勾股定理(Pythagorean Theorem)的惊人用途

勾股定理是个明星：如果一个方程能进入 the Simpsons，我想说它很出名。

但大多数人认为这个公式只适用于三角形和几何。再想想。勾股定理可以用于 任意形状 以及用于 任何对数字进行平方的公式.

继续阅读，看看这个2500年前的想法如何帮助我们理解计算机科学、物理学，甚至Web 2.0社交网络的价值。

理解面积如何工作

我喜欢以新的视角看待旧话题，并发现其中的深度。例如，我意识到我并没有 深刻理解 对面积的直观理解，直到写了这篇文章。是的，我们能脱口而出公式，但我们真的 理解 理解面积的本质吗？这个事实可能会让你惊讶：

的面积 任意形状 可以从 任何线段长度的平方。在正方形中，我们的“线段”通常是一条边，面积就是那条边的平方（边5，面积25）。在圆中，线段通常是半径，面积是π * r^2（半径5，面积25π）。很简单。

我们可以选取任意线段 并从中计算出面积：每条线段在这个通用方程中都有一个“面积因子”：

形状	线段	面积	面积因子
正方形	边 [s]	s2	1
正方形	周长 [p]	1/16 p2	1/16
正方形	对角线 [d]	1/2 d2	1/2
圆	半径 [r]	πr2	π (3.14159...)

例如，看正方形的对角线（“d”）。常规边是$\frac{d}{\sqrt{2}}$，所以面积变成$\frac{1}{2} d^2$。在这种情况下，如果我们想用对角线作为要平方的线段，我们的“面积常数”是1/2。

现在，使用 整个周长（"p"） 作为线段。边长为 $\frac{p}{4}$，因此面积为 $\frac{p^2}{16}$。如果我们想使用 $p^2$，面积因子就是 1/16。

我们可以选择任意线段吗？

没错。总是存在 一些 “传统”线段（正方形的边）与所选线段（周长，恰好是边的4倍）之间的关系。由于我们可以在“传统”线段和“新”线段之间转换，使用哪一条并不重要——只是相乘时会有不同的面积因子。

我们可以选择任意形状吗？

有点类似。给定的面积公式适用于所有 相似 相似形状，其中“相似”是指“彼此缩放后的版本”。例如：

• 所有正方形都相似（面积总是 $s^2$）
• 所有圆形也都相似（面积总是 $\pi r^2$）
• 三角形是 不相似：有些胖有些瘦——每种“类型”的三角形都有自己基于所用线段的面积因子。改变三角形的形状，方程也会改变。

是的，每个三角形都遵循“面积 = 1/2 * 底 * 高”的规则。但底和高之间的关系取决于三角形的类型（底 = 2 * 高，底 = 3 * 高等），所以即使如此，面积因子也会不同。

为什么我们需要相似形状才能保持相同的面积方程？直观地说，当缩放一个形状时，改变的是绝对大小，而不是形状内部的相对比例。正方形无论怎么缩放，其周长都等于 4 * 边长。

因为“面积因子”基于形状内部的比率，任何具有相同“比率”的形状都会遵循相同的公式。这有点像说每个人的臂展大约等于身高。无论你是 NBA 篮球运动员还是小孩，这个等式都成立，因为一切都是相对的。（这个直观的论证可能无法让数学思维满意——在这种情况下，请向 Euclid).

我希望这些高层次的概念有意义：

• 面积可以从 任何线段长度的平方，而不仅仅是“边长”或“半径”
• 每个线段都有不同的“面积因子”
• 相同面积公式适用于相似形状

直观理解勾股定理

我们都同意勾股定理是正确的（这里有 75个证明）。但大多数证明提供的是机械式的理解：重新排列形状，瞧，等式成立。但直觉上，真的清楚为什么它 必须 是 a² + b² = c² 而不是 2a² + b² = c²？不？好吧，让我们建立一些直觉。

我们需要一个关键概念： 任何直角三角形都可以分割成两个相似的直角三角形。

很酷吧？过该点作垂线将直角三角形分成两个较小的三角形。几何爱好者，请自己尝试证明：使用角-角-角相似。

这张图也清楚地展示了一点：

• 大面积 = 中面积 + 小面积

有道理，对吧？小三角形是从大三角形中切出来的，所以它们的面积相加必须等于大三角形的面积。关键在于：因为 三角形相似，它们具有相同的面积方程。

设长边为c（5），中边为b（4），短边为a（3）。这些三角形的面积方程为：

其中F是某个面积因子（这里为6/25或0.24；具体数值不重要）。现在我们来操作一下这个方程：

两边同时除以F，得到：

这就是我们著名的定理！你早就知道它是正确的，但现在你 知道原因:

• 一个三角形可以分成两个较小的相似三角形
• 由于面积必须相加，决定面积的斜边的平方也必须相加。

理解这一点需要一点时间，但我希望结果很清楚。这些小三角形怎么可能 不 加起来等于大三角形呢？

实际上，勾股定理依赖于欧几里得几何的假设，例如在球面上就不成立。但我们把这个问题留到以后再讨论。

有用的应用：尝试任意形状

我们在图中使用了三角形，这是最简单的二维形状。但线段可以属于 任意 任何形状。以圆形为例：

那么，当我们把它们加起来时会发生什么？

你猜对了：半径为5的圆 = 半径为4的圆 + 半径为3的圆。

很神奇吧？我们可以将勾股定理乘以我们的面积因子（这里是π），从而得出适用于任何形状的关系。

记住，线段可以是 形状的任何部分。我们可以选择圆的半径、直径或周长——会有不同的面积因子，但3-4-5关系仍然成立。

所以，无论你是在累加披萨还是理查德·尼克松面具，勾股定理都能帮助你关联任何相似形状的面积。这可是小学里没教过的东西。

有用的应用：平方的守恒

勾股定理适用于 任意 任何包含平方的方程。三角形分割意味着你可以将任意数量（c²）拆分成两个较小的数量（a² + b²) 基于直角三角形的边长。实际上,边的“长度”可以表示距离、能量、功、时间,甚至社交网络中的人数:

社交网络。

Metcalfe's Law (如果你相信它的话)表明网络的价值约为 n² (关系数量)。就价值而言,

• 5000万人的网络 = 4000万人的网络 + 3000万人的网络。

相当惊人——第二和第三个网络总共有7000万人,但它们不是一个整体。拥有5000万人的网络与其余网络的总和一样有价值。

计算机科学(Computer Science)

某些具有 n 个输入的程序需要 n² 时间运行(例如冒泡排序)。就处理时间而言:

• 50个输入 = 40个输入 + 30个输入

相当有趣。分布在两个组中的70个元素可以与一个组中的50个元素一样快地排序。(是的,可能有恒定的开销/启动时间,先凑合着看吧)。

鉴于这种关系,将元素划分到不同的组中然后对子组进行排序是有意义的。事实上,这是快速排序(最好的通用排序方法之一)所采用的方法。勾股定理有助于说明为什么对50个组合元素进行排序可能和对30和40个单独元素进行排序一样慢。

表面积

球体的表面积是 4πr²。因此,就球体的表面积而言:

• 半径50的面积 = 半径40的面积 + 半径30的面积

我们身边不常有球体,但船体可能有相同的关系(它们就像是变形的球体,对吧?)。假设船只形状相似,那么涂一艘50英尺游艇所需的油漆可以同时涂一艘40英尺和一艘30英尺的游艇。哇哦。

物理

如果你还记得以前的物理课,质量为 m、速度为 v 的物体的动能是 1/2 m v²。就能量而言,

• 500 mph的能量 = 400 mph的能量 + 300 mph的能量

用加速一颗子弹到500英里/小时的能量,我们可以加速另外两颗子弹到400和300英里/小时。

尝试任意数字

你可以使用任何构成直角三角形的数字集合。例如,输入一个总量(50)和一个子部分(30),其余部分将显示在下方:

假设你想知道一个大披萨(16英寸)是否比两个中披萨(12英寸)大。将C设为16,A设为12。看起来这个大披萨可以分成一个12英寸和一个10.5英寸的披萨,所以两个中披萨实际上更大。

享受你的新见解

在我们的整个学生时代,我们都认为勾股定理是关于三角形和几何的。 它不是。

当你看到一个直角三角形时,意识到边可以表示任何形状的一部分的长度,并且边可以表示 任何方程 中的变量,该变量有平方。也许这只是我的想法,但我发现这相当令人惊讶。

这个美丽的定理还有很多很多内容,例如 测量任意距离。享受吧。

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