环流 是沿封闭边界或路径推动的力的大小。它是沿路径（如圆形）移动时获得的总“推动力”。
向量场通常是环流的来源。如果你有一个纸船在漩涡中，环流就是推动它沿圆周运动的力的大小。环流越大，推动力就越大。
旋度(Curl) 就是单位面积的环流，即环流密度，或旋转速率（单点的扭转量）。想象在保持力不变的情况下，将漩涡越缩越小：你将在小区域内拥有大量能量，因此旋度很大。如果你保持力不变而扩大漩涡，那么旋度就会变小。当然，零环流意味着零旋度。
直觉
环流是沿路径的“推动”力的大小。旋度是将路径缩小到单点时推动、扭转或旋转力的大小。我们用水来举例。
假设我们有一股水流，想要判断它是否有旋度：是否存在扭转或推动力？为了测试，我们将一个水轮放入水中，观察它是否转动（水轮是 垂直的垂直于水面伸出，像旋转门一样——不像明轮船的桨轮）：
如果水轮确实转动，说明该场在这一点的旋度不为零。如果不转动，则没有旋度。
桨叶转动真正意味着什么？它意味着水对桨叶一侧的推力大于另一侧，导致其扭转。差异越大，扭转力越大，旋度也就越大。此外，旋转的桨轮表明场是“不均匀”且不对称的；如果场是均匀的，那么它对所有侧面的推力相等，桨叶根本不会转动。
存在“扭转”的事实意味着场是 非保守的 （这与其政治观点无关）。
保守场是“公平的”，因为从点A移动到点B所需做的功，无论沿哪条路径，都是相同的。例如，考虑一条河流：它的场是保守的。当然，你可以顺流而下免费漂流，但随后你必须做功才能回到起点。或者，你可以做功逆流而上，然后免费顺流回来。无论如何，你“投入”的功与你获得的功是相等的。
然而，在具有旋度的场中（如漩涡），你可以通过沿扭转方向运动获得免费漂流。在漩涡中，你可以沿圆周随水流运动获得免费旅行。如果你逆流而行，走错方向，则必须消耗能量，且没有任何免费漂流。
保守场的旋度为零：没有免费的扭转力推动你前进。反之，如果一个场有旋度，则它不是保守的。
重力是保守场的另一个例子。严格来说，如果你举起一块石头然后让它落下，你从下落中获得的能量与你举起石头时投入的能量相同。理论上，在此过程中没有能量增减。
详细信息
严格来说，旋度是一个 向量，这意味着它既有大小又有方向。大小是某点扭转力大小的度量。
方向则更棘手：它是为了使桨轮获得最大旋转而需将桨轮轴对准的朝向。换句话说，它是让你从场中获得最多“免费功”的方向。想象将桨轮侧向放入漩涡——它根本不会转动。如果将其放入适当的方向，它就开始转动。
但等等——获得扭转运动的方向不是有两个吗？难道不能将桨轮“上下颠倒”来获得同样最大的旋度吗？
是的，你说得对。根据约定，如果桨轮逆时针旋转，其旋度矢量指向页面外。这是一种右手定则：用右手握拳并伸出拇指。如果环绕/推动力遵循你手指的扭转方向（逆时针），那么旋度矢量将在你拇指所指的方向上。
数学
环量是向量场沿一条路径的积分——你是在累加场沿路径“推动”你的总量。
如何找到这个？嗯，我们应该期望某种点积，因为我们想知道一个向量（力）在另一个向量（路径）方向上推动的量。因此，我们需要的两个向量是：（1）路径向量和（2）路径上每一点的场向量。
如果我们有一个定义在任何时刻位置的函数$F(t)$，我们可以对时间求导得到该位置的速度。
速度向量始终指向运动方向——如果你从A运动到B，速度向量就是从A指向B的箭头，即你的位置变化或运动方向。因此，我们可以用速度来确定方向。
理解为什么我们不使用位置向量本身很重要——它告诉我们我们在哪里，而不是我们要去哪里。我们需要知道方向才能看出我们受到多少“推力”：知道你在河中的位置并不重要——你是逆流还是顺流，以及以什么角度？
力向量（2）由我们所在的场定义。不需要导数或其他变化——场中每一点都有某个作用力。
因此，我们的环量公式是：
记住，速度是位置（r）的导数，所以（dr）是给出我们方向的向量。我们沿整个路径积分，使用点积来计算施加了多少推力。然后我们将这些“推力”求和得到总环量。
由于旋度是单位面积上的环量，我们可以计算一个小面积的环量（让面积收缩到0）。但旋度是一个向量，所以我们需要给它一个方向——该方向垂直于带有向量场的曲面。 大小 与之前相同：环量/面积。
回忆一下，根据惯例（一群人达成的共识），逆时针环量会产生指向页外的旋度。利用这些事实，我们可以推导出旋度的公式：
其中 (S) 是我们考虑的曲面；旋度的方向是曲面的法线方向。
你会看到更复杂的旋度方程，其中曲面收缩到零（例如在 维基百科中），但要理解基本直觉——旋度是单位面积上的环量。
临别思考
你经常会看到向量场 (F) 的旋度写成这样：
这是 梯度(gradient) 与向量场 (F) 的叉积。这与旋度实际计算的方式有关，这将作为另一篇文章的内容（可能你的教材中已有——详见 维基百科 ）。
如果我的讲解成功，你应该能直观理解环量和旋度的含义，以及我们如何得到上述公式。它们自然地源于我们对环量的定义——“沿路径的推动力”和旋量的定义——“推动力/面积”。
数学应该是一个清晰表达已知知识的工具。理解直觉，然后攻克复杂的公式。数学愉快。
附注： 找点乐子，看看这个著名漩涡的视频。想象一下它的环量（来吧，想象一下）：