余弦定理被表述为一个几何结果，它关联三角形的各个部分：
虽然如此，但有一个更深的原理在起作用。
交互定律：整体基于各部分及其之间的相互作用。
“余弦定理”这个措辞让你思考公式的机制，而不是它的含义。我的部分 学习策略 是将想法重新表述为有意义的表述。
余弦定理，经过我们容易忘记的几何推导步骤后，看起来是这样的：$c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos(C)$。
这看起来就像展开式：如果 $c = (a + b)$，那么 $c^2 = a^2 + b^2 + 2ab$。
不同之处在于 $2ab$ 多了一个因子 $\cos(C)$，它衡量“实际重叠百分比”（$2ab$ 假设完全重叠，即 $\cos(C) = 1$）。
所以，余弦定理实际上是 $c^2 = (a + b)^2$ 在分量未完全对齐时展开方式的推广。我们是在将几何线段视为代数展开中的项。
类比：助理厨师
想象一家餐厅只有一位厨师Alice。她工作过度，所以Bob被聘为她的助手（副厨师）。
基于Alice目前的表现和Bob在面试中的表现，他们合作时会发生什么？
新结果肯定是他们共同努力的成果：
哈！世界各地的上班族都会翻白眼。你不能想当然地认为人们组合在一起时贡献是相同的：还要考虑相互作用。
除了各自的贡献，两人还可能互相拖累（你把打蛋器又放哪儿了？），或找到合作的方式（反正我在削胡萝卜，用我的一些吧。).
在一个由多个部分组成的系统中，首先考虑各自的贡献，然后问他们的相互作用是否：
- 相互帮助
- 相互伤害
- 相互忽略
“总计 = Alice + Bob”这个原始想法更一般地表示为：
探索场景
我们需要将 列表 参与者（Alice, Bob）与他们的相互作用结果分开。
以数字5和3为例。我们可以这样写：
- 部分 = (5, 3)
并且我们确信它们加起来等于8。但有没有其他方法得出这个结论呢？
有：乘法。除了重复计数，乘法展示了系统各部分相互作用时的结果：
我们从“部分视图”$(5, 3)$ 转换到“相互作用视图”$(5 + 3)^2$。相互作用模式的结果表明，如果系统 做 与自身相互作用，结果将是64。
一个注意事项：当进入相互作用视角时，我们写下了$(5 + 3)(5 + 3)$，但不能一开始就简化$(5 + 3) = 8$。我们使用加法来记账，直到乘法能将各部分合并。
哦，另一个注意事项：为什么我们只能相加相互作用，而不能相加各部分？好问题。各个部分可能指向不同的维度，不能很好地在同一尺度上对齐。相互作用的各部分变成了 面积，无论方向如何，都能组合成相同的结果。
（我将在后续文章中进一步探讨这个概念。面积是一种通用的、易于合并的量，而单个路径则不然，这是一个巧妙的想法。）
推广原则
像(5, 3)这样的简单设置容易思考，就像目测$2x + 3 = 7$并猜测$x = 2$。但更复杂的场景，比如$x^2 + 3x = 15$，则需要系统的方法。
余弦定理(Law of Cosines)是一种处理各部分的系统方法：
- 列出各部分
- 将每次互动视为面积
- 相加得到总贡献
- 转换为等效的“单个部分”
最后一步通常是隐含的。一旦合并了杂乱无章的相互作用，我们想要得到 单个 能够代表整个系统的部分。是否存在一个人（查理），其努力等于爱丽丝和鲍勃合作的总和？
余弦定理给了我们找到查理的方法。
余弦是怎么回事？
当两部分相互作用时，它们可以互相帮助、损害或忽略：
- 完美对齐意味着它们100%助力（5和3）
- 完美错位意味着它们100%损害（5和-3）
- 部分对齐或错位意味着它们按百分比助力或损害
- 无对齐意味着它们互不影响
我们如何衡量对齐程度？用余弦(cosine)。
利用我们的 三角类比，余弦是 百分比 角度沿地面移动的
0度角完全沿地面（100%），垂直移动则完全不沿地面（0%）。其他角度则是介于两者之间的分数。
如果系统中的各部分可以写成路径，并且我们知道它们之间的夹角为θ($\theta$)，那么我们可以用余弦来测量重叠。一条路径作为地面，另一条是我们跟随的路径：
当路径完全对齐时，它们会发挥全部力量（$ab$和$ba$）。相互作用因子$\cos(\theta)$修正了该力量，以显示它们 实际上 合作的程度。
因此，我们杂乱无章的相互作用变为：
呼！这就是余弦定理：收集每一次相互作用，考虑对齐程度，并简化为一个单一的部分。（公式通常写时不带平方根，但你通常想要的是$c$，而不是$c^2$。）
现在，为什么余弦定理通常用负号来写？嗯，假设在一个典型的三角形中，一个小的 内部 角 $C$ 意味着边是负对齐的，而 theta（$\theta$）是一个 外部 看看它们的对齐方式：
类似地，大的内角意味着边是正对齐的，并且会互相帮助。通常，小角意味着你在同一方向移动，但这种内/外角的差异导致我们反转符号。
就我个人而言，我不会记住是正号还是负号：我会思考在场景中各个部分会互相帮助还是互相伤害，从而将相互作用定为正或负。不要做公式的奴隶。
快速练习题
假设我的三角形中边长 $a = 10$，边长 $b = 20$。当 $a$ 和 $b$ 之间的角度为以下值时，边长 $c$ 是多少：
45度对齐
这里，我们需要余弦定理。$a$ 和 $b$ 部分指向同一方向。我们切换到相互作用模式以获得共同的、可组合的单位（面积）：
- $a^2 = 100$
- $b^2 = 400$
- $2ab = 2 \cdot 10 \cdot 20 = 400$, 但我们需要根据交互因子进行调整。即 $\cos(45) = .707$，所以实际交互因子为 $400 \cdot .707 = 282.8$
总的相互作用是：
而等效的单边（c）是：
70度不对齐
再次，我们需要余弦定理。我们可以看到角相互对抗，因此相互作用将为负：
我们的直觉认为这个排列应该 更小的 比前一个更小（因为边没有协同作用），事实确实如此。
完全对齐或完全不对齐
当我们的“三角形”角度为0度（或180度）时，所有部分都平躺着。这里，各部分在同一维度，可以像普通数字一样处理：
- 完全对齐：10 + 20 = 30
- 完全错位：10 – 20 = -10（指向B的方向）
当然，余弦定理仍然适用：
- 完全对齐：$a^2 + b^2 + 2ab\cos(\theta) = 100 + 400 + 400\cos(0) = 900$，且 $c = \sqrt{900} = 30$
- 完全错位：$a^2 + b^2 – 2ab\cos(\theta) = 100 + 400 + 400\cos(180) = 100$，意味着 $c = \sqrt{100} = 10$（指向后方）
再次，我们不应该机械地套用公式：对结果应该有一个大致的想法，并仔细思考计算。（“总的相互作用是这样，所以单边应该是那样……”）。
将相互作用视为一种解释：下次，我们会把它看作投影定理。
数学愉快。
附录：勾股定理
余弦定理类似于 勾股定理，不是吗？
现在你可能怀疑为什么。勾股定理是 零互动的特例，当两边成直角时成立。毕竟，90度角是垂直的，与地面有0%的重叠。
余弦定理变成：
如果我们知道各部分不会相互作用，就可以忽略相互作用效应。然而， 自我互动 仍然存在并且必须合并：$a^2$ 和 $b^2$ 没有问题，但交叉项 $ab$ 和 $ba$ 消失了。
这是毕达哥拉斯定理的另一个版本。我们不能直接合并 $a$ 和 $b$，所以合并它们的相互作用并将它们简化为一个部分：
附录：几何证明
你可能渴望一个几何证明。这里有一个来自 Quora，基于 Knuth 的一篇论文：
关键在于我们取原始的 $a-b-c$ 三角形，将其缩放 $a$ 倍（得到 $a^2-ab-ac$ 三角形）和 $b$ 倍（得到 $ab-b^2-bc$ 三角形）。这两个三角形构建了一个更大的相似三角形 $ac-bc-c^2$，通过一些三角学，底部部分可以证明等于 $a^2 + b^2 – 2ab\cos(\theta)$。
虽然有趣，但我不喜欢这种前置的证明。余弦定理是关于相互作用的，而不是重新排列三角形。这个解释是否让你思考余弦代表什么？思考它何时应为正、负或零？
附录：另一种记忆方法
想象边 A 和 B 沿着水平数轴指向同一方向。这意味着 $c = a + b$ 且余弦定理简化为：
所以，对于 180 度的内角，我们得到一个常规的代数陈述。这帮助我在现场记住何时加何时减。当内角大时，我们加上 $2ab\cos(\theta)$。
ADEPT总结
| 概念 | 余弦定律 |
|---|---|
| 类比(Analogy) | 想象一个助理厨师，他的互动可能有帮助也可能没有。 |
| 图示(Diagram) | |
| 示例(Example) | 假设三角形中 $a = 10$ 且 $b = 20$。如果它们以45度对齐，它们的交互是 $a^2 + b^2 + 2ab\cos(45) = 782.8$，剩余边长为 $\sqrt{782.8} = 27.97$ 单位。 |
| 通俗描述(Plain-English) | 交互定律：整体基于各部分及其之间的相互作用。 |
| 技术描述(Technical) | 内角为C的三角形：$c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos(C) $ 一般交互：$c^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos(\theta) $ |