperbolic sine)）。（发音变化.)

那么，为什么用“双曲”(hyperbolic)这个形容词呢？欧拉(Euler)使用了量 $(e^{x} + e^{-x})$ 但没有给它一个专门的名称。后来兰伯特(Lambert)称它们为“超越对数函数”(transcendental logarithmic functions)，再后来人们发现了构造双曲线(hyperbola)的能力。这个用例就一直保留了下来。

说我老派也好，但 $e^x$ 的部分仅凭这个理由就已经很有趣了。我不需要双曲线来证明它们的用途。

第2部分：双曲函数长什么样？

让我们绘制 $\cosh$ 和 $\sinh$ 及其母函数(parent)的图形：

$e^x$ 是我们标准的指数函数(Exponential)，其泰勒级数(Taylor series)为：$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...$
$\cosh(x)$ 是一个平缓的碗形。它大致呈抛物线形，然后以指数方式扩展，其泰勒级数为：$\cosh(x) = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + ...$
$\sinh(x)$ 最初看起来是线性的，然后也呈指数增长： $\sinh(x) = x + \frac{x^3}{3!}...$

现在是一个通常令人困惑的问题： $\cosh(x)$ 中的参数 $x$ 到底是什么意思？

这没什么特别的！它和输入给任何指数函数的 $x$ 是一样的，通常代表增长时间：$e^x = e^{rt} = e^{100\% t}$。

我们可以将双曲三角函数(hyperbolic trig functions)理解为：

$\cosh(x)$：什么是偶部在 $x$ 个单位时间后 $e^x$ 的？
$\sinh(x)$：什么是奇部在 $x$ 个单位时间后 $e^x$ 的？

几个直觉检查：

$\cosh(0)$ 是多少？在 $x=0$（即 $\text{time} = 0$）时，我们还没有从 1.0（指数起点）移动。平均值是 1，且没有分离，因此 $\sinh(0) = 0$。
随着时间的推移，未来增长，过去（$e^{-x}$）消失。平均值变为 $\frac{e^x + 0}{2}$，平均差变为 $\frac{e^x - 0}{2}$。对于大的 $x$，我们预期 $\cosh(x) \sim \sinh(x) \sim 0.5 e^x$。

那么，关于逆像 $\text{acosh}$（也称为 $\text{arccosh}$ 或 $\text{arcosh}$）这样的双曲函数(hyperbolic functions)呢？“反双曲余弦(Inverse hyperbolic cosine)”听起来可怕，但可以这样理解：

$\ln(a)$：需要多长时间 $e^x$ 才能达到值 $a$？
$\text{acosh(a)}$：需要多长时间才能让偶 $e^x$ 的部分达到 $a$？这肯定比 $\ln(x)$ 花的时间更长，因为我们只用了偶指数增长泰勒级数(Taylor series)中的幂。
$\text{asinh(a)}$：多久之后奇 $e^x$ 的部分达到 $a$？类似地，这需要更多的时间 $\ln(x)$。

在上面的图形中，$\text{acosh}$ 和 $\text{asinh}$ 需要更多时间（即在自然对数(natural log)之上）。

直观上，我将各种双曲函数看作修改后的指数函数(exponentials)和对数函数(logarithms)：

$\cosh$ 和 $\sinh$ 是部分/延迟的指数曲线（在零附近有新的行为，过去仍有影响）。
$\text{acosh}$ 和 $\text{asinh}$ 是自然对数(Natural log)的较慢版本。$e^x$ 从 1 增长到 3 需要 $\ln(3) = 1.09$ 个单位时间，但仅 $e^x$ 的偶数部分做到这一点需要 $\text{acosh}(3) = 1.76$ 个单位时间。

第3部分：指数解释的应用

既然 $\cosh$ 和 $\sinh$ 是迷你指数函数(mini exponentials)（那些小天使！），我们可以猜测它们仍然具有有趣的性质。

等于自身二阶导数的函数

$e^x$ 是等于自身导数(derivative)的函数（$f' = f$）。

$\displaystyle{e^x \xrightarrow{\text{d/dx}} e^x \xrightarrow{\text{d/dx}} e^x \dots }$

好。正弦(Sine)和余弦(cosine)是等于自身第四导数(derivatives)的函数（$f'''' = f$）。

$\displaystyle{\sin(x) \xrightarrow{\text{d/dx}} \cos(x) \xrightarrow{\text{d/dx}} -\sin(x) \xrightarrow{\text{d/dx}} -\cos(x) \xrightarrow{\text{d/dx}} \sin(x) }$

经过一次导数(derivative)就重复，经过四次导数(derivatives)才重复……差距很大。中间还有别的吗？

当然。双曲函数等于它们自己的第二二阶导数($f'' = f$)：

$\displaystyle{\frac{d}{dx} \sinh(x) = \frac{d}{dx} \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh(x)}$

$\displaystyle{\frac{d}{dx} \cosh(x) = \frac{d}{dx} \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \sinh(x)}$

与$\sin$和$\cos$不同，这个循环中没有尴尬的负号，只是切换：

$\displaystyle{\sinh(x) \xrightarrow{\text{d/dx}} \cosh(x) \xrightarrow{\text{d/dx}} \sinh(x) \xrightarrow{\text{d/dx}} \cosh(x) \xrightarrow{\text{d/dx}} \dots }$

整洁。双曲函数就像"半指数"，因为需要两次微分才能完成循环。这就是它们在微积分中很有用的原因——而不是因为我们关心双曲线上的坐标！

理解积分表

你会在一些棘手的积分和导数的表中看到双曲函数：

忽略细节。让我们看一般模式，不要迷失在细节中。

我们有标准关系：

$\displaystyle{\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}}$

由于双曲函数是指数函数的变体，我们期望$\frac{d}{dx}\text{asinh}$类似于$\frac{1}{x}$。从表中：

$\displaystyle{\frac{d}{dx} \text{asinh}(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}}$

当$x$很大时，"$+1$"无关紧要，导数变为：

$\displaystyle{\frac{d}{dx} \text{asinh}(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \sim \frac{1}{\sqrt{x^2 }} \sim \frac{1}{x}}$

啊！函数$\text{asinh}(x)$的行为类似于$\ln(x)$，除了$x$很小的情况，此时$+1$项仍然重要。没有这个指数视角，我可能会 毫无头绪 不清楚$\text{asinh}$的导数应该是什么样子。（你想要确定双曲线中y坐标a的反函数的变化率？什么？)

正弦和余弦的新描述

记住，我们现在可以随时拆分指数函数：

$\displaystyle{e^x = \cosh(x) + \sinh(x)}$

那么，如果我们代入$ix$呢？我们会得到

$\displaystyle{e^{ix} = \cosh(ix) + \sinh(ix)}$

但是欧拉公式(Euler's formula) 表明：

$\displaystyle{e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)}$

哇哦。每个函数的偶/奇部分必须相同，所以：

$\displaystyle{\cosh(ix) = \cos(x)}$

$\displaystyle{\sinh(ix) = i \sin(x)}$

如果我们把虚轴输入到我们日常的指数函数中，我们得到的是在圆上的三角函数。旋转是通过参数$ix$进行的，而不是在函数$e^{ix}$中。（可以这么说，不是转动方向盘，而是转动发动机。）

在正弦的情况下，我们有一个尴尬的虚数项需要处理：

$\displaystyle{\sin(x) = \frac{\sinh(ix)}{i} = -i \sinh(ix)}$

这些联系在复分析中更有用（还在学习中...），通常你更愿意向函数传递实参数。

新的三角恒等式

一些新的恒等式没有坏处。通过一些快速代数，我们可以将常规三角恒等式转化为它们的双曲版本。从以下开始：

$\displaystyle{\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1}$

我们代入 $\cos(x) = \cosh(ix)$ 和 $\sin(x) = -i \sinh(ix)$ 得到：

$\begin{align*} \cosh^2(ix) + [-i\sinh(ix)]^2 &= 1 \\ \cosh^2(ix) + i^2\sinh^2(ix) &= 1 \\ \cosh^2(ix) -\sinh^2(ix) &= 1 \end{align*}$

现在，项 $ix$ 只是一个参数。为简化，设 $z = ix$ 并写下：

$\displaystyle{\cosh(z)^2 -\sinh(z)^2 = 1}$

我们可以省略具体参数，写成：

$\displaystyle{\cosh^2 -\sinh^2 = 1}$

此模式普遍适用。要将常规三角公式转换为其双曲等价形式（奥斯本法则），进行互换：

$\cos^2 \Rightarrow \cosh^2$
$\sin^2 \Rightarrow -\sinh^2$（由于将 $\sin$ 转换为 $\sinh$ 时的 $i$）

机器学习函数

在寻找 $\cosh$ 的应用时，我偶然发现了这个函数，它用于机器学习:

$\displaystyle{\text{logcosh(x)} = \ln(\cosh(x))}$

直接解释令人困惑："取双曲线中 x 坐标的自然对数"。嗯？这代表什么？

指数视角使其更简单：

我们不想对常规指数函数取自然对数，因为 $\ln(e^x) = x$。像 $x$（更确切地说，绝对值 $|x|$）这样的函数太尖，在零处没有清晰的导数(Derivative)。
然而，$\cosh(x)$ 只有 类似于 常规指数函数。它的自然对数将只类似 $f(x) = x$。得到的函数 $\ln(\cosh(x))$ 在零附近呈抛物线形，随着增长呈线性：

这是如何工作的？对于小的 $x$：

$\cosh(x) \approx 1 + \frac{x^2}{2}$。这些是它的泰勒级数的前几项。
$\ln(1 + x) \approx x$。以100%利率从1.0增长到1+.01所需的时间仅为0.01个单位（不足以复利）
综合这些近似，我们得到：$\ln(\cosh(x)) \approx \ln(1 + \frac{x^2}{2}) \approx \frac{x^2}{2}$。

随着 $x$ 增大，我们趋近一条偏移直线：

$\displaystyle{\text{logcosh(x)} = \ln(\cosh(x)) \approx \ln(\frac{e^x + 0}{2}) = \ln(e^x) - \ln(2) = x - \ln(2)}$

酷！我们有了一个抛物线与直线的混合体。不需要双曲线，我们处理的是指数函数的变体。

额外内容：对齐

也许我们可以让 $\text{logcosh}$ 变成直线 $y = x$，而不是偏移直线 $y = x - \ln(2)$。我们可以添加一项来抵消 $-\ln(2)$：

$\displaystyle{y\ =\ln\left(\cosh\left(x\right)\right)+\ln\left(2\right)\left(1-e^{-0.1x^{2}}\right)}$

注释：

我们的新函数（紫色）在 $x$ 较小时仍然看起来像抛物线。
$e^{-0.1x^2}$ 中的 $x^2$ 使函数对称。
调整常数 $0.1$ 会改变我们接近直线 $y=x$ 的速度。

不久前，我还不知道如何让抛物线平滑过渡为直线。但是将 $\cosh$ 视为"短期抛物线，长期指数"给我们提供了线索：使用自然对数来抵消"长期指数"的行为，从而得到"短期抛物线，长期线性"。

双曲正切

双曲正切被用作机器学习激活函数：

$\displaystyle{\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{\text{odd part of } e^x}{\text{even part of } e^x}}$

它的含义是什么？它是指数函数经过给定时间后奇部与偶部的比值。

在 $x=0$ 处，偶部占主导（过去和未来完全对称）
随着 $x$ 增大，奇部追上，比值趋近于1（对称与反对称各半）

函数 $\tanh$ 以 0 为中心，在 -1 和 1 之间平滑变化。随着 $x$ 增大，$\cosh(x) \sim \sinh(x) \sim 0.5e^x$，且 $\frac{0.5e^x}{0.5e^x} = 1$。

第4部分：几何视角

好吧。我们已经走了很远，但没有谈论双曲线。为什么？

嗯，看看它。它们不是日常形状。它们的目的是什么？悬链线，轨道力学？那是一个应用但不是它们存在的原因。

是时候建立直觉了。

反函数双曲线 (xy=1)

双曲线由反函数构成，例如 $y = \frac{1}{x}$。这是一个简单而有用的关系：$x=2$ 的倒数是多少？$y=1/2$。将它们相乘就撤销了所有缩放：$xy=1$。

一个迫切的数学问题可能是：当然，我们有这个反比关系，但下面的面积是多少？

用微积分术语来说，就是：

$\displaystyle{\text{area} = \int_{1}^{x} \frac{1}{x} dx}$

其中

$\int_1^x$ 指定了边界。我们从 $x=1$ 开始，到某个更大的 $x$ 值结束（我们不能从 $x=0$ 开始捕获面积，因为那里趋于无穷。）
$\frac{1}{x} dx$ 是我们沿着每个 x 坐标移动时收集的面积

这个积分很难求。幸运的是，自然对数的一个定义是：

$\displaystyle{\ln(x) = \int \frac{1}{x}}$

因此我们有了现成的解。从 $x=1$ 开始，上方的 x 坐标取何值能围出 5 单位的面积？我们想求解：

$\displaystyle{5 = \int_{1}^{x} \frac{1}{x} dx = \ln(x)}$

这意味着

$\begin{align*} 5 &= \ln(x) \\ e^5 &= e^{\ln(x)} \\ 148.41 &= x \end{align*}$

哇！这么大的坐标才围出区区 5 单位的面积。

一般来说，我们有

$\displaystyle{e^{\text{area}} = \text{x-coordinate}}$

并且该位置的 y 坐标（反函数）为 $y = \frac{1}{x} = \frac{1}{e^{\text{area}}} = e^{-\text{area}}$。

旋转双曲线

有多种方法构成双曲线。如果旋转 45 度，我们会得到类似这样的图形：

如何旋转方程 $xy=1$？标准方法是使用旋转矩阵但我们用...来进行旋转复数.

将点视为复数：$(x, y) \rightarrow x + yi$。一个样本点 $(a + bi)$ 位于 旋转的 双曲线上，如果在撤销旋转后，我们看到原始的 $xy = 1$ 关系。

候选点：($a + bi$)
逆时针旋转45度：$\frac{(1 + i)}{\sqrt{2}}$

$\displaystyle{\text{original point} = \text{candidiate} \cdot \text{rotation} }$

$\displaystyle{= (a + bi)\frac{(1 + i)}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}[(a + bi^2) + (ai + bi)] = \frac{(a - b)}{\sqrt{2}} + \frac{(a + b)}{\sqrt{2}}i}$

好了，我们将候选点转回其原始（旋转前）的点，该点位于

$\displaystyle{(x, y) = \left( \frac{(a - b)}{\sqrt{2}}, \frac{(a + b)}{\sqrt{2}} \right) }$

它何时满足 $xy=1$ 关系？

$\begin{align*} \frac{(a-b)}{\sqrt{2}}\frac{(a+b)}{\sqrt{2}} &= 1 \\ (a - b)(a + b) &= 2 \\ a^2 - b^2 &= 2 \end{align*}$

好的！如果 $a^2 - b^2 = 2$ 或 $\text{实部模}^2 - \text{虚部模}^2 = 2$，那么我们的候选点就在旋转后的双曲线上。我们可以用 $(x, y)$ 表示这个条件为：

$\displaystyle{x^2 - y^2 = 2}$

快完成了。原始双曲线 ($xy = 1$) 包含点 $(1, 1)$，该点到原点的距离为 $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。约束条件实际上是 $x^2 - y^2 = r^2$。

如果我们将半径设为1，就得到了单位双曲线的公式：

$\displaystyle{x^2 - y^2 = 1}$

嗒哒！一个漂亮、简洁的方程，但我也可以将其视为 $(x - y)(x + y) = 1$，这暗示了逆关系。

好了。接下来是你在大多数教科书中会看到的可怕图示：

我们有一个旋转后的双曲线，想要在红色区域中捕获 $a/2$ 个单位的面积。（完整的 $a$ 个单位将包括 x 轴下方的面积。哪些函数决定了捕获该面积的坐标？）

结果证明，指数函数的偶部和奇部，即 $\cosh$ 和 $\sinh$，就是答案。V. G. Shervatot 在 1950 年代有一本小册子《双曲函数》(Hyperbolic Functions)，进行推导关键直觉是认识到双曲线（一般意义上）以对数方式捕获面积，因此所需的坐标指数增长：

$xy = 1$ 双曲线（捕获曲线下的面积）
- $\text{x坐标} = e^{\text{面积}}$
- $\text{y坐标} = \frac{1}{e^{\text{面积}}} = e^{-\text{面积}}$
$x^2 - y^2 = 1$ 双曲线（每张图捕获 $\frac{\text{面积}}{2}$）
- $\text{x坐标} = \frac{e^{\text{面积}/2} + e^{-\text{面积}/2}}{2} = \cosh(x)$
- $\text{y坐标} = \frac{e^{\text{面积}/2} - e^{-\text{面积}/2}}{2} = \sinh(x)$

需要说明的是：这 不明显 就是指数函数的偶部和奇部决定了旋转双曲线中捕获面积的坐标。

（插一句：双曲线可以用到固定点的距离或圆锥曲线来定义，但这无法直观解释为什么涉及指数函数。）

正割/切线双曲线

另一个困惑是，为什么我们需要新的函数来参数化双曲线，而现有的三角函数也能做到：

从一个圆开始
对于任意角度 $x$，我们有坐标 $(x, y)$ = $(\cos(x), \sin(x))$
如果我们反转 x 坐标（双曲线就是这样），得到 $x = \frac{1}{\cos(x)} = \sec(x)$
如果我们按此缩放 y 坐标 相同的反转，得到 $y = \sin(x) \cdot \frac{1}{\cos(x)} = \tan(x)$

这真的能构成双曲线吗？它满足条件：

$x^2 - y^2 = 1$（旋转双曲线所需的关系）
$\sec^2(t) - \tan^2(t) = 1$（由著名的 $\sec^2(t) = 1 + \tan^2(t)$ 变形而来）

这段视频展示了不同参数化的行为（打开计算器):

我们熟悉的三角函数 $(\sec(t), \tan(t))$ 描绘 相同的双曲线 与新奇函数 $(\cosh(t), \sinh(t))$ 相同的曲线。它们只是速度不同。而参数 $t$ 只是我们代入三角函数的普通角度。

尽管双曲线有多种参数化方式，但 $\cosh$ 和 $\sinh$ 是用指数函数定义的，并且在欧拉公式中是 $\sin$ 和 $\cos$ 的类比。它们可以冠以官方双曲参数化的王冠。

重新审视反函数

反双曲函数从坐标回到面积。假设我在单位双曲线上，x坐标为5。我围出了多少面积？$\text{acosh}(5) = 2.29$。

反函数有时被称为 $\text{arcosh}$（面积双曲余弦）。这迫使我们思考坐标到面积的转换。我更喜欢思考指数，并使用 $\text{acosh}$（反双曲余弦）。面积是一种解释，不要强迫我接受它。

我们可以通过以下方式推导反函数的公式求解 $x = \cosh(y)$ 和 $x = \sinh(y)$：

$\displaystyle{\text{acosh(x)} = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})}$

$\displaystyle{\text{asinh(x)} = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})}$

正如预期，这些看起来像修改过的对数。随着 $x$ 增长，它们趋近于 $\ln(x + x) = \ln(2x) = \ln(x) + \ln(2)$，即带有偏移的自然对数。

第5部分：几何解释的应用

悬链线

几何视图的主要应用是 $\cosh(x)$ 是绳子悬挂在两个固定点之间时所呈现的形状。它不完全是一个抛物线，而是一个悬链线曲线，圣路易斯拱门作为一个著名例子。以下是更多曲线（来源）遵循 $\cosh(x)$：

构建这条曲线的过程相当微妙：

首先，创建一个旋转双曲线 $x^2 - y^2 = 1$
不用双曲线，改为绘制 仅仅是x坐标.
这个的图形 仅仅是x坐标 产生一条新曲线，模拟绳子悬挂的形状

这个复杂的过程并不是 $\cosh$ 被发现的方式。有一个微分方程模拟悬挂绳索内部的力：

$\displaystyle{\frac{dy}{dx} = \frac{s}{a}}$

要求解求解微分方程，我们需要 $\cosh$ 方便的指数性质，最终得到：

$\displaystyle{y = a \cosh(\frac{x}{a})}$

$\cosh$ 参数化双曲线很巧妙，但那个解释与它为什么是解无关。我认为“悬链线遵循指数函数的偶函数部分”，而不是“悬链线遵循双曲线的x坐标”。

弧长等于面积的形状

指数函数 $e^x$ 下的面积等于当前值（加上一个常数）。考虑从 $x=0$ 到 $x=2$ 的区域：

曲线下面积：$\int_0^2 e^x = e^2 - e^0 = 7.389 - 1 = 6.389$
当前值：$e^2 = 7.389$
模式：$\text{当前值} = \text{曲线下面积} - 1$

相当简洁的联系，对吧？（别忘了 $+C$）

那么 $\cosh$ 呢？

当前值：$\cosh(x)$
曲线下面积：$\int \cosh(x) = \sinh(x)$
弧长弧长：$\int \sqrt{1 + (\cosh'(x))^2} = \int \sqrt{1 + \sinh^2(x)} = \int \cosh(x) = \sinh(x)$
模式：$\text{曲线下面积} = \text{弧长} = \sqrt{\text{当前值}^2 - 1}$

$\cosh$ 的当前值可以使用恒等式 $\sqrt{\cosh^2 - 1} = \sinh$ 进行替换。

对于大的 $x$，$-1$ 可以忽略，$\sqrt{\text{当前值}^2 - 1} \sim \text{当前值}$。因此，对于大的 $x$，我们得到面积、弧长和当前值相等（想象绿色的绳子垂下，刚好接触x轴）。这比普通的 $e^x$ 联系更紧密，不错！

（另一天的直觉：数学处理无量纲量。$13 \ \text{cm}$ 不能直接与 $13 \ \text{cm}^2$ 比较。然而在数学课上，我们可以解 $x = 1 + x^2$，却没人关心常数项、一次项和二次项被联合使用。）

双曲几何

这个宇宙的形状可能是一条双曲线，并且双曲几何用于狭义相对论（超出了我的薪资水平）。如果我们确实生活在一个巨大的双曲线中，我，呃，可能不得不收回我的“指数优先”立场。

总结

双曲函数可以看作是指数函数（关联时间和增长）或几何函数（关联面积和坐标）。一般来说，双曲线具有对数面积和指数坐标。

这是一个漫长的旅程，但这些函数不再困扰我的阁楼了。

数学愉快。