勾股定理(Pythagorean Theorem)常被视为一个关于 直角三角形.
让我们尝试一个更宽泛的理解： 勾股定理解释了二维面积如何组合。
我的意思是这样的。假设我们手头有两条线段（我们创造性地命名为 线段A 和 线段B）。我们可以旋转它们来生成面积：
嗯，挺有趣的。奥妙在哪里？
那么，如果我们在旋转前 组合 这些线段，会发生什么？
哇。扫过的面积似乎改变了。难道仅仅 移动 （而不拉长）线段就会改变面积吗？
数字运算
目测上面的图示，面积显然增大了。我们来具体计算一下。
举个例子，假设 $a = 6$ 和 $b = 8$。当它们旋转成圆时（$\text{面积} = \pi r^2$），我们得到：
总面积为 $36\pi + 64\pi = 100\pi$。
组合后的线段长度为 $c = a + b = 14$，当我们旋转它时，得到：
哎呀。这比之前大得多了。
问题
发生了什么？好吧，圆A并没有变化。但圆B比环B小得多（看看就知道了！）。
问题在于：当线段B独自旋转时，它扫过的最大半径只有8个单位。当我们将线段B连接到线段A上时，它伸出的距离为6+8=14个单位。现在圆扫过的面积更大，意味着圆B比环B小。
从数学上看，情况是这样的。
![\displaystyle{\underbrace{[a + b]^2}_{\text{Circle C}} = \underbrace{a^2}_{\text{Circle A}} + \underbrace{2ab + b^2}_{\text{Ring B}} > \underbrace{a^2}_{\text{Circle A}} + \underbrace{b^2}_{\text{Circle B}}}](../../wp-content/plugins/wp-latexrender/pictures/570b9a017be116fe0c695ad715899195.png)
暂时忽略$\pi$，因为它是公共项。展开$c^2 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$时，出现了一个新的$2ab$项，它必须归到某处。由于圆A不变，这个额外的面积必然出现在环B中。
让事物对齐
这……面积变化似乎有点道理，但我不喜欢。仅仅移动东西不应该有这样的效果！面积有没有可能保持不变呢？
当然，如果去掉$2ab$项的话。简单的方法是设$a=0$，但你知道那是作弊。
我们来找一个巧妙的方法。直观上，问题是： 线段A的长度如何 不 帮助旋转的线段B？
倾斜它！当我们旋转线段B时，线段A的长度带来的好处就减少了。梯子平放在地上没用的，对吧？
当我们完全垂直时，$2ab$项消失，圆B等于环B。（用向量术语来说， 点积(dot product) 内积为零：$a \cdot b = 0$）。
啊——这就是勾股定理(Pythagorean Theorem)的含义。 当线段互相垂直时，无论线段是组合还是分离，扫过的面积相同。
验证数学
确保数字对上是没坏处的。
由于线段现在垂直，我们知道$c^2 = a^2 + b^2$，所以：
现在我们可以计算：
瞧！环和圆扫过的面积相同。
在我们的例子中，圆A = $36\pi$，圆B = $64\pi$，$c = \sqrt{36 + 64} = 10$。环的宽度为$10 - 6 = 4$。
总结
勾股定理(Pythagorean Theorem)不仅仅与三角形有关。当分量垂直时，它们产生的面积与它们的排列方式无关。
附录：杂项思考
- 这个 余弦定律 明确显示了在勾股定理中被假设为零的$2ab$项。如果我们将线段B向内倾斜，圆环B的面积甚至可以“为负”。
- 我们可以组合来自 多维 ($x^2 + y^2 + z^2 + ...$)的面积。只要它们互相垂直，每个维度扫过的面积就是总和扫过的面积。
- 勾股定理是二维面积域中的一个关系($c^2 = a^2 + b^2$)。我们从此出发，将其转换为一维域中的关系($c = \sqrt{a^2 + b^2}$)。这种转换如此频繁，以至于我们忘记了它从何开始。
- 更多关于扫过的面积： https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PythFromRing.shtml
数学愉快。