用欧拉公式(Euler's Formula)轻松掌握三角恒等式

三角恒等式以难记著称：这里是如何在不抓狂的情况下学会它们。

从勾股定理和相似三角形出发，我们可以找到sin、cos、tan等之间的关系 (阅读关于三角函数的文章).

我们能更深入吗？也许我们可以将正弦与自身 (sin-ception)。用数学术语来说，我们在寻找这样的公式 (完整速查表):

$\displaystyle{ \sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \sin(b)\cos(a) }$ $\displaystyle{ \cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) }$

与其记忆这些糟糕的东西，不如学会绘制公式。欧拉公式让它变得简单。

代数中的联系(Connections In Algebra)

在代数中，我们研究这样的关系：

$\displaystyle{ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 }$

直接计算$17^2$很繁琐。但我们可以简化为：

$\displaystyle{17^2 = (10 + 7)^2 = 10^2 + (2 \times 10 \times 7) + 7^2 = 100 + 140 + 49 = 289}$

在计算机时代，当然我们可以直接计算$17^2$。重要的方面是认识到$(a + b)^2$可以分解成更简单的成分：$a^2, b^2, a, b$。这在因式分解、简化方程等方面很有用。

三角学中的联系(Connections In Trig)

让我们把三角学转化成大白话。这是什么意思？

$\displaystyle{\sin(a + b) = ?}$

记住正弦是“高度（最大值的百分比）”，这个方程问： 如果两角相加，它们的高度总和是多少？

快速猜测可能是个体高度相加：

$\displaystyle{\sin(a + b) = \sin(a) + \sin(b)}$

看起来简洁，但并不正确。如果我们不断相加角度，它们的高度会增加到最大值（100%），然后开始下降。

角度和高度之间的关系不可能是简单的加法。

现在奇怪的是：我能画出新高度应该是什么（就在那里！），但我无法将我的画转化为方程。

或者我能吗？

用欧拉公式(Euler's Formula)绘图

欧拉公式(Euler's Formula) 让我们用复数创建一个圆形路径：

关键在于，复数乘法执行旋转。啊哈！我们可以用欧拉公式(Euler's Formula)画出我们需要的旋转：

从1.0开始，位于0度。
乘以$e^{ia}$，旋转$a$。
乘以$e^{ib}$，旋转$b$。
最终位置 = $1.0 \cdot e^{ia} \cdot e^{ib} = e^{i(a+b)}$，即位于角度(a+b)处的1.0

复指数 $e^{i(a+b)}$ 相当复杂。就像分解 $17^2$ 一样，我们把这些部分乘出来：

$\displaystyle{e^{i(a+b)} = e^{ia} \cdot e^{ib} }$

$\displaystyle{ = [\cos(a) + i\sin(a)] \cdot [\cos(b) + i\sin(b)]}$

$\displaystyle{ = [\cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)] + i[\sin(a)\cos(b) + \sin(b)\cos(a)]}$

$\displaystyle{ = [\text{combined width}] + i[\text{combined height}]}$

这才像话！这个版本轻松地将水平位置（实部）和垂直位置（虚部）分离开：

组合高度：$ \sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \sin(b)\cos(a) $
组合宽度：$ \cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) – \sin(a)\sin(b) $

砰：一次计算就得到了两个难以记忆的三角恒等式。不赖的买卖。

理解这个等式

既然我们已经找到了方程，让我们深入理解其含义。当我们把高度加起来时，情况是这样的：

蓝色三角形的完整高度（$\sin(a)$）不能直接使用，因为红色三角形延伸得不够远。（为什么？当我们加上角度$b$时，我们以更陡的角度移动，斜边长度相同。我们获得了垂直距离，但损失了水平距离。）实际上，我们是在“回拉”$\sin(a)$，将其乘以$\cos(b)$的因子缩小。
红色三角形的完整高度（$\sin(b)$）也不能直接使用，因为它处于一个角度。我们是在“旋转”$\sin(b)$，将其乘以$\cos(a)$的因子缩小。

记住正弦(sine)和余弦(cosine)是百分比。在这种情况下，

$\displaystyle{\sin(a + b) = [\sin(a) \times \text{\% we get for a}] + [\sin(b) \times \text{\% we get for b}]}$

或者

$\displaystyle{\sin(a + b) = [\sin(a) \times \cos(b)] + [\sin(b) \times \cos(a)]}$

当然，我们会比如得到每个三角形的完整高度。但从图中我们看到 $a$ 向后滑动，$b$ 被扭曲，所以我们 实际上 得到的高度是减少的。把每个余弦想象成对你高度的税收，减少了你的实际所得。(高度是0.90？不错，Papa Cosine会让你保留75%。剩下的交出来，小子！).

那么，对于小角度，比如 $\sin(.01 + .02)$ 会怎样？

我们可以硬算。但我猜结果大约是：

$\displaystyle{\sin(.01 + .02) \sim \sin(.03) \sim .03}$

为什么？我对小角度的心理图景是这样的：

理想高度（$\sin(a)$ 和 $\sin(b)$）与“税后”版本（$\sin(a)\cos(b)$ 和 $\sin(b)\cos(a)$）之间没有可察觉的差异。

对于微小角度，$\sin(a + b)$是一条垂直线。由于滑动或扭转部分，它几乎不损失任何高度。
对于小角度，余弦（我们保留的百分比）接近100%。我们保留了绝大部分的高度。
$\sin(x) \sim x$是一个常用的小角度近似（常用于微积分）。本质上，它表明$\sin(x)$在短暂时间内是一条直线。对于小角度，$\sin(a + b) \sim \sin(a) + \sin(b) \sim a + b$。

对于余弦，我们有一个类似的图：

这一次，转换因子匹配上了（余弦与余弦，正弦与正弦）。
第一个三角形的完整宽度（$\cos(a)$）被缩放以匹配第二个三角形的宽度。
正弦项为负，因为它向后推我们，减少了我们的高度。我们可以利用相似三角形提取出这一部分。

我通常不会思考图中的各个部分，尽管看几次它们如何工作是不错的。如果你只需要三角恒等式，用欧拉公式(Euler's Formula)代数地推导出来即可。

我们为什么要在意三角恒等式？

好问题。有几个原因：

1. 因为不得不学（最糟糕的理由）。 许多三角学课程让你死记这些恒等式以便日后测验（啊）。你不需要记忆它们，你可以在大约一分钟内推导出公式。把珍贵的脑容量留给其他事情吧。

2. 我们现在可以将三角函数“分解”为更简单的部分。 我们现在可以将正弦分解成更小的部分，这在微积分中很有用。

例如，要求正弦的导数，我们需要：

$\displaystyle{\lim_{dx \to 0} \frac{\sin(a + dx) - \sin(a)}{dx}}$

并让 $dx$ 趋近于零。直接处理很棘手，但利用 $\sin(a + b)$ 公式我们得到

$\displaystyle{\frac{\sin(a + dx)}{dx} = \frac{\sin(a)\cos(dx) + \sin(dx)\cos(a) - \sin(a)}{dx}}$

当 $dx$ 趋近于零时，$\cos(dx) = 1$（零角为全宽），所以我们有：

$\displaystyle{= \frac{\sin(a)(1) + \sin(dx)\cos(a) - \sin(a)}{dx} = \frac{\sin(dx)\cos(a)}{dx} = \left(\frac{\sin(dx)}{dx}\right)\cos(a)}$

当 $dx$ 趋近于零时，$\sin(dx)$ 和 $dx$ 变得相等:

$\displaystyle{\lim_{dx \to 0} \frac{\sin(dx)}{dx} = 1}$

代入后，我们得到 $\cos(a)$ 是 $\sin(a)$ 的导数。呼！处理三角函数并不总是容易，但至少是可管理的。

3. 计算效率高。 如果你在做计算机图形学，并且频繁计算正弦/余弦（比如点积），三角恒等式是很有用的捷径。在过去，这些恒等式被用作类似对数表的方式来简化手工计算。

4. 数学在于发现联系。 因为三角函数源于圆和指数函数，它们似乎无处不在。有时你可以通过从三角到指数或反之来简化场景。

5. 加深对欧拉公式(Euler's Formula)的理解。 掌握欧拉公式，你就掌握了圆。然后，世界！（编者注：Kalid的小指似乎粘在嘴上了。我们正在处理。)

看，欧拉公式让我们绘制一个圆并读出位置。太棒了！我们可以通过几次乘法避免大量繁琐的几何。如果你在做任何高等数学，让莱昂哈德·欧拉深入你的灵魂是值得的。他是好伙伴。

今天就到这里。数学快乐。

附录：资源与扩展公式

你可以修改参数 $a$ 和 $b$ 来创建新的恒等式。

减法公式：用 -b 替换 b

$\displaystyle{\sin(a - b) = \sin(a)\cos(-b) + \sin(-b)\cos(a)}$

$\displaystyle{\cos(a - b) = \cos(a)\cos(-b) - \sin(a)\sin(-b)}$

倍角公式：用 a 替换 b

$\displaystyle{\sin(2a) = \sin(a + a) = \sin(a)\cos(a) + \sin(a)\cos(a) = 2\sin(a)\cos(a)}$

$\displaystyle{\cos(2a) = \cos(a + a) = \cos(a)\cos(a) - \sin(a)\sin(a) = \cos^2(a) - \sin^2(a)}$

半角公式：替换并求解

从倍角公式开始，求解 $\sin(a)$，它是 $\sin(2a)$ 中所用角的一半。《Trig without tears》（一个很棒的资料和名字）有更多细节：

http://brownmath.com/twt/double.htm

我找到的其他几个有用参考：

利用欧拉公式(Euler’s Formula)轻松掌握三角恒等式(Trig Identities)

代数中的联系(Connections In Algebra)

三角学中的联系(Connections In Trig)

用欧拉公式(Euler's Formula)绘图

理解这个等式

我们为什么要在意三角恒等式？

附录：资源与扩展公式

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欧拉公式(Euler's Formula)

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