快速坦白？我从未完全学会三角函数的导数。当然，我像其他人一样记住了$\sin' = \cos$和$\cos' = -\sin$，但正切的导数呢？余割呢？算了吧，魔法咒语。
经过多年的探索，在繁琐推导和死记硬背之间存在一种中间地带。 顿悟时刻：所有三角函数都使用相同的变化模式：(符号)(缩放)(交换函数).
以下是我们将要填写的三角函数导数表：
作为背景，学习 可视化三角函数，以及它们如何通过勾股定理和相似性相关联：
第1部分：学习表格
首先，让我们学习如何制作表格，一次一列：
- 函数： 要求导的函数（sin、cos、tan、cot、sec、csc）
- 符号： "主"函数为正，"余"(co)函数为负
- 缩放： 每个函数使用的斜边（红色）
- 交换： 这个 其他 每个勾股三角形中的函数（sin ⇄ cos，tan ⇄ sec，cot ⇄ csc）
- 导数： 相乘得到导数
看！这个过程神奇地找到了三角函数的导数。学习提示：
- 思考“三重S”：符号(sign)、缩放(scale)、互换(swap)
- 你可能已经记住了$\sin' = \cos$和$\cos' = -\sin$。先填上这些行来启动过程。
通常，我更喜欢理解而非记忆。但实际上，你询问三角导数是因为你有考试，而我现在想帮助你。
像乘法表一样，填写完条目后，我们注意到一些模式。$\sin' = \cos$和$\csc' = -\csc \cot$是否有什么共同点？
当然。
第2部分：可视化导数
正弦的导数是什么？
这个 正式方法 就是将$\sin(x)$代入导数的定义，进行代数运算，然后得到$\cos(x)$。准确，但不令人满意。如果$\sec(x)$是导数，你会注意到有什么不对劲吗？很可能不会。
从几何角度来看，实际情况是这样的：
正弦的导数意味着“当我改变角度时，我们的高度变化了多少？”
我是这样理解的：我们有一个起始角度 $x$。我们将其增加一点点（$dx$），可以将其放在 沿着 我们的单位圆上（因为弧度是 移动距离 沿着圆周的）。
然后我们基于 $dx$ 画一个小三角形，类似于大三角形，它展示了我们沿圆周移动时高度和宽度的变化。
大三角形的比例为 $\text{red} : \text{blue} : \text{green} = 1 : \cos : \sin$。小三角形比例相似，但最长边为 $dx$ 而非 1。因此，小三角形的边长是：
$\text{mini red} : \text{mini blue} : \text{mini green} = dx : \cos dx : \sin dx$
由于 mini blue 是正弦的变化，mini green 是余弦的变化，我们得到：
$\sin'(x) = \text{height change} = \text{mini blue} = \cos(x) dx$
$\cos'(x) = \text{width change} = (-1) \cdot \text{mini green} = - \sin(x) dx$
注意 $\cos'$ 中的负号，因为 mini-green 指向左边（负方向）。
快速说明：列的工作原理
"小三角形"策略适用于所有三角函数。有三个因素：
问题1：符号是什么？
三角余函数是原函数应用于 余角.
粗略一看，我们看到参数 $x$ 和 $(90 - x)$ 被频繁使用。 链式法则 在低声（大声？）告诉我们导数应该是相反的，对吧？
让我们试试：
$\cos'(x) = [\sin(90 - x)]' = [\sin'(90 - x)][(90-x)'] = \cos(90-x)(-1)$ $= \sin(x)(-1) = -\sin(x) $
是的，我们得到了一个负号。
发生了什么？我们将 $\cos$ 转换为其 $\sin$ 形式（将角度转化为余角），求导，得到 $-1$ 项，然后转换回来。所有余函数都有类似的模式，在表格中给我们一个负号。
（注意：负号表示余函数改变 相反 原函数，而不是导数本身是 小于零. 当正弦为负时，余弦增加。)
问题2：缩放因子是什么？
正弦和余弦位于单位圆上（半径为1）。其他函数使用正割（tan/sec）或余割（cot/csc）的半径。
问题3：交换后的函数是什么？
我们通过缩小原始三角形并旋转使得 $dx$ 与长度为1的边对齐，来制作一个小三角形。如果旋转后原始颜色（函数）指向同一方向，那会显得奇怪。
变化必须基于三角形中的另一个函数（正弦的变化基于余弦，余弦基于正弦，正切基于正割，等等）。
同样，一个函数基于自身当前值增长也会很奇怪，对吧？（先记住这个想法。）
正切和正割的导数
好了，让我们画出正切和正割的小三角形：
- 首先，我们在单位圆（如sin/cos）上画出$dx$微三角形。
- 接下来，我们将微三角形滑动/缩放到"正割"半径上：$dx$在正割圆上变为$\sec(x) dx$。
- 最后，旋转微三角形，使得已知的$1$边（蓝色）匹配我们的变化量$\sec(x)dx$。
那么小三角形的边长是多少？
$\text{mini blue}: \text{mini green} : \text{mini red} = 1 : \tan(x) : \sec(x)$
我们知道 $\text{mini blue} = \sec(x) dx$，所以只需按该比例放大其他边：
- $d\sec = \text{微绿} = \tan(x) [\text{微蓝}] = \tan(x) \sec(x)dx = \sec(x) \tan(x) dx$
- $d\tan= \text{微红} = \sec(x) [\text{微蓝}] = \sec(x) \sec(x)dx = \sec^2(x) dx$
太好了！我喜欢这与正弦/余弦过程匹配的方式。我们只是在测量小三角形的边。
余割和余切的导数
为完整起见，这里是余割/余切：
注意小三角形中的 $d\cot$ 和 $d\csc$ 是如何与大三角形中的正边反向移动的。使用相同的符号、缩放和交换过程，我们得到：
$\cot' = (-)(\csc)(\csc) = -\csc^2$
$\csc' = (-)(\csc)(\cot) = -\csc \cot$
给边上色确实帮助我将小三角形与原始三角形联系起来。
现在，我们不必全部画出来：我们已经知道 $\tan'$ 和 $\sec'$。使用链式法则(Chain Rule)和余函数，我们可以：
$\cot(x)' = [\tan(90-x)]' = \tan'(90-x)(90 - x)' = \sec^2(90-x)(-1) = -\csc^2(x)$
$\csc(x)' = [\sec(90-x)]' = \sec'(90-x)(90 - x)' = \sec(90-x)\tan(90-x)(-1)$ $= -\csc(x)\cot(x)$
总结：导数意味着什么？
盲目记忆三角导数并不能让你学到多少。
更深刻的直觉： 三角函数导数基于3个效应：符号(sign)、半径(scale)和另一个函数(the other function)。
所以与其将 $\tan' = \sec^2$ 理解为正切导数为正割平方，不如将其看作 $\tan' = (+)(\sec)(\sec)$，即 $(\text{符号})(\text{缩放})(\text{交换的函数})$。嘿，你甚至可以看到 $\cos' = (-)(1)(\sin)$。
如果你能完成导数表并画出小三角形，你就会对三角函数有比我曾经更好的 很多 理解。
数学愉快。
附录：组合图
虽然有点密集，但这里把所有小三角形放在一起：
再次强调直觉：这些红/绿/蓝小三角形（它们都相似！）展示了变化。
附录：指数行为
还记得我们之前认为导数不应该基于同一个函数吗？那么，
$\tan' = \sec^2 = 1 + \tan^2$
这意味着正切增长 更快 比 指数函数：它基于自身的平方增长（而不是“仅仅”当前值）。
我们看到 $\tan(x)$ 在比赛中击败了 $e^x$，而指数函数可不慢！（我期待“这是正切地增长”成为新的流行语。）
附录：其他小三角形布局
还有其他的方法来排列小三角形。我认为当沿着周长的变化映射到长度为1的边上时最容易理解。
但是，在求 $\tan'$ 时，你可以使用来自1/cos/sin三角形的红/蓝/绿比例，并得到：
$\tan' = \sec \frac{1}{\cos} = \sec^2$
$\sec$ 的缩放相同，但未知边的长度为 $\frac{1}{\cos} dx$。方法不同，结果相同。