领悟 虚数作为旋转 是我最喜欢的顿悟时刻之一：
i，-1的平方根，是一个不同维度的数！一旦理解了这一点，我们就可以用乘法来“组合”两个复数的旋转：
哇，这太让我震惊了：不用正弦或余弦就能相加角度！不幸的是，我没有直观理解 为什么 这是如何做到的。让我们来纠正这个问题！
无聊的解释：如何？
这是关于为什么复数乘法会相加角度的常见解释。首先，将复数写成极坐标形式（半径和角度）：
接下来，取乘积，按实部和虚部分组：
![\displaystyle{ + i (\cos(a) \cdot \sin(b) + \cos(b) \cdot \sin(a))] }](../../wp-content/plugins/wp-latexrender/pictures/1f49822216f2349b077286821a1ccc11.png)
最后，注意这如何与正弦和余弦的角度相加公式相匹配：
就是这样！什么？你没有直观地想到正弦和余弦展开？太糟糕了，数学验证正确！
...
还在看吗？很好。问题是我们失去了神奇之处：这就像是通过分析字母分布来说两首诗相似。精确但不令人满意！
我和其他人一样喜欢正弦，但细节在于 在……之后 看到关系明朗的那一刻。
有趣的解释：为什么！
我们的目标是什么来着？哦对了——看到 为什么 我们可以将两个复数相乘并相加它们的角度。
首先，我们来弄清楚乘法的作用：
- 常规乘法 （“乘以2”）缩放一个数（使其变大或变小）
- 虚数乘法 （“乘以i”）将你旋转90度
如果我们把一个复数的效果结合起来呢？乘以(2 + i)意味着“将你的数加倍——哦，再加上一个垂直旋转”。
快速示例：$4 \cdot (3+i) = 4 \cdot 3 + 4 \cdot i = 12 + 4i$
也就是说，把我们原来的数（4）放大3倍（4 * 3），然后 然后 加上旋转效果（+4i）。同样，如果我们只想要旋转，就乘以"i"；如果只想要缩放，就乘以普通的老3。复数（a + bi）兼具两种效果。
可视化复数乘法
那很简单——一个实数（4）乘以一个复数（3+i）。那么两个复数（"三角形"）呢，比如 $(3 + 4i) \cdot (2 + 3i)$？
说到点子上了！我认为这相当于"把我们原来的三角形缩放（乘以2），再加上一个缩放并旋转的三角形（乘以3i）"。最终终点就是新的复数。
但是……我喜欢另类解释！这里还有另一种：
我们不按三角形分组乘法，而是分析FOIL（首项、外项、内项、末项）的每一部分。每个分量相加会带我们沿一条 路径 路径走，并且终点相同！
但角度呢？
啊，角度。看起来我们是在相加角度，但能确定吗？
几何船长来救场！哦，从九年级起我就多么想念你。结果（蓝色虚线）是否与将三角形彼此叠放的角度相同？
正常情况下，我们从三角形（3 + 4i）开始，再叠上另一个三角形（2 + 3i）得到组合后的角度。
乘法之后，我们从缩放后的三角形（2倍）开始，再叠上另一个缩放后的三角形（乘以3i）。尽管变大了， 相似三角形 角度仍相同——只是变大了（但别问它的大小，好吗？）。
我们将原始三角形放大了（角度不变），然后"叠上"另一个缩放后的三角形（角度不变），所以结果相同！我喜欢看这一切融合起来——我们放大、旋转，然后砰——到达组合角度。这无关"虚数"——而是一种无需三角学就能组合三角形的方法！
副作用可能包括缩放
注意我们是在制作原始三角形的更大副本并将它们相加。与开始的蓝色三角形相比，大小变化了多少？
好吧，让我们把原始长度称为"x"。不管它是什么，我们最终得到一个叠加在上面的新三角形，其大小为2x + 3x（一般形式为a + bi）。根据毕达哥拉斯（我爱那位绅士），"真实"距离是
也就是说，我们把原始距离（x）按新三角形的 大小 （a + bi的大小）进行缩放。
如果新三角形的大小为1（$a^2 + b^2 = 1$），那么距离就不会改变！
一些想法
我不讨厌严谨的证明——我讨厌假装它们有帮助而实际上没有。证明有两个目标：
- 显示 那个 一个结果是正确的。这是为了数学家展示结果而设计的——学生们很少质疑数学课堂中事实的有效性。
- 显示 为什么 一个结果是正确的。
真正令人满意的洞察来自玩转类比和示例——而不是阅读提炼过的、极简的证明（尤其是那些诉诸正弦/余弦加法公式的证明！）。
波利亚说得好：“当你确信这个定理是正确的，你才开始证明它。”
数学愉快。