一旦你直观地理解了通量，就不需要死记硬背方程了。公式会变得“显而易见”，我敢说。但是，要真正理解这一点需要付出很多努力：
- 通量(Flux)是通过某个表面的“某物”（电场、香蕉等任何东西）的量。
- 这个 总通量 取决于场的强度、它所通过的表面大小以及它们的朝向。
一旦你理解了通量，你的向量微积分学习生涯会好得多。谁不想这样呢？
物理直觉
将通量视为某种东西 某物 穿过一个表面的量。这个“某种东西”可以是水、风、电场、香蕉，几乎任何你能想象的东西。数学书会使用像电场这样的抽象概念，这很难可视化。我觉得香蕉更容易记住，所以我们将使用香蕉。
为了测量穿过一个表面的通量（即香蕉），我们需要知道
- 你所考虑的表面（形状、大小和朝向）
- 通量的来源（场的强度以及它喷出的方向）
bananas通量
场的强度很重要——你希望一把 \$5 还是 \$20 的钞票“通量”进入你的银行账户？你希望一个大香蕉还是小香蕉朝你而来？不需要回答这个问题。
背景概念
在考虑通量时，记住几个要点：
向量场：这是通量的来源：即射出香蕉或施加某种力（如重力或电磁力）的东西。通量不一定是物理对象——你可以测量一个场施加的“拉力”。
表面：这是通量穿过或作用的边界。边界可以是球体、平面，甚至桶的顶部。注意边界可能不存在——桶的顶部画出一个圆，但孔实际上并不存在。我们考虑穿过该圆所定义区域的通量。
时间：我们在一个时间点测量通量。冻结时间并问“现在，此刻，有多少物质穿过我的表面？”如果你的场不随时间变化，那么一切正常。如果你的场 确实 变化，那么你需要选择一个时间点来测量通量(Flux)。
测量：通量是一个总量，不是“每单位面积”或“每单位体积”。通量是你感受到的总力，是你看到飞过表面的香蕉总数。把通量想象成重量。（有一个单独的概念叫“通量密度(Flux Density)”（通量/体积），称为 散度，但那是另一篇文章的内容。）
通量因子
通量的源对总通量有巨大影响。将源加倍（将每根香蕉的“香蕉性”加倍），会使通过表面的通量加倍。
总通量还取决于场和表面的方向。当我们的表面完全朝向场时，它捕获最大通量，就像帆直接面对风。随着表面偏离场的方向，通量减少，因为越来越少的通量穿过表面。
最终，当源和边界平行时，我们得到零通量——通量经过边界，但没有穿过它。就像在水瀑布下拿着一个桶 侧向 ，你几乎接不到水（忽略飞溅），还可能招来奇怪的目光。
总通量还取决于我们表面的大小。在同一场中，大桶比小桶捕获更多通量。当我们计算总通量时，需要看看有多少场穿过我们的整个表面。
到目前为止，这些都是简单的内容，对吗？如果你忘记了，就想想从瀑布接水。什么因素重要？瀑布的强度、桶的大小和桶的方向。
正通量与负通量
最后一个细节——我们需要为通量确定正方向和负方向。这个决定是任意的，但按照惯例（即你的数学老师会因为你不同意而扣分）， 正通量离开封闭曲面和 负通量进入封闭曲面.
把通量想象成喷水的水管。正通量意味着通量离开水管；水管是通量的源。负通量就像水进入水槽；它是通量的汇。所以正通量 = 离开，负通量 = 进入。明白了吗？（顺便说一下，“源”和“汇”这两个术语有时用来描述场。）
快速总结
快速检查：通量取决于
- 表面的大小
- 源场的大小
- 它们之间的角度
一个消防水带喷向小桶（小表面，大幅度）可能和一个花园水管对准大桶（大表面，小幅度）具有相同的通量。如果你忘了，通量提醒我们要让桶朝向源。这应该是显而易见的——但你不想让想法（尤其是在数学中！）变得显而易见吗？
数学直觉
现在有了物理直觉，让我们尝试推导数学公式。大多数情况下，通量的源被描述为向量场(Vector Field)：给定一个点 (x,y,z)，有一个公式给出该点的通量向量。
我们想知道那个向量场有多少作用/穿过我们的表面，考虑幅度、方向和大小。根据直觉，它应该看起来像这样：
总通量 = 场强 * 表面积 * 表面方向
然而，这个公式只有在向量场在每个点都相同时才有效。通常并非如此，所以我们将采用标准的微积分方法来解决问题：
- 将表面分成小块
- 计算每一块的通量
- 将所有小的通量单位加起来得到总通量（积分）。
让我们假设表面的微小部分为 dS。总通量为：
总通量 = 对于每个 dS（场强 * dS * 方向）
或者
总通量 = 积分（场强 * 方向 * dS）
到目前为止还明白吗？现在，我们需要弄清楚方向到底有多重要。如前所述，如果场和表面平行，则通量为零；如果垂直，则通量最大。
（在此图中，通量与顶面平行，因此没有从该方向进入。在数学上，我们用表面的 法向量 向量表示表面，该向量垂直于表面伸出。不要让这个记账细节干扰你的可视化。）
如果存在角度，则通量介于两者之间：
具体是多少？嗯，这是 点积(dot product)的任务，即场在表面上的 投影 。点积给出一个0到1之间的数，告诉我们场穿过表面的百分比。因此，方程变为：
总通量 = 积分( 向量场强度点乘 dS )
最后，我们将其转换为你教科书中的沉闷方程，其中 F 是我们的场， S 是面积单位， n 是表面的法向量：
还有一个细节——我们如何找到表面的法向量？
好问题。对于像平面这样的表面，法向量在各个方向都相同。对于球体，法向量与你的位置向量 $\vec{r}$ 方向相同：球体顶部有指向顶部的法向量；底部有指向底部的法向量，等等。
更复杂的形状可能有变化较大的法向量。在这种情况下，尝试将形状分解为更小的区域（如球体、圆柱体和平面），并找出每个部分的通量。然后，将每个区域的通量相加（考虑正负通量）得到总通量。
如果形状比这更复杂，你可能需要计算机模型或更高级的定理；但至少你知道了背后发生了什么。
通量示例
让我们做几个思想实验来理解通量。想象一根管子，可以让水直接通过。我们把管子放在瀑布下，等几秒钟，然后问通量是多少。我想要一个数值答案——通量是多少？
你可能认为我们需要知道瀑布的速度、管子的大小、方向等。但事实并非如此。
记住我们关于通量方向的约定：正表示离开，负表示进入。在这个例子中，水向下落，即进入管子。这意味着顶部表面具有负通量（它看起来在吸取水）。
然而，盒子底部发生了什么？水通过顶部，现在正从底部离开，即正通量：
啊，这个漂亮的图表说明了情况。盒子/管道的顶部写着水正在进入，底部写着水正在离开。假设进出水量相同（水下落速率恒定），净通量(Net Flux)将为零。可以将其视为 X + (-X) = 0。
如果我们增加水的速率呢？减少呢？会发生什么？
我的（可能不正确的）答案：如果我们增加速率，意味着瞬间进入的水比离开的多。我们会有一个短暂的负通量脉冲（管道看起来像一个水槽），直到速率相等。反之，如果我们减少水的速率——我们会有一个短暂的正通量脉冲（离开的水比进入的多），直到速率相等。
即使净通量为零，这也不同于没有通量穿过每个表面。如果你在一个空场中，任何形状都不会产生通量。但如果你在一个通量相互抵消的场中，改变你的形状或方向可能会产生非零通量。要认识到场为零导致通量为零与所有通量相互抵消之间的区别。
还有一点——我们考虑的“管道”是我们定义的一个区域，而不是物理管道。测量通量是关于划定想象的边界，而不是有一个物理形状。因此，当我们定义“桶”的区域时，它不会“充满”通量。通量是某一时刻穿过桶壁的东西。显然，如果我们放一个真实的桶，它会装满，但那不是我们在测量的。我们在看有多少通量会从任何和所有侧面（不仅仅是开口）进入我们定义的区域。明白了吗？
还有一点。我们还没有真正讨论通量的单位。它用什么来度量？据我所知，单位可以是任何东西——取决于你的向量场(Vector Field)的单位。所以，你的向量场可能代表香蕉，那么你得到的是穿过表面的香蕉总数。或者，你的场可能代表每秒香蕉数，那么你得到的是穿过表面的每秒香蕉数。通量的单位取决于向量场的单位。
通量相对容易理解，并且在向量微积分和物理学中非常有用。试图通过一堆积分来理解通量是不可取的。先获得直观理解，细节会更有意义。
深入见解
以下是我学习通量后得到的一些见解：
你可以对通量求时间导数。如果向量场 F 随时间 t 变化，你可以使用 dF/dt 来查看总通量如何随时间变化。尽管通量是在某个时间点测量的，但你可以测量两个连续时刻的通量，看看它变化得有多快。
你可以对通量进行积分，这意味着找出在一段时间内穿过了多少通量。如果场 F 随时间恒定，你可以将某一瞬间的通量乘以持续时间。但如果 F 随时间变化，那么你需要在每个时刻测量并积分。每次通量计算都在一个时间瞬间完成，然后将它们加在一起。再次强调，这是标准的微积分技巧。
在我们的瀑布例子中，我们考察了一个水流已经流动了一段时间的时间点。如果我们选择一个较早的时间点，我们会得到负的通量：水已经进入顶部，但尚未从底部离开。如果我们关掉水，会有一个瞬间的正通量：水已停止进入，但仍在继续离开。
通量对于数学、电磁学很重要，了解它会让你的科学生活更美好。至于社交生活——那就不一定了。
这是一篇长文章。休息一下。洗个澡。出去走走。看看你的家人。或者，继续阅读关于 散度的内容。由你决定。