勾股定理可以 适用于任何形状，而不仅仅是三角形。它可以测量 几乎任何类型的距离。然而这个已有2000年历史的公式仍在向我们展示新的技巧。
重新排列公式，从这样：
到这样：
帮助我们理解斜率(陡峭度)和距离之间的关系。让我们来看一看。
重新缩放你的三角形
缩放 引发新的见解。是的，\$500k/年很多；但当你想象东西便宜10倍时，它就变得真实起来（一台新笔记本？\$150。一辆新保时捷？\$6000）。
重新缩放公式也能开阔眼界。让我们从最喜欢的3-4-5三角形开始，将每条边除以3：
发生了什么？
嗯，我们有一个更小的红色三角形，边长为3/3（即1）、4/3和5/3。我们得到了大三角形的迷你版本，勾股定理仍然成立：
为什么这很特别？
看起来没什么，但有一些惊人的洞见：
首先，我们可以 重新缩放任何三角形 以1为最短边（除以“a”）。所有相似三角形（即比例相同的三角形，如3-4-5和6-8-10）都将缩小为 相同的小三角形.
这个小三角形有一个有趣的性质：它只关心比值 b/a。唯一“有意义”的数字是1和(b/a)，得到：
而b/a特殊之处何在？它是斜边的斜率！这就是斜率、 梯度(gradient)导数、上升/运行——无论标签是什么， b/a 是斜边变化的速度！
这是合理的。沿着短边每走一个单位，我们在另一条边上获得“斜率单位(b/a)”。在3-4-5三角形中，每向东1个单位，我们就向北走4/3个单位。而斜边长度每向东1个单位增加5/3（1.66）。
结果很酷：我们利用斜边的陡峭度(b/a)来求出每向东一个单位所走的距离，$\sqrt{1 + (b/a)^2}$。
请给个例子
这有点奇怪，让我们举个例子。假设我们向东走了5个单位，向北走了12个单位。我们离起点的距离是多少？
传统方法代入勾股定理得到$c = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13$。这可行，但让我们尝试小三角形方法：
不是用边长为5和12的大三角形，而是缩小5倍：我们得到一个边长为5/5（即1）和12/5的小三角形。那么“小斜边”就是$\sqrt{1 + (12/5)^2} = 2.6$。这意味着每向东1个单位，我们沿斜边行进2.6个单位。向东走完5个单位（即原三角形）就有5 * 2.6 = 13个单位。真棒——两种方法得到了相同的结果。
但我犯了个傻错误。我本意是沿着那条轨迹走5个单位，结果想成了6。不，是7。不，等等，是8。肯定是9。
通常，我们会疯狂地按平方根按钮来求新距离。甚至可能使用三角函数来“简化”。但今天不用——因为我们在同一条轨迹上，可以重用缩放常数2.6：
我们可以求出新的行进距离 常规乘法，根本不用平方根。好！这种方法无论对人还是计算机都更快——你不会相信 疯狂的方法 程序员为了避开平方根要付出多大代价。
静态与动态公式
我意识到我们尊贵的勾股定理关注的是 一个 和 b 分别：
我们将a和b视为独立元素，分别平方再求和。这种方法很直接，有助于设计桥梁或绘制三角形。 传统公式关注最终值。
但缩放版有了新变化：
我们对分开的量并不那么感兴趣——我们想要的是 比值 b/a, 或斜边的斜率。这个斜率产生了一个缩放常数 $\sqrt{1 + (b/a)^2}$，它告诉我们“向东”运动如何转化为沿路径移动的距离。 动态公式关注变化率。
如果我们有一个假设的函数 f(x)，我们可以这样写出动态勾股定理：
这个概念在微积分中用于求任意直线或曲线的长度——但我们改天再讨论。
关键在于认识到一个公式可以重新排列并带来新的见解。保持好奇心——当我们认为“已经搞清楚一切”时，学习就停止了。
附录1：斜率 vs. 距离
有一点让我困惑的是将斜率(b/a)与移动距离(斜边c)分开理解。
斜率 是 b/a，即高除以宽——增加宽度时得到的高度。可以说是山坡的“陡峭程度”。不幸的是，“斜率”这个词让我们想到山坡的侧面——但 斜率实际上关乎高度.
距离(斜边) 说的是山坡的侧面——你走了多远。“陡峭程度”并不那么重要——你在地上铺设测量带，地面可以是平坦的、垂直的或倒置的。木板的长度取决于你如何拿它吗？
但是，在人类世界中， 斜率和距离是相关的 因为我们通常用“向东单位(x坐标)”而不是“沿路径单位”来表示位置。所以当地图说“向东1英里”且你面对一座山(大斜率)时，你最终会行进很长距离(超过1英里)。在平坦路面(零斜率)上，向东1英里就是简单的1英里。斜率越大，要“向东1英里”所需的距离就越大。
再次，我们看到勾股定理不仅适用于三角形——它可以将斜率(陡峭程度)转换为移动距离。数学愉快。