这个 勾股定理 展示了我们的距离概念有多奇怪。利用公式 $a^2 + b^2 = c^2$，我们可以用一些“a”换取更多的“b”。
开始于
意思是“一个13英寸的披萨等于一个13英寸的披萨”。当然。但我们可以用一个英寸来换取：
嗯？一个12英寸的披萨和一个5英寸的披萨等于一个13英寸的披萨？
数学上成立（144 + 25 = 169），但是，但是……我们放弃了一英寸，却得到了一个五英寸的披萨！
让我们理解为什么会有这种权衡，以及如何利用它。
解释1：削平方形
一个关键见解： 更大的数字更难平方.
想象在门廊上铺瓷砖——随着门廊变大，外层需要更多的瓷砖。将一个13x13的门廊修剪成12x12，会释放出25块瓷砖，足够铺出一个新的5x5门廊！
我把这称为“剃平方”。从大正方形的外侧修剪1个单位会有更多的“刨花”，这些刨花可以用来做一个更小的正方形（从巨大的卷发上修剪一英寸可以做一件婴儿毛衣）。随着我们继续修剪，收益递减，因为我们的起点越来越小。
解释2：滑动筷子
第二个见解： 轻微滑动，大幅旋转.
想象一根筷子卡在角落里：长度是固定的，筷子的两端必须碰到墙。有哪些选择？
嗯，放在单面墙上意味着某一侧为100%（比如 $13^2 + 0^2 = 13^2$）。没那么有趣。
通过滑动筷子（从13到12），我们可以将它摆动 输出 另一面墙上摆动5个单位！
你需要试试——小小的滑动就能带来巨大的摆动。随着我们不断滑动，权衡（我们能得到多大的摆动？）也在变化。
那么权衡是什么？
现在来看看a/b权衡如何运作。首先，我们使用网格坐标：x和y（水平和垂直）。给定一个固定距离（比如说13个单位），我们的选择落在圆 $x^2 + y^2 = 13^2$ 上：
几个点：
- 每种可能性的距离相同，但x与y的比例不同（100% x，100% y，或像(12,5)这样的混合）
- 我们只能移动到圆上的相邻点（相同距离的选项）
- 我们面临的权衡是，在移动到相邻点时，用“y”换取多少“x”。如果我们在(0,13)，可以移动到(5,12)。这用1个y换取了5个x。
这是“粗粒度”权衡，一次使用一个完整单位。那么0.5个单位呢？0.01呢？
切线登场！ 切线 显示了当前路径的轨迹，即指向相邻点的方向。我们沿着切线移动一个微小的量来得到下一个相邻点。切线是一种近似——它并不精确指向最近的相邻点，但非常接近。
切线显示了你即将做出的权衡。
实际数量是多少？任意点(x,y)的斜率为y/x，切线斜率为-x/y，所以权衡是……已经困惑了吗？
少一点死板的代数，多一点直觉：
- 圆的切线垂直于当前点
- 如果你在点(5,12)，那么切线斜率是5和12的某个比值
- 记住“削平方形”：在较小坐标的方向上你会得到更好的效果（增加一个大正方形是困难的）。
- 所以，在(5,12)处你“侧重于y”，交易将倾向于改进你的x：应该是“用5个y换12个x”。为什么不反过来呢？y越多反而越容易得到y， 更简单 越容易得到y！那会螺旋式地进入指数增长，而不是一个圆。
- 最后，我们不能交易整个5个y！切线是关于我们最近的邻居。我们有一个12/5或2.4比1的交易。我们的下一个微小移动将以这个比例进行（然后我们将到达一个新的点，有新的切线）。
一般原则：我们的相邻点位于圆上，这鼓励平衡。在较小坐标的方向上你会得到更好的交易：在(x,y)处，权衡为y:x。
优化权衡
现在我们知道了任意点(x,y)的权衡——让我们优化吧！
在单调的场景中，我们基于纯距离获得报酬，因此每个点（或移动方向）都是一样的。
激动人心的场景：我们的(x,y)位置是一个 输入 指向某个其他函数的输入，该函数会给我们回报！现在我们要最大化那个函数。
场景是这样的：大力水手(Popeye)扔汽车赚钱。他让观众站在朝北和朝东的围栏上。观众必须直视前方（由于之前的事件，他们戴着颈托），但如果他们看到汽车从面前经过，就会付钱给大力水手。
最大化均匀收益
假设每个观众看到汽车会支付1美元（收益 Payout (x,y) = x + y）。该往哪里扔？
首先，假设大力水手能量有限——他只能把汽车扔出13米。现在我们从某个点开始：把汽车纯向北扔(0, 13)：
好的。如果他稍微向东扔呢？比如扔到(5, 12)？
显然更好。这应该说得通：在(0,13)处，权衡是 很棒 为了获得更多的东向观众。我们可以放弃1个北向，换来整整5个东向，如果做这笔交易，我们就“赚”了\$4。只要交易有利可图，我们就应该继续——只要我们处于不平衡状态，圆就会奖励我们增加较小的一方。沿着45度角移动13个单位是最理想的：
不错。45度抛射能命中每侧70.7%的潜在观众。
喂。对45度抛射如何穿过每侧70.7%的观众感到困惑？没问题。
45度抛射是沿着正方形的对角线。边长为1和1的三角形的斜边为：
并且边长为$(1, 1, 1.414)$。
斜边为$\sqrt{2}$不方便：很难知道一条边占整体的比例。我们将三角形除以斜边长度($\sqrt{2}$)，使斜边为1，其他边变为百分比：
现在我们发现，45度抛射，边长为$(1, 1, \sqrt{2})$，比例是$.707, .707, 1$。沿斜边距离的70.7%会出现在每侧。
通用技巧：找到最佳方向
我们偶然发现了找到最佳回报的方法：
- 选择任意起始点/方向
- 调整它：如果我们的回报提高，保留新的选择（它是盈利的）
- 持续调整直到我们的回报不再盈利
用数学术语说，这是“寻找局部最大值”。用经济学术语说，是寻找“边际收益为零”的点。大力水手称之为“挤菠菜”。
最大化不均匀回报
现在假设北向观众提供\$2（东向仍为\$1），因此P(x,y) = x + 2*y。我们应该100%向北抛吗？
不错。但再试试45度呢？
有趣——45度仍然更好！但是……我觉得我们走过头了！既然北向报酬更高，我们不应该更偏向北向吗？
是的。让我们记住如何“挤菠菜”（最大化回报）：从北向开始，不断调整直到无利可图：
- 收益函数意味着1北=2东（北向支付2美元，因此1单位北=2单位东）
- 如果我们能胜过1北换2东，交易就是盈利的（例如，1北换3东将盈利1美元）
那么……交易在何处 更好 比用1个北向换2个东向好？在北向区域，圆用东向观众奖励我们（“请，请往东走……如果你放弃一点北向，我会给你一大把东向”）。
还记得圆是关于x/y、x和y、x:y等的吗？现在我们有了数字1和2。(2,1)在东向区域。我们要的是(1,2)。为什么？在(1,2)处我们达到了完美的1北向=2东向的权衡。
沿着(1,2)方向移动13个单位是：
哒哒！超过29块钱，因为我们最大化了回报。
梯度原理
我们可以让这个结果更强大：
为了最大化收益，按收益比例向每个方向前进。
如果北向与东向的报酬比是2:1，那么你的轨迹应该以2:1的比例偏向北向。用更数学化的术语说：
- Payoff(x,y) = ax + by
- 最佳轨迹 = (a, b) [在我们的例子中，(东, 北) => (1, 2)]
这在多维空间中同样适用！给定三维空间，沿着某个方向（Payoff(x), Payoff(y), Payoff(z)）。向量微积分的爱好者们，这就是为什么 梯度(gradient) 指向最大增量的方向。
$F(x,y,z)$ 的梯度为
每个偏导数（dF/dx）就是沿着该方向移动的收益。
但这一切是否平衡？假设在当前位置，x 收益为 3，y 收益为 4，z 收益为 5。二维权衡轨迹如下：
神奇之处在于：组合轨迹
满足所有三个要求！在 x-z 平面上，x 不关心 y——只要与 z 的比例为 (3, ?, 5)，你就从 x-z 角度获得了最佳权衡。这些配对是：
- (3, ?, 5)
- (?, 4, 5)
- (3, 4, ?)
你不需要数独大师也能看出 (3, 4, 5) 满足所有这些比例。
还是不信？假设 y 的收益为零。我们不想在轨迹 (3, ?, 5) 中浪费能量在一个无用的方向上。但这不可能发生，因为 y-z 权衡会是 (?, 0, 5)，而 x-y 权衡会是 (3, 0, ?)。x-z 权衡让 y-z 和 x-y 能“算出”y 应该是多少，即 0。
你可能也有的问题
问：我还是不明白这到底为什么有效。50%在x和50%在y怎么就得出了0.7+0.7=1.4？
这是一个关于 为什么 空间为何如此运作的深刻问题。我曾盯着墙上的筷子几乎发狂。
我的答案是：距离就是距离。13 个单位就是 13 个单位。但在某些情况下，我们是在“测量坐标”（x 和 y 的值）而 不 不是距离本身。
笛卡尔坐标（x 轴，y 轴）对于对角线运动非常低效（即你是在测量三角形的边，而不是斜边）。当 $0.707^2 + 0.707^2 = 1$ 时，这衡量了我们的 x 和 y 坐标有多“低效”。我们用每个坐标的 70% 来表示一个本来可以 100% 在一个坐标上的物体（例如，如果我们使用极坐标）。
问：我有一项海外投资回报200%，一项国内投资回报5%。我有1000美元——我应该分散投资吗？
天哪，绝对不！记住，这个原理是关于 网格上的距离测量 这样的想法：x 中 50% 和 y 中 50% 比 x 中 100% 覆盖“更多地盘”。在投资中，1）资金不在网格上，2）没有距离奖励。将一半资金投入每个投资只是简单的 0.5 + 0.5 = 1.0。放弃 1 美元的海外投资意味着获得 1 美元的国内投资。
把所有钱投到最好的投资上。
问：那么这一切都没用吗？
天哪，绝对不！问问自己：我是在坐标系上测量距离吗？
许多事物是用 x-y 坐标来测量的（物理现象等），并且 做 具有毕达哥拉斯距离权衡。
但并非每个图形都是相同的. 不涉及距离的图形（如“金钱 vs. 时间”）确实 不 从勾股定理中得到任何提升。这让我困惑了很长时间：勾股定理适用于坐标距离！
最终想法
勾股定理如此多才多艺——它不仅仅关于三角形，它涵盖了距离的本质。每当我研究它时，似乎都能找到新的领悟。真正理解它将帮助你无处不在，从几何到向量微积分。
数学愉快。
