如何用勾股定理测量任意距离

我们一直低估了勾股定理。它不仅仅是关于三角形；它可以适用于任何形状它不仅仅关于a、b和c；它适用于 任何公式 带有平方项的任何事物。

这不是关于距离在斜穿房间的意义上。而是关于 任何距离，比如我们电影偏好或颜色之间的“距离”。

只要能测量，就能用毕达哥拉斯定理进行比较。让我们看看为什么。

理解定理

我们都认同这个定理成立。在任何直角三角形中：

如果 a=3, b=4, 那么 c=5。很简单，对吧？

嗯， 关键观察 关键在于 a 和 b 成直角（注意那个小红框）。一个方向上的运动对另一个方向 无影响 没有影响。

这有点像北/南与东/西的关系。向北移动不会改变你东西方向的位置，反之亦然——这些方向是独立的（专业术语是正交).

毕达哥拉斯定理让你能够找出正交方向之间的 最短路径距离 。所以它实际上并不是关于直角三角形 三角形 ——而是关于比较成直角移动的“事物”。

你： 如果我向东走3个街区，向北走4个街区，我离起点有多远？

我： 5个街区，直线距离。记得带足旅途的补给。

你： 呃，好吧。

那么“c”是什么？

嗯，我们可以把 c 看作一个数字，但那会让我们停留在枯燥的三角形世界里。我喜欢把 c 看作一个 a和b的组合.

但它不像加法那样简单的组合——毕竟 c 不等于 a + b。它更是分量的组合——毕达哥拉斯定理让我们以类似于加法的方式组合 正交分量 。而这正是神奇之处。

在我们的例子中，C 是 5 个单位的“距离”。但远不止于此：它包含了一个组合，由 3 个单位的东向和 4 个单位的北向组成。沿着 C 移动意味着你同时向东和向北移动。很酷的思考方式，对吧？

链式定理

让我们疯狂一把，把定理串联起来。看看这个：

很酷吧？我们画 另一个 一个红色的三角形，以 c 为一边。由于 c 和 d 成直角（正交！），得到勾股关系：c² + d² = e².

当我们用 a² 替换 c² + b² 时得到：

$\displaystyle{a^2 + b^2 + d^2 = e^2}$

这就有意思了：我们用三个正交分量 (a, b, d) 表示了 e。看出规律了吗？

戴上你的3D眼镜

觉得两个三角形很奇怪？试试从纸中拉出一个。不是把三角形平放，而是把红色的那个立起来：

一样的三角形，只是朝向不同。但现在我们进入了三维！如果用 x, y, z 代替 a, b, d，我们得到：

$\displaystyle{x^2 + y^2 + z^2 = \text{distance}^2}$

非常好。在数学中，我们通常测量 x 坐标（左/右距离）、y 坐标（前/后距离）和 z 坐标（上/下距离）。现在我们可以根据坐标找到点到点的三维距离了！

使用任意数量的维度

正如你所猜，勾股定理可以推广到 任意数量的维度。也就是说，你可以将一堆三角形串联起来，加总“外面”的部分：

你可以想象每个三角形都在自己的维度中。如果线段成直角，定理成立，数学上说得通。

距离如何计算

勾股定理是计算两点之间距离的基础。考虑两个三角形：

边长为(4,3)的三角形 [蓝色]
边长为(8,5)的三角形 [粉色]

从蓝色三角形顶点 [坐标 (4,3)] 到红色三角形顶点 [坐标 (8,5)] 的距离是多少？我们可以通过减去对应边来创建一个 虚拟三角形 介于端点之间的虚拟三角形。这个虚拟三角形的斜边就是点之间的距离：

距离: $(8-4, 5-3) = (4,2) = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 4.47$

很酷吧？在三维中，我们可以用同样的方法找到点 $(x_1,y_1,z_1)$ 和 $(x_2,y_2,z_2)$ 之间的距离：

$\displaystyle{\text{distance}^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

而且，一边比另一边大也无所谓，因为差值被平方后会是正数（定理的另一个好的副作用）。

如何使用任意距离

该定理并不局限于我们狭隘的空间定义的距离。它可以应用于 任意正交维度：空间、时间、电影品味、颜色、温度。实际上，它可以应用于任何一组数字 (a,b,c,d,e)。让我们看看。

测量用户偏好

假设你做一个调查来了解电影偏好：

你喜欢兰博吗？(1-10分)
你喜欢小鹿斑比吗？(1-10分)
你对《宋飞正传》的评价如何？(1-10)

如何比较人们的评分？找到相似的偏好？毕达哥拉斯来救援！

如果我们把评分表示为一个"点"（兰博、小鹿斑比、宋飞正传），我们可以这样表示我们的调查回复：

硬汉: (10, 1, 3)
普通人: (5, 5, 5)
敏感男: (1, 10, 7)

利用该定理，我们可以看到不同人之间的差异：

硬汉到普通人: $(10 – 5, 1 – 5, 3 – 5) = (5, -4, -2) = \sqrt{(5)^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{45} = 6.7$
硬汉到敏感男: $(10 – 1, 1 – 10, 3 – 7) = (9, -9, -4) = \sqrt{(9)^2 + (-9)^2 + (-4)^2} = \sqrt{178} = 13.34$

我们可以使用一个² + b² + c² = 距离² 版本的定理来计算结果。正如我们所料，硬汉和敏感男之间有很大的差距，普通人乔在中间。该定理帮助我们 量化这个距离 并做有趣的事情，比如 聚类相似结果.

这种技术可用于对 Netflix电影偏好以及其他类型的 协同过滤 进行评分，在这些应用中，你试图根据偏好进行预测（例如亚马逊推荐）。用极客的话说，我们把偏好表示为一个向量，并利用该定理来找到它们之间的距离（并可能对相似项进行分组）。

寻找颜色距离

测量颜色之间的"距离"是另一个有用的应用。颜色用红/绿/蓝（RGB）值表示，范围从0（最小）到255（最大）。例如

黑色: (0, 0, 0) — 无颜色
白色: (255, 255, 255) — 每种颜色的最大值
红色: (255, 0, 0) — 纯红，无其他颜色

我们可以将所有颜色映射到一个"色彩空间"中，就像这样:

我们可以用通常的方式获得颜色之间的距离：计算从我们的（红、绿、蓝）值到黑色（0,0,0）的距离（正式标记为 delta e]。似乎人类无法区分相差仅4个单位的颜色；哎呀，甚至30个单位在我看来也很接近：

这些颜色在你看来有多相似？颜色距离为我们提供了一种 可量化的 测量颜色之间距离的方法（亲自尝试）。你甚至可以还原某些模糊图像通过巧妙地应用颜色距离。

要点：你可以测量任何事物

如果你能用数字表示一组特征，你就可以用该定理进行比较：

一周内的温度：(周一，周二，周三，周四，周五)。比较连续几周以查看它们有多“不同”（找出5维向量之间的差异）。
每小时、每天或每周进入商店的顾客数量
时空距离：(纬度，经度，海拔，日期)。如果你在制造时间机器（或使用它的电子游戏）时很有用！
人与人之间的差异：(身高，体重，年龄)
公司之间的差异：(收入，利润，市值)

你可以通过加权不同的特征来调整距离（例如，将年龄差乘以某个因子）。但核心思想非常重要，我再重复一遍： 如果你能量化它，你就可以使用勾股定理进行比较。

你的x、y和z轴可以代表任何量。而且你并不限于三维空间。当然，数学家们很乐意告诉你其他测量距离的方法（即度量空间），但勾股定理是最著名的，也是一个很好的起点。

那么，刚才发生了什么？

重新审视那些曾被“灌输”的概念时，总有很多东西值得学习。数学是美丽的，但它的优雅通常被机械的证明和公式墙所掩埋。我们不需要更多的证明；我们需要有趣且直观的结果。

例如，勾股定理：

适用于 任意形状不仅仅适用于三角形（如圆形）
适用于 任何包含平方的方程 （如 1/2 m v²)
推广到 任意数量的维度 （a² + b² + c² + …)
度量 任意类型的距离 （例如颜色或电影偏好之间）

对于一个2000年前的成果来说还不错，对吧？这信息量很大，所以我今天就在这里结束（上一篇文章还有更多用途）。祝数学愉快。

如何用勾股定理(Pythagorean Theorem)测量任意距离