向量微积分：理解点积(Dot Product)

我认为点积是方向乘法。乘法不止于此重复计数: 这是将一个事物的本质应用于另一个事物。（例如，复数乘法是旋转，而非重复计数。）

处理简单增长率时，乘法将一个比率缩放另一个比率：

"3 x 4" 可以理解为"将你的3倍增长放大4倍，得到12倍"

处理向量（“方向性增长”）时，我们可以进行以下几种运算：

向量相加： 累加多个向量中包含的增长。
乘以常数: 使现有向量更强（方向相同）。
点积： 将一个向量的方向增长应用到另一个向量上。结果是我们使原始向量增强了多少（正、负或零）。

今天我们将建立对点积工作方式的直觉。

先解决公式

你在各处都见过点积公式：

$\displaystyle{\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(\theta) }$

还有这样的解释：“嗯，比利，余弦定律（你还记得，对吧？）说以下计算是相同的，所以它们相同。”这还不够好——它没有让人恍然大悟！除了计算，它还意味着什么？

目标是将一个向量应用于另一个。上面的等式展示了实现这一点的两种方式：

直角坐标系视角：组合x和y分量
极坐标系视角：组合模长和角度

“这个 = 那个”的等式只是意味着“这里有两种等效的方式来‘方向性地相乘’向量”。

将数字视为向量

我们从简单的开始，把 3 x 4 当作点积：

$\displaystyle{(3, 0) \cdot (4,0)}$

数字 3 是单一维度上的“方向性增长”（比如 x 轴），而 4 是同一方向上的“方向性增长”。3 x 4 = 12 意味着我们在单一维度上获得 12 倍的增长。好的。

现在，假设 3 和 4 指的是不同的维度。假设 3 表示“香蕉数量翻三倍”（x 轴），4 表示“橙子数量翻四倍”（y 轴）。现在它们不是同一类型的数字：在我们的“香蕉、橙子”宇宙中应用增长（使用点积）会发生什么？

(3,0) 意味着"香蕉翻三倍，橙子清零"
(0,4) 意味着"香蕉清零，橙子翻四倍"

将 (0,4) 应用于 (3,0) 意味着“摧毁你的香蕉增长，翻四倍你的橙子增长”。但 (3,0) 一开始就没有橙子增长，所以最终结果是 0（“摧毁你所有的水果，伙计”）。

$\displaystyle{(3, 0) \cdot (0, 4) = 0}$

看到我们是“应用”而不是简单相加了吗？对于常规加法，我们是将向量揉在一起：(3,0) + (0,4) = (3,4)[一个使你的橙子翻三倍和并翻四倍香蕉的向量]。

“应用”是不同的。我们根据第二个向量的规则来改变原始向量。而 (0,4) 的规则是“摧毁你的香蕉增长，并翻四倍你的橙子增长”。当应用于只有香蕉的 (3,0) 时，我们一无所获。

点积过程的最终结果可以是：

零：我们在原始方向上没有任何增长
正数：我们在原始方向上有一些增长
负数：我们在原始方向上有负（反向）增长

理解计算过程

“应用向量”仍然有点抽象。我认为“一个向量给了另一个多少能量/推动力？”这是我的可视化方式：

直角坐标：逐分量叠加

类似于复数乘法，看看每个 x 和 y 分量如何相互作用：

我们列出所有四种组合（x与x、y与x、x与y、y与y）。由于x坐标和y坐标互不影响（就像将水桶侧着放在瀑布下——什么也接不住），总能量吸收为absorbtion(x) + absorbtion(y)：

$\displaystyle{\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y}$

极坐标：投影

“投影”这个词太乏味了：我更喜欢“沿路径”。实际上有多少能量沿着我们的原始方向传播？

下面是一种理解方式：

取两个向量a和b。旋转坐标系使得b水平：b变为(|b|, 0)，所有东西都在这个新x轴上。点积现在是多少？（它不应该因为我们歪了一下头而改变）。

那么，向量a有新的坐标(a1, a2)，我们得到：

$\displaystyle{a1 \cdot |\vec{b}| + a2 \cdot 0 = a1 \cdot |\vec{b}|}$

a1本质上是“假定b是x轴，a的x坐标是多少？”。也就是|a|cos(θ)，即所谓的“投影”：

$\displaystyle{\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\cos(\theta)|\vec{b}|}$

点积（Dot Product）的类比

常见的解释是“几何投影”，但这太乏味了。这里有一些让我恍然大悟的类比：

能量吸收

一个向量是太阳光线，另一个是太阳能电池板指向的方向（是的，是的，法向量）。更大的数值意味着更强的光线或更大的电池板。吸收了多少能量？

能量 = 方向重叠 * 射线强度 * 面板大小
$\displaystyle{\text{Energy} = \cos(\theta) \cdot |a| \cdot |b|}$

如果你将电池板侧向太阳，没有光线照射到（cos(θ) = 0）。

图片来源

但是……但是……太阳光线是离开太阳的，而电池板是面向太阳的，当向量相反时点积为负！深吸一口气，记住目标是要理解这个类比（此外，物理学家经常搞丢负号）。

马力欧卡丁车加速

在《马里奥赛车》中，地面上有“加速垫”可以提升你的速度（没玩过？很遗憾。）

照片来源

想象红色向量是你的速度（x和y方向），蓝色向量是加速垫的方向（x和y方向）。数值越大，力量越强。

你会获得多少加速？作为类比，想象加速垫提供这样的速度加成：

如果以0的速度进入，你将一无所获。（如果你直接掉在垫子上，没有加速。）
如果你垂直穿过垫子，收益为0。（就像香蕉清零一样，垂直方向上有0倍加速。）
如果我们的方向与垫子对齐，我们的x速度贡献x加速，y速度贡献y加速：

$\displaystyle{\text{boost effect} = speed_x \cdot boost_x + speed_y \cdot boost_y}$

很巧妙，对吧？另一种理解方式：你的初始速度是$|a|$，最大加速是$|b|$。你实际获得的加速比例（取决于你的对齐程度）是$\cos(\theta)$，总加速为$|a||b|\cos(\theta)$，这就是点积。

水果摊类比

假设你的商店出售苹果、香蕉和克莱门汀小柑橘。它们的价格分别是1美元、2美元和3美元。

一位顾客想买2个苹果、3根香蕉和4个克莱门汀小柑橘。需要多少钱？

cost = (A quantity) * (A price) + (B quantity) * (B price) + (C quantity) * (C price) 
cost = 2*1 + 3*2 + 4*3 = 20

这就是“数量”向量和“价格”向量的点积！我们将对应项相乘并得到总和。我们忽略了相乘“没有意义”的项（为什么香蕉数量和克莱门汀价格会相互影响？）。

物理物理物理

点积在物理学中随处可见：某个场（电场、引力场）正在拉拽某个粒子。我们很想直接相乘，如果一切对齐的话我们可以这么做。但事实并非如此，所以我们用点积来考虑方向上的潜在差异。

这些都是有用的推广：积分是“考虑变化的乘法”，而点积是“考虑方向的乘法”。

如果你的方向在变化呢？那就求点积的积分，当然！

继续向上

不要满足于“点积是几何投影，由余弦定理证明”这样的解释。找到让你恍然大悟的类比！祝你数学愉快。